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Exercícios Resolvidos de Meyer - Aplicações a Estatística

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística - 4.Problemas - 9

A variável aleatória contínua X tem para fdp: f x = x / 2 , 0 ≤ x ≤ 2 . São feitas duas determinações independentes de X . Qual será a probabilidade de que ambas essas determinações sejam maiores do que 1 ? Se três determinações independentes forem feitas, qual a probabilidade de que exatamente duas delas sejam maiores do que 1?

Passo 1

Esse problema tem duas partes: a primeira é achar a probabilidade de em uma determinação a variável X ser maior que 1. Vamos chamar essa probabilidade de p :

p = ∫ 1 2 f x   d x

Eu integro de 1 até 2 pois queremos a região em que X > 1 . Assim,

p = ∫ 1 2 x 2   d x = x 2 4 1 2 = 1 - 1 4 = 3 4

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Passo 2

Para que em duas determinações as duas sejam maiores que 1 , devemos ter:

P a = P p r i m e i r a   s e r > 1 ⋅ P s e g u n d a   s e r > 1

Portanto,

P a = p ⋅ p = p 2 = 3 4 2 → P a = 9 16

Passo 3

Na outra pergunta vamos fazer 3 determinações e queremos saber a probabilidade de obter sucesso ( X > 1 ) em exatamente 2 vezes. É um clássico exemplo de distribuição binomial:

P k = n k p k 1 - p n - k

Usando p = 3 / 4 , n = 3 e k = 2 :

P b = 3 2 ⋅ 3 4 2 ⋅ 1 4 = 3 ⋅ 9 16 ⋅ 1 4

Logo,

P b = 27 64

Resposta

P a = 9 16

P b = 27 64

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