Enunciado

Mostre que a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória binomial negativa é igual à função densidade de probabilidade de uma variável aleatória geométrica, quando r = 1 . Mostre que as fórmulas para a média e variância de uma variável aleatória binomial negativa são iguais aos resultados correspondentes à variável aleatória geométrica, quando r = 1 .

Passo 1

Vamos calcular, substituindo r = 1 nas identidades relativas à variável aleatória binomial negativa:

f ( x ) = C x - 1 1 - 1 ( 1 - p ) x - 1 p 1 = C x - 1 0   ( 1 - p ) x - 1 p = ( 1 - p ) x - 1 p

Passo 2

Daí calculamos a média e depois a variância:

E ( X ) = 1 p

V a r ( X ) = 1 - p p 2

Resposta

Vamos calcular, substituindo r = 1 nas identidades relativas à variável aleatória binomial negativa

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