Enunciado

Suponha que F(x) seja uma função distribuição cumulativa. Mostre que (a) F n ( x ) e (b) 1 - 1 - F ( x ) n também são funções distribuição cumulativas quando n é um inteiro positivo.

Dica: Suponha que X,, ..., X,, sejam variáveis aleatórias independentes com mesma função distribuição F. Defina variáveis aleatórias Y e Z em termos de Xi de modo que P(Y 5 x} = F(x) e P{Z 5 x] = 1 - [I - F(x)ln.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Se a variável aleatória X segue distribuição exponencial com parâmetro de taxa λ , então a função de densidade de probabilidade da variável aleatória X é definida como segue:

f X x = λ e - λ x ,       x ≥ 0 0 ,       d i f e r e n t e

A função de distribuição cumulativa da variável aleatória X é,

F X x = P X ≤ x = 1 - e - λ x

Passo 2

Show galera, dado que a variável aleatória X segue distribuição exponencial com taxa λ .

Portanto,

P X = n , X - X ≤ x = P X ∈ n , n + x

P X = n , X - X ≤ x = P n < X < n + x

P X = n , X - X ≤ x = F X n + x - F X ( n )

Se a gente pegar a equação encontrada no Passo 1, teremos:

F X x = P X ≤ x = 1 - e - λ x

P X = n , X - X ≤ x = 1 - e - λ ( n + x ) - 1 - e - λ ( n )

P X = n , X - X ≤ x = e - λ n 1 - e - λ x

Com isso, podemos dizer que X e X - X são independentes.

Resposta

X e X - X são independentes.

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