Enunciado

Assuma Z com uma distribuição normal padrão e defina uma nova va Y como Y = σ Z + μ . Mostre que Y tem distribuição normal com parâmetros μ e σ . (Sugestão: Y ≤ y se, e somente se, Z ≤ ? Use isso para determinar a fdc de Y e depois diferencie em relação a y .)

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Pelo enunciado podemos extrair que Z tem uma distribuição normal, então o fdp pode ser escrito como:

f z z = 1 2 π ∙ exp ⁡ - z 2 2

E o enunciado ainda nos diz que Y é uma função linear de Z :

Y = σ Z + μ

Podemos escrever o fdc de Z e Y como F z ( z ) e F y ( y ) :

Encontrando F y .

F y y = P Y ≤ y

= P ( σ Z + μ ≤ y )

F y y = F z y - μ σ

Então, o fdp de Y é:

f y y = d d y F y ( y )

= d d y F z y - μ σ

f y y = 1 σ f z y - μ σ

Logo, usando a primeira equação do Passo 1.

f y y = 1 σ 2 π ∙ exp ⁡ - y - μ σ 2 2

Por fim, analisando a imagem acima, podemos dizer que Y tem distribuição normal com parâmetros μ e σ .

Resposta

f y y = 1 σ 2 π ∙ exp ⁡ - y - μ σ 2 2

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