Enunciado

Suponha que X tenha distribuição exponencial com parâmetro β. Prove que

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para provarmos a relação acima. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Essa propriedade nos diz que a distribuição exponencial não tem memória. Por exemplo, se X for a vida de um componente eletrônico, a relação acima diz que, se o componente durou até o instante x, a probabilidade de ele não falhar após o intervalo t + x é a mesma de não falhar após o instante t. Nesse sentido, X “esquece” a sua idade, e a eventual falha do componente não resulta de uma deterioração gradual e sim de alguma falha repentina.

Passo 3

Pronto!! Agora é só resolvermos a relação!!

P X > x = e - x

P X > 1 + x = e - 1 + x

P X > t + x P X > x = e - 1 + x e - x =   e - t  

e - t = P ( X > t )

Resposta

e - t = P ( X > t )

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