P-valor

Teoria Completa

P-Valor

Cara, o que a gente vai fazer agora é ver outra forma de resolver testes de hipóteses. Além de resolver testes de hipótese, a gente vai conseguir “melhorar” o nível de significância que a gente usa para aceitar ou rejeitar determinada hipótese. Essa “melhora” vai ser o p-valor. Vamos ver num exemplo!

Exemplo: Uma emissora de TV afirma que 60 % dos televisores estavam ligados no seu programa especial da última sexta-feira. Uma rede competidora deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste. Vamos colocar à prova a afirmação da emissora, isto é,

H 0 : p = 0,6

H 1 : p < 0,6

Admitamos que da pesquisa feita com as 200 famílias, 104 estavam assistindo ao programa. Num primeiro momento, considere α = 0,05 . Depois de realizar esse teste, ache o menor nível se significância de tal forma que a hipótese nula seja rejeitada.

1º Passo: Calcular a estatística de teste (exatamente como fazíamos nos passo a passos anteriores).

Como nosso parâmetro é a proporção, usaremos a fórmula:

Z t e s t e = p ^ - p p ( 1 - p ) n

Nossa proporção amostral vai ser:

p ^ = 104 200 = 0,52

Logo, ficamos com o seguinte:

Z t e s t e = 0,52 - 0,6 0,6 × 0,4 200 = - 0,08 0,0346 = - 2,31

Guarda esse valor aí e vem comigo pro próximo passo!

2ª Passo: Calcular o p-valor.

Cara, nosso p-valor vai depender do tipo de teste que a gente faz. A gente vai fazer primeiro pro caso do exemplo, que é o unilateral inferior. Depois a gente faz os casos bilateral e unilateral superior, porque a ideia vai ser a mesma!

Olha essa figura aqui:

Essa área na cauda esquerda vai ser o p-valor. Esse   Z da figura é o   Z do teste, que a gente achou no passo 1:

  Z t e s t e =   - 2,31

Então o que a gente tem que achar é essa área:

Como que a gente acha essa área? Isso mesmo, olhando na tabela da normal-padrão!

Então temos:

p - v a l o r = P Z < - 2,31 = P Z > 2,31 = 1 - P Z < 2,31 = 1 - 0,989556 = 0,01044

3º Passo: Tomar a decisão

Cara, o critério pra tomarmos a decisão aqui vai ser o seguinte (é uma boa decorar isso aqui):

p - v a l o r ≤ α → r e j e i t a r   H 0

p - v a l o r > α → a c e i t a r   H 0

Ou seja, vamos comparar o p-valor com o nível de significância, nosso querido α .

Se tivermos um p-valor menor do que α , rejeitamos H 0 . Caso contrário, não rejeitamos!

No nosso exemplo, temos um nível de significância α = 0,05 . Assim:

0,01044 < 0,05

Logo nosso p-valor é menor! Dessa forma, rejeitamos nossa hipótese nula, o que nos leva a conclusão de que a proporção de televisores era menor que 60 % .

Pra você entender o que aconteceu: o p-valor é uma medida de quanta evidência você tem contra a hipótese nula: ele representa a probabilidade de você obter um resultado tão extremo quanto o valor do Z t e s t e , supondo a hipótese nula verdadeira. Então, por exemplo, no nosso caso a gente achou p - v a l o r ≈   0,01 . Isso quer dizer que se H 0 for verdade, a gente tem aproximadamente 1% de chance de observar Z t e s t e = - 2,31 . Quanto menor o p-valor, mais evidência você para afirmar que a hipótese nula é falsa.

Outra forma de definir o p-valor é dizer que ele é o menor nível de significância para o qual a gente rejeita a hipótese nula. No nosso caso, ao nível de significância de 5% a gente rejeita H 0 . Ao nível de significância de 0,67%, por exemplo, a gente aceitaria H 0 .

Outros Casos

Bilateral

Para o caso bilateral, a gente faria o mesmo procedimento, mas calcularia uma área como a da figura acima (cauda esquerda + cauda direita). A única diferença seria essa conta da área, que a gente faz pela tabela!

Unilateral superior

Seguindo a mesma lógica, no caso unilateral superior a gente calcula a área da cauda direita.

Agora o resumão do passo a passo:

1º Passo: Calcular a estatística de teste;

2º Passo: Calcular o p-valor a partir de Z t e s t e ;

3º Passo: Comparar o p-valor com o nível de significância, e tomar uma decisão.

Curtiu esse novo método?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 211.

Um produto químico tem seu teor de pureza distribuído conforme uma Normal com média 0,72 e desvio padrão 0,02. A fim de aumentar a pureza, o produto é submetido a um tratamento. Dezesseis unidades amostrais do produto são selecionadas de forma aleatória e submetidas a esse tratamento. Em seguida, a pureza de cada unidade é determinada obtendo-se, para elas, uma média aritmética de 0,73. Podemos dizer que o tratamento contribui para o aumento da pureza?

  1. Qual seria a sua conclusão, ao nível de significância de 5%?
  2. Qual o p-valor?
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Passo 1

(a)

Tá vamos lá, seguir o passo a passo que a gente aprendeu.

Definição das hipóteses:

H 0 :   μ = 0,72

H 1 :   μ > 0,72

Concorda? O que nos coloca no segundo caso lá que a gente viu.

Temos também que α = 0,05 , σ = 0,02 e n = 16 .

Passo 2

Próximo passo, estatística de teste:

Z = x ¯ - μ 0 σ n

Já que é um teste para média populacional.

Z = x ¯ - 0,72 0,02 16

Z = x ¯ - 0,72 0,005

Lembrando que Z tem distribuição Normal, podemos usar a tabela.

Passo 3

Para especificar a região de rejeição do teste, a gente sabe que esse caso é o caso2 da nossa teoria e que pra ele a região de rejeição é:

Z > z 1 - α

Z > z 0,95

Usando a tabela:

Z > 1,64

Passo 4

Agora fazemos que:

P Z > x ¯ - 0,72 0,005 = 1,64

x ¯ c - 0,72 0,005 = 1,64

x ¯ c = 0,72 + 1,64 × 0,005

x ¯ c = 0,728

A região de rejeição então será x ¯ > 0,728 e a de aceitação x ¯ < 0,728 .

Com isso, como o valor observado foi 0,73 devemos rejeitar a hipótese H 0 .

Passo 5

(b)

Temos que achar o valor limite ali onde a decisão passa de aceitação para rejeição de H 0 ou o contrário, como preferir. Isso acontece quando o valor observado ( x ¯ o b s ) é maior do que 0,73 que é a informação de H 0 .

α ~ = P x ¯ > 0,73

Padronizando:

α ~ = P Z > 0,73 - 0,72 0,005

α ~ = P Z > 2

Usando aqueles paranauês lá:

α ~ = 0,0228 = 2,28 %

Resposta

a   r e j e i t a r   a   h i p ó t e s e   H 0

b   0 , 0228

Exercício Resolvido #2

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 384.

As especificações dos pentes de memória RAM para computadores fabricados pela Companhia Boa Memória indicam que a porcentagem de pentes defeituosos não excede 5%. Uma amostra de cem desses pentes apresentou sete defeituosos.

Com base nesse resultado, podemos afirmar que as especificações estão incorretas?

  1. Qual a decisão a ser tomada, ao nível de significância de 0,01?
  2. Qual o nível crítico do teste?
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Passo 1

(a)

Primeiros definimos as hipóteses:

H 0 :   p ≤ 0,05

H 1 : p > 0,05

Com isso já temos como dados:

n = 100

α = 0,01

E a proporção amostral de defeituosos é: