Tipos de Erros

Teoria Completa

Tipos de Erro

Cara, lembra que lá no tópico de introdução aos testes de hipótese eu te disse que, mesmo após escolher uma das hipóteses, poderíamos estar cometendo um erro?

Então, agora eu vou te explicar isso bem melhor, e quero que você fique expert nesse assunto também!

Vamos voltar para o exemplo que eu te dei lá.

“Uma indústria compra ímãs importados, que devem satisfazer algumas exigências quanto a resistência à tração dos mesmos. Compramos majoritariamente de dois países (A e B) que possuem diferenças entre si.

i) País A:

Resistência Média à tração: 145kg

Desvio-padrão: 12kg

ii) País B:

Resistência Média à tração: 155kg

Desvio-padrão: 20kg

Um lote será leiloado e a empresa precisa saber qual país de origem para fazer a oferta. Uma amostra de 25 unidades é coletada. Pouco antes do leilão será divulgada a média amostral, x - . Qual regra de decisão deve ser usada para decidir se vem de A ou de B?

Bom, primeiro de tudo, montamos nossas hipóteses assim:

Hipótese Nula H 0 : Os ímãs são de origem B

H 0 :   μ = 155   e   σ = 20

Hipótese Alternativa ( H 1 ) : Os ímãssão de origem A

H 1 :   μ = 145   e   σ = 12

Além disso, nossa região crítica era:

E definimos como:

P e r r o I = P d i z e r   q u e   s ã o   d e   A   q u a n d o   s ã o   d e   B = P x - < 150 o   p a í s   p r o d u t o r   é   B )

Lembrando que, pra um caso geral:

P e r r o I = P r e j e i t a r   H 0 H 0   é   v e r d a d e i r a = α

E o contrário:

P e r r o I I = P d i z e r   q u e   s ã o   d e   B   q u a n d o   s ã o   d e   A = P x - ≥ 150 o   p a í s   p r o d u t o r   é   A

E, pra um caso geral:

P e r r o I I = P a c e i t a r   H 0 H 0   é   f a l s a = β

Vamos então calcular as probabilidades de estarmos cometendo esses erros?

Probabilidade do Erro Tipo I

Se H 0 é verdadeira (os ímãs são de B), pelo Teorema Central do Limite, a distribuição de x - é dada por:

x -   ~   N ( 155 , 20 2 25 )

Opa, peraí! De onde veio isso?!

Lembra que pelo Teorema Central do Limite falamos que

x -   ~   N ( μ , σ 2 n )

Onde μ é a média, σ 2 é a variância e n é o tamanho da amostra?

Continuando...

Se queremos calcular o erro I:

P e r r o I = P x - ∈ R C H 0   é   v e r d a d e i r a

E para que nossa média amostral ( x - ) pertença à região crítica, então x - < 150 , certo?

P e r r o I = P x - < 150 x -   ~   N ( 155,16 ) )

Padronizando…

P e r r o I = P x - - 155 4 < 150 - 155 4

Opa! Se você se esqueceu como padronizar, toma aqui o resumo da ópera:

Nosso lado esquerdo vira nosso querido Z , e ficamos com:

P e r r o I = P ( Z < - 1,25 )

E pela tabela da normal, sabemos que

P Z < - 1,25 = P Z > 1,25 = 1 - P Z < 1,25 = 0,1056 → 10,56 %

A probabilidade de ser A quando afirmamos ser B, ou a probabilidade do erro tipo I, é 10,56 % .

Probabilidade do Erro Tipo II

Se H 1 é verdadeira (os imãs são de A), pelo TCL a distribuição de x - é:

x -   ~   N 145 , 12 2 25

Mesmo passo a passo do caso anterior, hein! Vamos lá.

Então,

P e r r o I I =   P x - ∈ R A H 1   é   v e r d a d e i r a

P e r r o I I = P x - ≥ 150 x -   ~   N 145 ; 5,76

Padronizando…

P e r r o I I = P x - - 145 2,4 ≥ 150 - 145 2,4

P e r r o I I = P Z ≥ 2,08

Pela tabela normal temos que:

P e r r o I I = P Z ≥ 2,08 = 1 - P Z ≤ 2,08 = 0,01876 = 1,88 %

Logo, a probabilidade de dizermos que é de B quando é de A, ou a probabilidade do erro tipo II, é de 1,88%.

Tranquilo até aqui?

Vamos olhar esses resultados numa tabelinha:

E para um caso geral, vamos ter sempre o seguinte:

Se rejeitarmos H 0 , e H 0 for verdadeira, estaremos cometendo um erro do tipo I.

Já no caso de aceitarmos H 0 , e H 0 for falsa, estaremos cometendo um erro do tipo II.

IMPORTANTE!!

Nos passo a passos que eu te ensinei antes pra resolver testes de hipótese, nós encontrávamos a região crítica usando z α e t α ; v , certo?

Aqui, pra resolver questões de erros do tipo I e II, precisamos ter a região crítica expressada na nossa grandeza amostral (por exemplo, nosso x - ). Opa, cumé que faz isso?!

Cara, em algumas questões, como essa que a gente resolveu, o cara já vai te dar essa região crítica pronta. Em outros, vamos ter que descobrir.

Quer saber como? Vem comigo num exemplo esperto.

“Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou x - = 0,87 . Sabendo que o desvio-padrão é σ = 0,010 , e usando um nível de significância α = 0,05 , dê o ponto crítico x - c .”

As hipóteses desse problema seriam:

H 0 :   μ = 0,85

H 1 :   μ ≠ 0,85

Pra encontrar esse ponto crítico, vamos igualar nossa estatística de teste com o ponto crítico em função de z .

x - - μ σ n = z 1 - α 2

E

x - - μ σ n = - z 1 - α 2

Lembrando que estamos num caso bilateral, por isso temos dois pontos críticos!

