P-valor

Teoria Completa

P-Valor

Cara, o que a gente vai fazer agora é ver outra forma de resolver testes de hipóteses. Além de resolver testes de hipótese, a gente vai conseguir “melhorar” o nível de significância que a gente usa para aceitar ou rejeitar determinada hipótese. Essa “melhora” vai ser o p-valor. Vamos ver num exemplo!

Exemplo: Uma emissora de TV afirma que 60 % dos televisores estavam ligados no seu programa especial da última sexta-feira. Uma rede competidora deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste. Vamos colocar à prova a afirmação da emissora, isto é,

H 0 : p = 0,6

H 1 : p < 0,6

Admitamos que da pesquisa feita com as 200 famílias, 104 estavam assistindo ao programa. Num primeiro momento, considere α = 0,05 . Depois de realizar esse teste, ache o menor nível se significância de tal forma que a hipótese nula seja rejeitada.

1º Passo: Calcular a estatística de teste (exatamente como fazíamos nos passo a passos anteriores).

Como nosso parâmetro é a proporção, usaremos a fórmula:

Z t e s t e = p ^ - p p ( 1 - p ) n

Nossa proporção amostral vai ser:

p ^ = 104 200 = 0,52

Logo, ficamos com o seguinte:

Z t e s t e = 0,52 - 0,6 0,6 × 0,4 200 = - 0,08 0,0346 = - 2,31

Guarda esse valor aí e vem comigo pro próximo passo!

2ª Passo: Calcular o p-valor.

Cara, nosso p-valor vai depender do tipo de teste que a gente faz. A gente vai fazer primeiro pro caso do exemplo, que é o unilateral inferior. Depois a gente faz os casos bilateral e unilateral superior, porque a ideia vai ser a mesma!

Olha essa figura aqui:

Essa área na cauda esquerda vai ser o p-valor. Esse   Z da figura é o   Z do teste, que a gente achou no passo 1:

  Z t e s t e =   - 2,31

Então o que a gente tem que achar é essa área:

Como que a gente acha essa área? Isso mesmo, olhando na tabela da normal-padrão!

Então temos:

p - v a l o r = P Z < - 2,31 = P Z > 2,31 = 1 - P Z < 2,31 = 1 - 0,989556 = 0,01044

3º Passo: Tomar a decisão

Cara, o critério pra tomarmos a decisão aqui vai ser o seguinte (é uma boa decorar isso aqui):

p - v a l o r ≤ α → r e j e i t a r   H 0

p - v a l o r > α → a c e i t a r   H 0

Ou seja, vamos comparar o p-valor com o nível de significância, nosso querido α .

Se tivermos um p-valor menor do que α , rejeitamos H 0 . Caso contrário, não rejeitamos!

No nosso exemplo, temos um nível de significância α = 0,05 . Assim:

0,01044 < 0,05

Logo nosso p-valor é menor! Dessa forma, rejeitamos nossa hipótese nula, o que nos leva a conclusão de que a proporção de televisores era menor que 60 % .

Pra você entender o que aconteceu: o p-valor é uma medida de quanta evidência você tem contra a hipótese nula: ele representa a probabilidade de você obter um resultado tão extremo quanto o valor do Z t e s t e , supondo a hipótese nula verdadeira. Então, por exemplo, no nosso caso a gente achou p - v a l o r ≈   0,01 . Isso quer dizer que se H 0 for verdade, a gente tem aproximadamente 1% de chance de observar Z t e s t e = - 2,31 . Quanto menor o p-valor, mais evidência você para afirmar que a hipótese nula é falsa.

Outra forma de definir o p-valor é dizer que ele é o menor nível de significância para o qual a gente rejeita a hipótese nula. No nosso caso, ao nível de significância de 5% a gente rejeita H 0 . Ao nível de significância de 0,67%, por exemplo, a gente aceitaria H 0 .

Outros Casos

Bilateral

Para o caso bilateral, a gente faria o mesmo procedimento, mas calcularia uma área como a da figura acima (cauda esquerda + cauda direita). A única diferença seria essa conta da área, que a gente faz pela tabela!

Unilateral superior

Seguindo a mesma lógica, no caso unilateral superior a gente calcula a área da cauda direita.

Agora o resumão do passo a passo:

1º Passo: Calcular a estatística de teste;

2º Passo: Calcular o p-valor a partir de Z t e s t e ;

3º Passo: Comparar o p-valor com o nível de significância, e tomar uma decisão.

Curtiu esse novo método?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 211.

Um produto químico tem seu teor de pureza distribuído conforme uma Normal com média 0,72 e desvio padrão 0,02. A fim de aumentar a pureza, o produto é submetido a um tratamento. Dezesseis unidades amostrais do produto são selecionadas de forma aleatória e submetidas a esse tratamento. Em seguida, a pureza de cada unidade é determinada obtendo-se, para elas, uma média aritmética de 0,73. Podemos dizer que o tratamento contribui para o aumento da pureza?

