Introdução a testes de aderência

Teoria Completa

Imagine a seguinte situação na sua vida, você faz uma aposta com o seu amigo no cara ou coroa. Cara tu ganha, coroa ele ganha, ok? Você espera que em mais ou menos 50% das vezes você ganhe. Aí você joga uma vez, perde, joga de novo, perde e assim se repete.

Seria mega estranho! você iria começar a desconfiar de algo: o mais lógico seria da moeda. Mas, como você prova que essa moeda é viciada? Rufem os tambores pois está chegando o TESTE DE ADERÊNCIA.

E o que ele tem de tão especial? Bom, a ideia aqui é testar se o modelo probabilístico se adequa ao seus dados. Pera, o que? Vamos tomar o exemplo dado acima para explicar essa teoria.

No exemplo acima, temos que o modelo probabilístico é de que a probabilidade de sair cara é igual a 0,5, enquanto a de sair coroa é igual 0,5. Ao olhar para os dados vemos que não é bem assim já que, ao sair apenas coroa, o pilantrinha do seu amigo ta ganhando toda grana.

“Ah mas nesse caso é mole ver que é viciada, nem precisa de teste”. Verdade, mas nem sempre a vamos ter esses casos absurdos. E como vamos decidir se é viciada ou não, então? Usando o que eu vou te contar

Qui-Quadrado

Bom, pra entendermos teste de aderência, vamos precisar de uma distribuição especial (como a Normal e a T de Student), a Qui-Quadrado!

  χ ² → d i s t r i b u i ç ã o   Q u i - Q u a d r a d o

Mais uma distribuição, mais uma tabelinha... Distribuição Q u i - Q u a d r a d o . “Qui” é o nome dessa letra aí → χ , só por curiosidade mesmo.

Calma jovem, as coisas vão ficar mais humanas, sem desesperos. No final, é tudo continha.

Vou te ensinar primeiro como usar a tabela Q u i - Q u a d r a d o .

Os parâmetros que a gente vai precisar são:

υ = n° de graus de liberdade = n - 1

p = nível de confiança 1 - α

E com isso podemos achar χ p na tabela.

Uma notação possível é essa aqui oh:

χ α , υ 2

Ou seja, estamos usando o nível de significância e o número de graus de liberdade! Aí pra ler a tabela precisamos encontrar p = 1 - α !

Testando...

  • Achar o valor de χ 0,005,10 2

p = 1 - 0,005 = 0,995

Cruzando a linha 10 com a coluna 0,995     → χ 0,995,10 2 = 25,188 .

Show?

Testes de Aderência

Finalmente, vamos para o assunto central do tópico! Cara, aqui a gente vai ver se o número de vezes que uma situação ocorre tá dentro do previsto pelo modelo teórico! Para isso, vamos usar o teste de hipótese.

Mas, qual deve ser a hipótese adotada? Nós queremos que as probabilidades observadas sejam iguais as probabilidades esperadas, ou, pelo menos, bem próximas. Então, tomamos como hipótese

H 0 : p 1 = p o 1 , p 2 = p o 2 , … , p s = p o s   v s   H 1 : p j ≠ p o j   p a r a   p e l o   m e n o s   u m   j .

Onde:

p i = Probabilidade observada para o valor i

p o i = Probabilidade esperada para o valor i

S = Número de casos possíveis.

Mas para este tipo de teste qual estatística será usada? Claro que tem a ver com o que eu introduzi pra vocês aqui em cima né haha. Usaremos a qui-quadrado de Pearson:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

Onde:

O i = Número de casos ocorridos para o valor i

E i = Número de casos esperados para o valor i

Então sabemos que a qui-quadrada de Pearson X 2 segue uma qui quadrada (risos) com s-1 graus de liberdade. Sendo assim rejeitaremos a hipótese H 0 , a um nível de significância α, quando:

X 2 > X α , s - 1 2

Onde:

X α , s - 1 2 = q u a n t i l   d a   1 - α   d a   q u i - q u a d r a d o   c o m   s - 1   g . l .  

Voltando ao exemplo da moeda, vamos escolher uns valores:

n = 100 lançamentos

S = 2 resultados possíveis (cara e coroa)

C = 63 caras

K = 37 coroas

α = 5% de significância

Aplicando a estatística de teste:

X 2 = ( 63 - 50 ) 2 50 + ( 37 - 50 ) 2 50 = 6,76

Agora olhando o q u a n t i l   d a   95 %   d a   q u i - q u a d r a d o   c o m   1   g . l . :

X 0,05,1 2 = 3,841

Como 6,76>3,841 rejeitamos H 0 e temos evidência que a moeda é viciada.

