Enunciado

Ao testar certo tipo de pneu de caminhão em um terreno irregular, descobriu-se que 25% dos caminhões falhavam ao tentar completar o percurso do teste sem ter pneus estourados. Dos próximos 15 caminhões testados, determine a probabilidade de que

(a) de três a seis terão pneus furados;

(b) menos de quatro terão pneus furados;

(c) mais de cinco terão pneus furados.

Passo 1

Fala galera, prontos para mais um exercício?

Então vamos nessa!

Primeiramente vamos modelar nosso problema como binomial

Vamos definir nossa variável aleatória X, como quantidade de caminhões que tiveram o pneu furado.

Para isso, nossa probabilidade de sucesso p , será igual a 0.25 .

Logo:

b x ; n ; p   o n d e   n = 15 ,   p = 0.25   e   q = 0.75

Passo 2

No item a), o exercício nos pede P ( 3 ≤ X ≤ 6 )

Para isso faremos uso da seguinte estratégia:

P 3 ≤ X ≤ 6 = P X ≤ 6 - P X ≤ 2

Assim:

P 3 ≤ X ≤ 6 = ∑ x = 0 6 b ( x ; 15 ; 0.25 ) - ∑ x = 0 2 b ( x ; 15 ; 0.25 )

Show! Agora está tudo pronto, basta lembrarmos da seguinte relação de notação:

b x ; n ; p = n x p x q n - x

E resolvendo essas somatórias, concluímos que:

P 3 ≤ X ≤ 6 = P X ≤ 6 - P X ≤ 2 = 0.9434 - 0.2361 = 0.7073  

Passo 3

Vamos ao item b) agora:

Queremos P ( X < 4 )

Para tal, usaremos o seguinte artifício

P X < 4 = P ( X ≤ 3 )

E para calcularmos P ( X ≤ 3 ) usaremos a formula básica;

P X ≤ 3 = ∑ x = 0 3 b x ; 15 ; 0.25

Lembrando sempre do fato:

b x ; n ; p = n x p x q n - x

Resultando:

P X < 4 = P X ≤ 3 = ∑ x = 0 3 b x ; 15 ; 0.25 = 0.4613

E por último, mas não menos importante, vamos ao item c.

Queremos P ( X > 5 )

Para tal, usaremos a seguinte ideia

P X > 5 = 1 - P ( X ≤ 5 )

Desse modo, basta calcularmos P ( X ≤ 5 ) e o exercício está acabado.

Calculando:

P X ≤ 5 = ∑ x = 0 3 b ( x ; 15 ; 0.25 )

Relembrando:

b x ; n ; p = n x p x q n - x

Chegaremos em:

P X ≤ 5 = 0.8516

Voltando a expressão inicial:

P X > 5 = 1 - P X ≤ 5 = 1 - 0.8516 = 0.1484

Desse modo concluímos o exercício.

Resposta

a) P 3 ≤ X ≤ 6 = P X ≤ 6 - P X ≤ 2 = 0.7073  

b) P X < 4 = P X ≤ 3 = 0.4613

c)   P X > 5 = 1 - P X ≤ 5 = 0.1484

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