  1. Qual seria a sua conclusão, ao nível de significância de 5%?
  2. Qual o p-valor?
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Passo 1

(a)

Tá vamos lá, seguir o passo a passo que a gente aprendeu.

Definição das hipóteses:

H 0 :   μ = 0,72

H 1 :   μ > 0,72

Concorda? O que nos coloca no segundo caso lá que a gente viu.

Temos também que α = 0,05 , σ = 0,02 e n = 16 .

Passo 2

Próximo passo, estatística de teste:

Z = x ¯ - μ 0 σ n

Já que é um teste para média populacional.

Z = x ¯ - 0,72 0,02 16

Z = x ¯ - 0,72 0,005

Lembrando que Z tem distribuição Normal, podemos usar a tabela.

Passo 3

Para especificar a região de rejeição do teste, a gente sabe que esse caso é o caso2 da nossa teoria e que pra ele a região de rejeição é:

Z > z 1 - α

Z > z 0,95

Usando a tabela:

Z > 1,64

Passo 4

Agora fazemos que:

P Z > x ¯ - 0,72 0,005 = 1,64

x ¯ c - 0,72 0,005 = 1,64

x ¯ c = 0,72 + 1,64 × 0,005

x ¯ c = 0,728

A região de rejeição então será x ¯ > 0,728 e a de aceitação x ¯ < 0,728 .

Com isso, como o valor observado foi 0,73 devemos rejeitar a hipótese H 0 .

Passo 5

(b)

Temos que achar o valor limite ali onde a decisão passa de aceitação para rejeição de H 0 ou o contrário, como preferir. Isso acontece quando o valor observado ( x ¯ o b s ) é maior do que 0,73 que é a informação de H 0 .

α ~ = P x ¯ > 0,73

Padronizando:

α ~ = P Z > 0,73 - 0,72 0,005

α ~ = P Z > 2

Usando aqueles paranauês lá:

α ~ = 0,0228 = 2,28 %

Resposta

a   r e j e i t a r   a   h i p ó t e s e   H 0

b   0 , 0228

Exercício Resolvido #2

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 384.

As especificações dos pentes de memória RAM para computadores fabricados pela Companhia Boa Memória indicam que a porcentagem de pentes defeituosos não excede 5%. Uma amostra de cem desses pentes apresentou sete defeituosos.

Com base nesse resultado, podemos afirmar que as especificações estão incorretas?

  1. Qual a decisão a ser tomada, ao nível de significância de 0,01?
  2. Qual o nível crítico do teste?
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Passo 1

(a)

Primeiros definimos as hipóteses:

H 0 :   p ≤ 0,05

H 1 : p > 0,05

Com isso já temos como dados:

n = 100

α = 0,01

E a proporção amostral de defeituosos é:

p ^ = 7 100 = 0,07

Passo 2

Nossa estatística de teste é:

Z t e s t e = p ^ - p p ^ 1 - p ^ n = 0,07 - 0,05 0,07 1 - 0,07 100 = 0,7837

Vamos calcular o que falta então, nosso ponto crítico:

z 1 - α = z 0,99 = 2,33

Pra isso, só usei a tabela da Normal.

Isso quer dizer, como estamos num teste unilateral superior, que qualquer valor ACIMA desse cai na região crítica.

Com isso, como nossa estatística de teste não é maior que nosso ponto crítico, não rejeitamos a hipótese nula, pois estamos na região de aceitação!

Passo 3

(b)

O nível crítico do teste, ou o p-valor é:

p - v a l o r = P Z > Z t e s t e

= P Z > 0,7837

= 1 - P ( Z < 0,7837 )

= 1 - 0,7823 = 0,2177

O que é beeem maior que nosso nível de significância, então, mais uma vez, não podemos rejeitar a hipótese nula!

Resposta

a   n ã o   é   p o s s í v e l   r e j e i t a r   H 0

b   21,77 %

Exercício Resolvido #3

P2- 2012.2 – UFRJ Teste de Hipóteses

Um estudo com 420.095 dinamarqueses usuários de telefones celulares descobriu que 135 deles tinham desenvolvido câncer no cérebro. Uma pesquisa anterior a essa, diz que a taxa de incidência de tipo de câncer era de 0,034% para pessoas que não usavam telefones celulares.

(b) Você diria que os usuários de telefone celular parecem ter uma taxa de incidência de câncer no cérebro diferente da taxa de incidência deste tipo de câncer em pessoas que não usam telefone celular? Realize um teste de hipóteses, adotando um nível de significância de 1% para dar a sua resposta.

(c) Calcule o p -valor do teste realizado no item anterior.