Expandir

Exercício Resolvido #1

A um nível de significância de 5%, temos evidência que o dado é viciado?

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Passo 1

Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência.

Passo 2

Primeiramente vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = ( 43 - 50 ) 2 50 + ( 49 - 50 ) 2 50 + ( 56 - 50 ) 2 50 + ( 45 - 50 ) 2 50 + ( 66 - 50 ) 2 50 + ( 41 - 50 ) 2 50

X 2 = 448 50 = 8 , 9 6

Passo 3

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 5 graus de liberdade

X 0,05,5 2 = 11,070

Passo 4

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

8,9 6 < 11,070

Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, não temos evidência que o dado seja viciado.

Resposta

Exercício Resolvido #2

A um nível de significância de 5%

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Passo 1

Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência. Para encontraramos o número de casos esperados para cada uma das categorias, precisamos somar as observações e multiplicar cada probabilidade esperarada por esse total.

Passo 2

Encontrando o número de casos esperados

n = O 1 + O 2 + O 3 + O 4 = 125 + 18 + 20 + 34 = 197

Multiplicando pi por n temos:

E 1 = p 1   .   n = 0,656   .   197 = 130

E 2 = p 2   .   n = 0,093   .   197 = 18

E 3 = p 3   .   n = 0,093   .   197 = 18

E 4 = p 4   .   n = 0,158   .   197 = 31

Arredondamos o E1 para 130 para a soma fechar 197.

Passo 3

Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = ( 125 - 130 ) 2 130 + ( 18 - 18 ) 2 18 + ( 20 - 18 ) 2 18 + ( 34 - 31 ) 2 31

X 2 = 0,192 + 0,222 + 0,290 = 0,704

Passo 4

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 3 graus de liberdade

X 0,05,5 2 = 7,815

Passo 5

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

0,704 < 7,815

Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, temos evidência que os dados seguem o modelo proposto.

Resposta

Exercício Resolvido #3

A um nível de significância de 5%, temos evidência que o dado é viciado?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência.

Passo 2

Para acharmos o número de casos esperados em um dado não-viciado lançado 1000 vezes basta dividir 1000 por 6

E i = 1000 6 = 166,667 ; p a r a   t o d o   i = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 .  

Passo 3

Primeiramente vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = ( 158 - 166,667 ) 2 166,667 + ( 186 - 166,667 ) 2 166,667 + ( 179 - 166,667 ) 2 166,667 + ( 161 - 166,667 ) 2 166,667 + ( 141 - 166,667 ) 2 166,667 + ( 175 - 166,667 ) 2 166,667

X 2 = 0,451 + 2,243 + 0,913 + 0,193 + 3,953 + 0,417 = 8 , 17

Passo 4

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 5 graus de liberdade

X 0,05,5 2 = 11,070

Passo 5

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

8,17 < 11,070

Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, não temos evidência que o dado seja viciado.

Resposta

Exercício Resolvido #4

Calcule o p-valor desse teste:

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Passo 1

Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência. E após isso achar o p-valor.

Passo 2

Primeiramente vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = ( 43 - 50 ) 2 50 + ( 49 - 50 ) 2 50 + ( 56 - 50 ) 2 50 + ( 45 - 50 ) 2 50 + ( 66 - 50 ) 2 50 + ( 41 - 50 ) 2 50

X 2 = 376 50 = 8,56

Passo 3

Agora vamos achar o p-valor na tabela, isto é olharemos na linha da qui-quadrada com 5 graus de liberdade, onde se encontra o valor 8,56:

Ao olhar vemos que ele está entre 10% e 25%. Então p-valor está no intervalo [0,1; 0,25]

Resposta

Exercício Resolvido #5

Considere os dados abaixo, que supostamente são uma amostra de tamanho n = 30 de uma distribuição normal, de média μ = 10 e variância σ 2 = 25 . Os dados já estão ordenados.

Ao nível de significância de 5 % , podemos afirmar que os dados se adequam a uma distribuição Normal?

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Passo 1

Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência. Aqui precisaremos primeiro definir quem são as categorias, para assim encontraramos o número de casos esperados para cada uma das categorias.

E essa parte pode parecer meio confusa, como assim definir categorias? Quem vão ser nossas categorias?

A verdade é que existem múltiplas respostas para essa pergunta. Uma forma que vai funcionar é a gente pensar nos quartis dos dados de uma distribuição.

