Teoria Completa
Imagine a seguinte situação na sua vida, você faz uma aposta com o seu amigo no cara ou coroa. Cara tu ganha, coroa ele ganha, ok? Você espera que em mais ou menos 50% das vezes você ganhe. Aí você joga uma vez, perde, joga de novo, perde e assim se repete.
Seria mega estranho! você iria começar a desconfiar de algo: o mais lógico seria da moeda. Mas, como você prova que essa moeda é viciada? Rufem os tambores pois está chegando o TESTE DE ADERÊNCIA.
E o que ele tem de tão especial? Bom, a ideia aqui é testar se o modelo probabilístico se adequa ao seus dados. Pera, o que? Vamos tomar o exemplo dado acima para explicar essa teoria.
No exemplo acima, temos que o modelo probabilístico é de que a probabilidade de sair cara é igual a 0,5, enquanto a de sair coroa é igual 0,5. Ao olhar para os dados vemos que não é bem assim já que, ao sair apenas coroa, o pilantrinha do seu amigo ta ganhando toda grana.
“Ah mas nesse caso é mole ver que é viciada, nem precisa de teste”. Verdade, mas nem sempre a vamos ter esses casos absurdos. E como vamos decidir se é viciada ou não, então? Usando o que eu vou te contar
Qui-Quadrado
Bom, pra entendermos teste de aderência, vamos precisar de uma distribuição especial (como a Normal e a T de Student), a Qui-Quadrado!
Mais uma distribuição, mais uma tabelinha... Distribuição . “Qui” é o nome dessa letra aí , só por curiosidade mesmo.
Calma jovem, as coisas vão ficar mais humanas, sem desesperos. No final, é tudo continha.
Vou te ensinar primeiro como usar a tabela .
Os parâmetros que a gente vai precisar são:
n° de graus de liberdade
nível de confiança
E com isso podemos achar na tabela.
Uma notação possível é essa aqui oh:
Ou seja, estamos usando o nível de significância e o número de graus de liberdade! Aí pra ler a tabela precisamos encontrar !
Testando...
- Achar o valor de
Cruzando a linha 10 com a coluna 0,995.
Show?
Testes de Aderência
Finalmente, vamos para o assunto central do tópico! Cara, aqui a gente vai ver se o número de vezes que uma situação ocorre tá dentro do previsto pelo modelo teórico! Para isso, vamos usar o teste de hipótese.
Mas, qual deve ser a hipótese adotada? Nós queremos que as probabilidades observadas sejam iguais as probabilidades esperadas, ou, pelo menos, bem próximas. Então, tomamos como hipótese
Onde:
= Probabilidade observada para o valor
= Probabilidade esperada para o valor
= Número de casos possíveis.
Mas para este tipo de teste qual estatística será usada? Claro que tem a ver com o que eu introduzi pra vocês aqui em cima né haha. Usaremos a qui-quadrado de Pearson:
Onde:
= Número de casos ocorridos para o valor
= Número de casos esperados para o valor
Então sabemos que a qui-quadrada de Pearson segue uma qui quadrada (risos) com s-1 graus de liberdade. Sendo assim rejeitaremos a hipótese , a um nível de significância α, quando:
Onde:
Voltando ao exemplo da moeda, vamos escolher uns valores:
n = 100 lançamentos
S = 2 resultados possíveis (cara e coroa)
C = 63 caras
K = 37 coroas
α = 5% de significância
Aplicando a estatística de teste:
Agora olhando o :
Como 6,76>3,841 rejeitamos e temos evidência que a moeda é viciada.
Exercício Resolvido #1
A um nível de significância de 5%, temos evidência que o dado é viciado?
Passo 1
Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência.
Passo 2
Primeiramente vamos aplicar os dados na estatística de teste:
Passo 3
Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 5 graus de liberdade
Passo 4
Comparando agora os dois valores encontrados temos que:
Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, não temos evidência que o dado seja viciado.
Resposta
Exercício Resolvido #2
A um nível de significância de 5%
Passo 1
Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência. Para encontraramos o número de casos esperados para cada uma das categorias, precisamos somar as observações e multiplicar cada probabilidade esperarada por esse total.
Passo 2
Encontrando o número de casos esperados
Multiplicando pi por n temos:
Arredondamos o E1 para 130 para a soma fechar 197.