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Passo 1

(b)

Para esse teste, de acordo com o enunciado, a gente teria as hipóteses:

H 0 :     p = 0,034 %

H 1 :     p ≠ 0,034 %

Pra esse caso a gente tem duas regiões de rejeição possível, vê la direitin no conteúdo:

p ^ > p 0 + z 1 - α 2 . σ 0

p ^ < p 0 - z 1 - α 2 . σ 0

E...

α = 0,01 → z 995 = 2,57

σ 0 = p 1 - p n

Passo 2

Substituindo os valores, as regiões de rejeição seriam..

p ^ > 0,034 % + 2,57 × 0,034 % 1 - 0,034 % 420095 = 0,0 413 %

p ^ < 0,034 % - 2,57 × 0,034 % 1 - 0,034 % 420095 = 0,0 267 %

A região de rejeição é então:

p ^ < 0,0 267 %       p ^ > 0,0 413 %

Passo 3

(c)

Vamos calcular o p-valor..

α ~ = P Z ≥ z 0

= P Z ≥ p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n

Substituindo todos os valores que a gente usou até agora no problema...

= P ( | Z | ≥ 0,67 )

Usando aqueles paranauês que você já deve tá cansado de fazer..

= 1 - P Z < 0,67

= 1 - 2 Φ 0,67 - 1

= 2 - 2 Φ 0,67

= 0,5028

Resposta

c   0,5028

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Um médico quer testar um novo medicamento e seu efeito no tempo de resposta de outras substâncias. Para isso, ele tratou 100 ratos com o medicamento e injetou outra substância neles posteriormente, verificando o tempo de resposta. A literatura diz que a média do tempo de resposta dessa substância é de 1,2 s . O médico obtém uma média amostral de 1,05 s e desvio padrão de 0,5 s para o tempo de resposta nos ratos que está estudando. Você acha que o novo medicamento cumpriu seu objetivo? Teste a um nível de confiança de 0,01 .

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Passo 1

Primeiro construímos as hipóteses:

H 0 :     μ = 1,2

H 1 :     μ < 1,2

É menor por que queremos testar se o medicamento diminui o tempo de resposta mesmo!

Passo 2

Calculando nossa estatística de teste para a média:

Z = X - - μ σ n = 1,05 - 1,2 0,5 100 = - 3

Passo 3

Agora calculamos o p-valor e comparmos o valor dele com o nível de significância.

No teste unilateral inferior o p-valor é dado por:

P - v a l o r = P Z < Z t e s t e = P Z < - 3 = P Z > 3 = 1 - P Z < 3 = 1 - 0,9987

P - v a l o r = 0,0013

Nosso nível de significância é 0,01 , então:

P - v a l o r ≤ α

E quando caímos nesse caso, nós rejeitamos a hipótese nula!

Resposta

Rejeita-se H 0 .

Exercício Resolvido #5

Lista de Exercício de Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses, Monitora Juliana, UFPR

O tempo para transmitir 10   M B em determinada rede de computadores varia segundo um modelo normal, com média   7,4   s e g   e variância 1,3   s e g ² . Depois de algumas mudanças na rede acredita-se numa redução no tempo de transmissão de dados, além de uma possível alteração na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de   10   M B e foram anotados os tempos de transmissão, em segundos:

6,8   7,1   5,9   7,5   6,3   6,9   7,2   7,6   6,6   6,3

Existe evidência suficiente de que o tempo médio de transmissão foi reduzido? Use nível de significância de 1%.

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Passo 1

Primeiro construímos as hipóteses:

H 0 :     μ = 7,4

H 1 :     μ < 7,4

É menor por que queremos testar se o tempo foi reduzido!

Passo 2

O enunciado nos menciona uma possível alteração na variabilidade, então vamos ter que ignorar essa variância populacional dada e calcular uma variância amostral a partir dos dados da amostra. Começando pela média amostral:

x - = ∑ x i n = 6,82

E a variância:

s 2 = ∑ x i - x - n = 0,3036

Então o desvio padrão amostral é:

s = 0,3036 = 0,551

Calculando nossa estatística de teste para a média com σ desconhecido:

T t e s t e = X - - μ s n = 6,82 - 7,4 0,551 1 0 = - 3 , 33

Passo 3

Agora calculamos o p-valor e comparmos o valor dele com o nível de significância.

No teste unilateral inferior o p-valor é dado por:

P - v a l o r = P T < T t e s t e = P T < - 3 , 33 = P T > 3 , 33 =

= 1 - P T < 3 , 33 = 1 - 0,995 = 0,005

Esse 0,995 aí achamos indo na linha do grau de liberdade 9 , que é o de nosso interesse ( v = n - 1 = 10 - 1 = 9 ) , e procurando o valor mais próximo de 3,33 . Achado o valor, vemos qual o p corresponde na primeira linha da tabela!

P - v a l o r = 0,005

Nosso nível de significância é 0,01 , então:

P - v a l o r ≤ α

E quando caímos nesse caso, nós rejeitamos a hipótese nula!

Resposta

Rejeita-se H 0 .

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