Enunciado

Considere uma sequência interminável de eventos independentes, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade de levar a qualquer um dos resultados 1,2 ou 3. Dado que 3 é o último dos resultados a ocorrer, determine a probabilidade condicional de que

a) a primeira tentativa leve ao resultado 1;

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Eventos:

T - 3 é o último dos três resultados a aparecer;

A - a sequência começa com 1;

B - a sequência começa com 1,1;

Se 3 for o último resultado a aparecer, o primeiro pode ser 1 ou 2 , e esses são igualmente prováveis:

P A T = 1 2

Isso pode ser mais estritamente comprovado pelo método a seguir, usado aqui para $P(B \mid T)$.

Comece com a definição:

P B T = P B T P T

Agora para calcular P ( B T )   e   P ( T ) , mostre-os como união de eventos mais simples cuja probabilidade pode ser calculada como a soma de uma sequência geométrica.

Passo 2

Em (a): P(T);

A probabilidade de T acontecer se e somente se um desses eventos ocorrer: a sequência começa com um ou mais resultados 1, depois um resultado 2, ou vice-versa, começa com 2 e depois um 1 . Esses dois são mutuamente exclusivos graças ao primeiro resultado diferente, portanto:

P ( T ) = P ( " 1 … 12 " ) + P ( " 2 … 21 " )

E cada um dos eventos do lado direito é novamente uma união de eventos mutuamente exclusivos, dependendo de quantas repetições do primeiro resultado aparecem antes que o outro resultado ocorra. Usando independência para mostrar a probabilidade de uma interseção como produto de probabilidades, obtemos:

P T = ∑ n = 1,2 ,   … P 1 n P 2 + ∑ n = 1,2 ,   … P 2 n   P 1 = 2 ∑ n = 1,2 ,   … 1 3 n = 1 3

O lado direito é uma sequência geométrica, e é conhecido:

∑ n = 0,1 , 2 … q k = 1 1 - q

Portanto:

P T = 2 1 3 2 ∑ n = 1,2 ,   … 1 3 n - 1 = 2 1 3 2 1 1 - 1 3 = 1 3

Resposta

1 3 .

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