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Exercícios Resolvidos de Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros - 4.Exercícios - 90

O tempo entre as chegadas de pequenas aeronaves a um aeroporto em um condado é distribuído exponencialmente, com uma média de uma hora.

  1. Qual é a probabilidade de mais de três aeronaves chegarem dentro de uma hora?
  2. Se 30 intervalos, de uma hora cada, foram escolhidos, qual será a probabilidade de nenhuma intervalo conter mais de três chegadas?
  3. Determine o comprimento de um intervalo de tempo (em horas), tal que a probabilidade de nenhum chegada ocorrer durante o intervalo seja 0.10.

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o seguinte média:

E ( X ) = 1

É uma variável aleatória contínua com a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   x   ≥   0

F ( x ) = 1 - e - λ x , x   ≥   0

Então, vamos calcular o parâmetro λ com a fórmula conhecida para a média da distribuição exponencial:

1 = E ( X ) = 1 λ

E assim temos:

λ = 1 1 = 1

Daí, vamos calcular.

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Passo 2

Letra a:

Vamos introduzir a variável aleatória de Poisson Y com a taxa λ = 1 chegadas por hora, associado à variável aleatória exponencial X . Y é interpretado como o número aleatório de fraturas em uma determinada milhagem T. É um variável aleatória discreta com a função de massa de probabilidade:

g ( y ) = ( T ) y e - T y ! , y   ≥   0

Fazendo T =   1   h o r a e calculando usando a fórmula acima:

P ( Y > 3 ) = 1 - g ( 0 ) - g ( 1 ) - g ( 2 ) - g ( 3 ) = 0.019

Passo 3

Letra b:

Calculando assumindo independência de 30 intervalos de 1 hora:

P ( Y ≤ 3 ) 30 = ( 1 - 0.019 ) 30 ≈ 0.56

Passo 4

Letra c:

Vamos escrever a equação:

0.1 = P ( X > x ) = 1 - F ( x ) = e - 1 × x

E resolver para achar x :

x = - l n 0.1 = 2.3   h o r a s

Resposta

  1. 0.019
  2. 0.56
  3. 2.3 horas

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