Enunciado

Considere a distribuição beta com parâmetros (a, b). Mostre que

(a) quando a > 1 ,   b ≤ 1   e   a + b < 2 , a densidade é unimodal (isto é, ela tem um único modo) com modo igual a (a - 1)/(1 + b - 2);

(b) quando a ≤ 1 ,   b ≤ 1   e   a + b < 2 , a densidade é unimodal com modo em 0 ou 1 ou tem forma de U com modos em 0 e 1;

(c) quando a = 1 =   b , todos os pontos em 0,1 são modos.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Antes, vamos ver aqui a fórmula que usaremos:

f x = 1 β ( a , b ) x a - 1 ( 1 - x ) b - 1

Quando derivamos, vamos achar:

f ' x = 1 β ( a , b ) a - 1 x a - 2 1 - x b - 1 - x a - 1 ( b - 1 ) 1 - x b - 2

Para se tornar mais prático as próximas contas, vamos isolar x a - 2 e 1 - x b - 2 :

f ' x = ( x a - 2 ) 1 - x b - 2 β ( a , b ) a - 1 1 - x - x ( b - 1 )

Agora precisamos achar os pontos críticos da nossa derivada, então:

f ' x = x a - 2 1 - x b - 2 β a , b a - 1 1 - x - x b - 1 = 0

Pegando a parte da direita, vamos verificar que:

x = a - 1 a + b - 2

Passo 2

Beleza, agora vamos para a letra (b). Se nós tivermos a = 1 :

f x = 1 β ( 1 , b ) ( 1 - x ) b - 1

Dessa forma, quando derivamos:

f ' x = 1 β 1 , b ( 1 - b ) ( 1 - x ) b - 1

Então f ' ( x ) é uma função estritamente crescente em 0,1 . Portanto, f ( x ) tem máximo em x = 1 .

Agora, quando usamos b = 1 , a função se torna:

f x = 1 β ( a , 1 ) x a - 1

Dessa forma, quando derivamos:

f ' x = 1 β a , 1 ( a - 1 ) x a - 2

Então f ' x < 0 para 0 < x < 1 . Ou seja, f ( x ) é uma função estritamente decrescente em ( 0,1 ) , portanto f ( x ) tem máximo em x = 0 .

Passo 3

Agora vamos para a letra (c). Quando a = 1 = b , uma vez que B 1,1 = 1 , vamos achar:

f x = 1 β ( a , b ) x a - 1 ( 1 - x ) b - 1

f x = 1 β ( 1,1 ) x 1 - 1 ( 1 - x ) 1 - 1 = 1 β ( 1,1 )

Ou seja, a função é constante em todos os pontos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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