Se dividirmos qualquer distribuição em 3 quartis principais, tipo o primeiro, o segundo, e o terceiro, esperamos que o número de dados entre cada um deles seja o mesmo né? Pois vamos pulando de 25 % em 25 % dos dados, sem alterar esse intervalo.

Então a ideia é a gente ver quantos elementos tem entre cada um desses quartis na distribuição da Normal N ( 10,25 ) citada, e depois verificar quantos dos dados observados cabem dentro de cada um desses quartis. Partiu?!

Passo 2

Para isso, vamos calcular o valor dos quartis primeiro. Como fazer isso? Usando a tabela da Normal padrão!

Na tabela da Normal padrão, nós encontramos os quartis dessa forma:

P Z < Q 1 = 0,25

P Z < Q 2 = 0,5

P Z < Q 3 = 0,75

Já que a tabela nos da valores de probabilidades acumuladas até certo z , esses z vão ser justamente nossos quartis nesses casos. Procurando na tabela vemos que:

Q 1 = - 0,6745

Q 2 = 0

Q 3 = 0,6745

Agora, para descobrir os quartis REAIS, ou seja, os da distribuição N ( 10,25 ) , precisamos “despadronizar” os quartis da Normal padrão. Para isso, multiplicamos o valor deles pelo desvio padrão, e depois somamos a média (operações inversas da padronização):

Q 1 = 5 - 0,6745 + 10 = 6,6275

Q 2 = 5 0 + 10 = 10

Q 3 = 5 0,6745 + 10 = 13,3725

Passo 3

Agora vamos olhar para a tabela dada e ver quantos valores estão em cada um dos intervalos:

- ∞ ; 6,6275 → 6   v a l o r e s = O 1

6,6275 ; 10 → 9   v a l o r e s = O 2

10 ; 13,3725 → 9   v a l o r e s = O 3

13,3725 ; + ∞ → 6   v a l o r e s = O 4

E os valores esperados para o número de elementos entre dos quartis principais de uma distribuição são iguais, ou seja, o valor que divide a distribuição em 4 partes iguais. Como n = 30 :

E i = 30 4 = 7,5   p a r a   t o d o   i = 1,2 , 3,4

Passo 4

Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = ( 6 - 7,5 ) 2 7,5 + ( 9 - 7,5 ) 2 7,5 + ( 9 - 7,5 ) 2 7,5 + ( 6 - 7,5 ) 2 7,5

X 2 = 1,2

Passo 5

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 3 graus de liberdade

X 0,05,5 2 = 7,815

Passo 6

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

1,2 < 7,815

Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, temos evidência que os dados seguem o modelo proposto.

Resposta

Exercício Resolvido #6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Neste exercício precisamos testar a hipótese se as probabilidades observadas são próximas das probabilidades esperadas, e faremos isso, pelo teste de aderência. Aqui precisaremos primeiro definir quem são as categorias, para assim encontraramos o número de casos esperados para cada uma das categorias.

Passo 2

Vamos dividir os possíveis resultados nos quartils teóricos da Normal(30,100), Q(0,25), Q(0,5) e Q(0,75), chamaremos Z(p), os quantis da N(0,1)

Q 0,25 = 30 + 10 Z 0,25 = 30 + 10 - 0,6745 = 23,255

Q 0 , 5 = 30 + 10 Z 0 , 5 = 30 + 10 0 = 30

Q 0,7 5 = 30 + 10 Z 0,7 5 = 30 + 10 0,6745 = 3 6 , 745

Passo 3

Agora vamos olhar para a tabela e ver quantos valores estão em cada um dos intervalos:

(-∞; 23,255] = 8 = O1

(23,255; 30] = 4 = O2

(30; 36,745] = 4 = O3

(36,745; +∞) = 4 = O4

Os valores esperados de uma normal esperam que em cada quartis temos a mesma quantidade de valores, como n=20 e são 4 quartis

E i = 5   p a r a   t o d o   i = 1,2 , 3,4

Passo 4

Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = ( 8 - 5 ) 2 5 + ( 4 - 5 ) 2 5 + ( 4 - 5 ) 2 5 + ( 4 - 5 ) 2 5

X 2 = 1,8 + 0,2 + 0,2 + 0,2 = 2 , 4

Passo 5

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com 3 graus de liberdade

X 0,05,5 2 = 7,815

Passo 6

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

2,4 < 7,815

Logo a um nível de significância de 5% não rejeitamos H0, isto é, temos evidência que os dados seguem o modelo proposto.

Resposta

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