Enunciado

Suponha que f e g sejam fdp no mesmo intervalo a ≤ x ≤ b .

a) Verifique que f + g não é uma fdp nesse intervalo.

b) Verifique que, para todo número β , 0 < β < 1 , β f x + 1 - β g x é uma fdp nesse intervalo.

Passo 1

Se f e g são fdp no intervalo a ≤ x ≤ b , elas devem ser positivas nesse intervalo:

f x ≥ 0               e             g x ≥ 0 ,                 a ≤ x ≤ b

E, além disso, devem ser normalizadas:

∫ a b f x   d x = ∫ a b g x   d x = 1

Agora, consideremos h x = f x + g x :

∫ a b h x   d x = ∫ a b f x   d x + ∫ a b g x   d x = 1 + 1 = 2

Vemos que h não satisfaz a condições de normalização, de modo que não pode ser uma fdp!

Passo 2

Agora vamos considerar

h x = β f x + 1 - β g x ,             0 < β < 1

É fácil perceber que β > 0 e 1 - β > 0 . Assim,

β f x ≥ 0               e           1 - β g x ≥ 0

Portanto,

h x ≥ 0

Além disso,

∫ a b h x   d x = β ∫ a b f x   d x + 1 - β ∫ a b g x   d x = β + 1 - β = 1

Logo, h x = β f x + 1 - β g x satisfaz todas as propriedades de uma fdp!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos anteriores à ocorrência de cara. Det
Sendo X ~ G 0 , 4 , calcule: P ( X = 3 ) . P 2 ≤ X4 . P X1 X ≤ 2 P X ≥ 1 .
A duração (em centenas de horas) de uma lâmpada especial segue o modelo Geométrico com parâmetro p = 0,7 . Determine a probabilidade da lâmpada:Durar menos de 500 horas.Durar mais de 200 e menos de 40
Um sistema de computadores usa senhas, que são compostas a partir das 26 letras (a-z) ou dos 10 inteiros (0-9). Suponha que haja 10000 usuários do sistema com senhas únicas. Um invasor seleciona aleat
Uma companhia de comércio tem oito compradores que ela usa para negociar na bolsa de Nova York. A probabilidade de um computador falhar em um dia é igual a 0.005 e os computadores falham independentem