Enunciado

Suponha que E e F sejam eventos mutuamente exclusivos de um experimento. Mostre que, se tentativas independentes desse experimento forem realizadas, então E ocorrerá antes de F com probabilidade P ( E ) I [ P E + P F ] ?

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Eventos: E ,   F ,   E ∩ F =   ∅  

Probabilidades: P(E), P(F)

Calcule p, a probabilidade de E ocorrer antes de F;

Se E ocorrer primeiro, E deverá ocorrer após i - 0,1 , 2 ,   … ocorrências de E ∪ F c ;

Probabilidade de que experimentos i terminem em E ∪ F c , e então E seja (por causa da independência):

P E ∪ F c i P ( E )

No caso especial, P E ∪ F c = 0 →   p - P ( E )

Os eventos em que $E$ ocorre primeiro após as repetições de $i$ são mutuamente exclusivos, portanto, a probabilidade de sua união que é o evento desejado é a soma de suas probabilidades:

p = ∑ i ∈ N P E ∪ F c ∣ i P ( E ) .

Passo 2

Calculado o passo 01, e aplicando a fórmula para a soma de uma sequência geométrica, temos:

∑ n ∈ N q n = 1 1 - q

Portanto,

p = ∑ i ∈ N P E ∪ F c i P E = P E ∑ i ∈ N P E ∪ F c i

= P E 1 1 - P E ∪ F c

A fórmula para a probabilidade de complemento então P(EF) = 0 dá:

p = P E 1 P E ∪ F

= P E 1 P E + P F - P E F    

= P E P E + P F

Resposta

Veja solução.

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