Passo 3
Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:
Passo 4
Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 3 graus de liberdade
Passo 5
Comparando agora os dois valores encontrados temos que:
Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, temos evidência que os dados seguem o modelo proposto.
Resposta
Exercício Resolvido #3
A um nível de significância de 5%, temos evidência que o dado é viciado?
Passo 1
Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência.
Passo 2
Para acharmos o número de casos esperados em um dado não-viciado lançado 1000 vezes basta dividir 1000 por 6
Passo 3
Primeiramente vamos aplicar os dados na estatística de teste:
Passo 4
Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 5 graus de liberdade
Passo 5
Comparando agora os dois valores encontrados temos que:
Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, não temos evidência que o dado seja viciado.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Calcule o p-valor desse teste:
Passo 1
Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência. E após isso achar o p-valor.
Passo 2
Primeiramente vamos aplicar os dados na estatística de teste:
Passo 3
Agora vamos achar o p-valor na tabela, isto é olharemos na linha da qui-quadrada com 5 graus de liberdade, onde se encontra o valor 8,56:
Ao olhar vemos que ele está entre 10% e 25%. Então p-valor está no intervalo [0,1; 0,25]
Resposta
Exercício Resolvido #5
Considere os dados abaixo, que supostamente são uma amostra de tamanho de uma distribuição normal, de média e variância . Os dados já estão ordenados.
Ao nível de significância de , podemos afirmar que os dados se adequam a uma distribuição Normal?
Passo 1
Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência. Aqui precisaremos primeiro definir quem são as categorias, para assim encontraramos o número de casos esperados para cada uma das categorias.
E essa parte pode parecer meio confusa, como assim definir categorias? Quem vão ser nossas categorias?
A verdade é que existem múltiplas respostas para essa pergunta. Uma forma que vai funcionar é a gente pensar nos quartis dos dados de uma distribuição.
Se dividirmos qualquer distribuição em 3 quartis principais, tipo o primeiro, o segundo, e o terceiro, esperamos que o número de dados entre cada um deles seja o mesmo né? Pois vamos pulando de em dos dados, sem alterar esse intervalo.
Então a ideia é a gente ver quantos elementos tem entre cada um desses quartis na distribuição da Normal citada, e depois verificar quantos dos dados observados cabem dentro de cada um desses quartis. Partiu?!
Passo 2
Para isso, vamos calcular o valor dos quartis primeiro. Como fazer isso? Usando a tabela da Normal padrão!
Na tabela da Normal padrão, nós encontramos os quartis dessa forma:
Já que a tabela nos da valores de probabilidades acumuladas até certo , esses vão ser justamente nossos quartis nesses casos. Procurando na tabela vemos que:
Agora, para descobrir os quartis REAIS, ou seja, os da distribuição , precisamos “despadronizar” os quartis da Normal padrão. Para isso, multiplicamos o valor deles pelo desvio padrão, e depois somamos a média (operações inversas da padronização):
Passo 3
Agora vamos olhar para a tabela dada e ver quantos valores estão em cada um dos intervalos:
E os valores esperados para o número de elementos entre dos quartis principais de uma distribuição são iguais, ou seja, o valor que divide a distribuição em 4 partes iguais. Como :
Passo 4
Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:
Passo 5
Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 3 graus de liberdade
Passo 6
Comparando agora os dois valores encontrados temos que:
Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, temos evidência que os dados seguem o modelo proposto.
Resposta
Exercício Resolvido #6
Passo 1
Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência. Aqui precisaremos primeiro definir quem são as categorias, para assim encontraramos o número de casos esperados para cada uma das categorias.
Passo 2
Vamos dividir os possíveis resultados nos quartils teóricos da Normal(30,100), Q(0,25), Q(0,5) e Q(0,75), chamaremos Z(p), os quantis da N(0,1)
Passo 3
Agora vamos olhar para a tabela e ver quantos valores estão em cada um dos intervalos:
(-∞; 23,255] = 8 = O1
(23,255; 30] = 4 = O2
(30; 36,745] = 4 = O3
(36,745; +∞) = 4 = O4
Os valores esperados de uma normal esperam que em cada quartis temos a mesma quantidade de valores, como n=20 e são 4 quartis
Passo 4
Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:
Passo 5
Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 3 graus de liberdade
Passo 6
Comparando agora os dois valores encontrados temos que:
Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, temos evidência que os dados seguem o modelo proposto.