Enunciado

O teste de corte inclinado é amplamente aceito para avaliar a união de materiais de reparo resinosos ao concreto; ele utiliza espécimes cilíndricos feitos de duas metades idênticas unidas a 30°. O artigo "Testing the Bond Between Repair Materials and Concrete Substrate" (ACI Materials J., 1996, p. 553-558) relatou que, para 12 espécimes preparados usando escova de arame, a resistência de corte média amostral (N/mm2 ) e o desvio padrão da amostra eram 19,20 e 1,58, respectivamente, enquanto, para 12 espécimes delineados manualmente, os valores correspondentes eram 23,13 e 4,01. A resistência média real parece ser diferente para os dois métodos de preparação de superfície? Determine e teste as hipóteses relevantes, usando um nível de significância de 0,05. O que você supõe com relação às distribuições da resistência de corte?

Passo 1

Temos que m=12 e n=12 são tamanhos de amostra, e que X 1 ,   … ,   X m são variáveis ​​aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas (temos que usar a suposição de normalidade para prosseguir com o teste) com média μ 1 e desvio padrão σ 1 , ambos desconhecidos (estes representam as resistências ao cisalhamento de amostras preparadas com escova de arame). Também nos é dado que Y 1 , … ,   Y n são variáveis ​​aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas (temos que usar a suposição de normalidade aqui também) com média μ 2 e desvio padrão, σ 2 , ambos desconhecidos (estes representam as resistências ao cisalhamento de espécimes cinzelados à mão).

Além disso, X e Y são amostras independentes (portanto, todos os X i são independentes de todos os Y j ).

Queremos testar:

H 0 :   μ 1 - μ 2 = 0

H a :   μ 1 -   μ 2 ≠ 0

no nível de significância α=0.05.

Passo 2

A estatística de teste usada para testar as hipóteses acima é

T = X - - Y - - ( μ 1 - μ 2 ) S 1 2 m + S 2 2 n

que, sob a hipótese nula, segue a distribuição t com ν de liberdade, onde v é calculado como

v = S 1 2 m + S 2 2 n 2 S 1 2 m 2 m - 1 + S 2 2 n 2 n - 1 = 1.58 2 12 + 4.01 2 12 2 1.58 2 12 2 12 - 1 + 4.01 2 12 2 12 - 1 = 14.34  

Substituindo os valores dados, X - = 19.20 ,   Y - = 23.13 ,   S 1 = 1.58 ,   S 2 = 4.01 ,   m = 12 ,   n = 12

e ∆ 0 = μ 1 - μ 2 = 0 (este é o valor nulo, ou seja, o valor assumido na hipótese nula) na fórmula acima produz o valor da estatística de teste:

T = 19.20 - 23.13 - 0 1.58 2 12 + 4.01 2 12 =   - 3.159

Passo 3

Como o teste é bicaudal, então o valor PP deste teste é

P - 2 ∙ P T v ≥ t = 2 ∙ P T 14   ≥ - 3.159 = 2 ∙ P T 14 ≥ 3.159

onde t denota o valor observado da estatística de teste.

Para encontrar aproximadamente este valor de PP, consultamos a tabela A.5 nas Tabelas do Apêndice. Na linha rotulada \nu=14ν=14 (esses são os graus de liberdade), encontramos os dois valores mais próximos de |t|=3.159, o que significa que P( T 14 ≥ 3.159) está entre 0.001 e 0.005, então podemos concluir que

0.002 < P < 0.01

Para encontrar o valor exato de P, podemos usar algum software. Uma linha

2 * 1   -   p t a b s - 3.159 ,   d f = 14

no software estatístico R relatará o valor PP, que acaba sendo

P = 0.0070

Como o valor P deste teste é menor que nosso nível de significância α=0.05, então podemos rejeitar a hipótese nula a favor da hipótese alternativa, e concluímos que a resistência ao cisalhamento média da população verdadeira é diferente para os dois métodos de preparação.

Resposta

O valor da estatística de teste é T = - 3 . 159 com o valor P de 0,0070, então podemos rejeitar a hipótese nula

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