E vamos isolar esse x - , pois ele é o nosso x - c !

x - c - 0,85 0,010 8 = z 1 - 0,05 2

x - c - 0,85 0,010 8 = z 0,975

x - c - 0,85 0,010 8 = 1,96

x - c 1 = 0,857

Descobrindo o outro ponto crítico...

x - c - 0,85 0,010 8 = - z 1 - 0,05 2

x - c - 0,85 0,010 8 = - z 0,975

x - c - 0,85 0,010 8 = - 1,96

x - c 2 = 0,843

O passo a passo vai ser sempre esse! Só tomar cuidado pra usar as fórmulas certinhas de cada lado, e partir pro abraço.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Morettin & Bussab, Estatística Básica 5ª edição, pág 329

Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, iremos proceder do seguinte modo:

  1. Selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a altura média deles;
  2. Se essa altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso contrário, são descendentes de A.

Os parâmetros das alturas das duas civilizações são:

A :   μ = 175   e   σ = 10

B :   μ = 177   e   σ = 10

Qual a probabilidade do erro de tipo I? E do erro de tipo II?

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Passo 1

Primeiro vamos definir nossas hipóteses:

H 0 :     m o r a d o r e s   s ã o   d e   A

H 1 :     m o r a d o r e s   s ã o   d e   B

Note que aqui você poderia definir o contrário se quisesse.

Sabendo disso, nossa região crítica vai ser quando:

x - > 176

Que é quando rejeitamos a hipótese nula.

Passo 2

Então a probabilidade do erro de tipo I vai ser:

P e r r o   t i p o   I = P r e j e i t a r   H 0 H 0   é   v e r d a d e i r a = P ( x - > 176 | μ = 175 )

Padronizando isso aí:

P Z > 176 - 175 10 100 μ = 175 = P Z > 1 = 1 - Φ ( 1 )

Procurando esse z na tabela vemos que...

1 - Φ 1 = 1 - 0,8413 = 0,1587

Então:

P e r r o   t i p o   I = 0,1587

Passo 3

P e r r o   t i p o   I I = P r e j e i t a r   H 1 H 1   é   v e r d a d e i r a = P ( x - < 176 | μ = 177 )

Padronizando:

P Z < 176 - 177 10 100 μ = 177 = P Z < - 1 = P Z > 1 = 1 - Φ ( 1 )

Então vai dar no mesmo cálculo que fizemos para o erro I :

1 - Φ 1 = 0,1587

Então:

P e r r o   t i p o   I I = 0,1587

Resposta

0,1587

0,1587

Exercício Resolvido #2

Morettin & Bussab, Estatística Básica 5ª edição, pág 329

Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, iremos proceder do seguinte modo:

  1. Selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a altura média deles;
  2. Se essa altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso contrário, são descendentes de A.

Os parâmetros das alturas das duas civilizações são:

A :   μ = 175   e   σ = 10

B :   μ = 177   e   σ = 10

Qual deve ser a regra de decisão se quisermos fixar a probabilidade do erro de tipo I   em 5%? Qual a probabilidade do erro de tipo I I , nesse caso?

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Passo 1

A questão tá perguntando a regra de decisão que devemos adotar, ou seja, qual deve ser o valor crítico c do nosso teste, que vai dividir nossas regiões entre crítica e de aceitação. Basicamente queremos ignorar o ponto 176 dado no item ii) e descobrir qual o novo valor desse ponto.

E a regra de decisão deve garantir que o erro de tipo I valha 0,05 , ou seja:

P e r r o   I = P x - > c μ = 175 = 0,05

Padronizando isso aí:

P Z > c - 175 10 100 = 0,05

P Z > c - 175 = 0,05

Invertendo o sinal:

P Z < - c + 175 = 0,05

Se tentarmos procurar o 0,05 no corpo da tabela da Normal, vamos perceber que algumas tabelas não tem esse valor. Nesse caso, procuramos o complementar de 0,05 , ou seja, 0,95 e colocamos o sinal de negativo na frente:

Φ 1,64 = 0,95

Φ - 1,64 = 0,05

Onde:

Φ - c + 175 = Φ - 1,64

Então:

- c + 175 = - 1,64

c = 176,64

Passo 2

Então agora o erro de tipo I I fica:

P e r r o   t i p o   I I = P r e j e i t a r   H 1 H 1   é   v e r d a d e i r a = P ( x - < 176,64 | μ = 177 )

Padronizando:

P Z < 176,64 - 177 10 100 μ = 177 = P Z < - 0,36 = P Z > 0,36 = 1 - Φ ( 0,36 )

= 1 - 0,6406 = 0,3594

Resposta

176,64

0,3594

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Seja X o Q.I. dos estudantes de certa escola, com distribuição Normal de média desconhecida e desvio padrão 15. Suponha que se uma média amostral do Q.I. dos estudantes for maior que 106 , eles são considerados acima da média. Foi retirada uma amostra aleatória de 25 estudantes cujo Q.I. médio foi 106.

Calcule a probabilidade de cometer um erro de tipo I I ( β ), tomando como valor crítico para a média x - = 106 e considerando que o verdadeiro valor da média dos Q.I. de todos os alunos da escola é 110 .

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Passo 1

Definindo as hipóteses:

H 0 :   e s t u d a n t e s   t e m   Q . I . a c i m a   d a   m é d i a

H 1 :   e s t u d a n t e s   n ã o   t e m   Q . I . a c i m a   d a   m é d i a

Passo 2

A probabilidade do erro de tipo II acontecer é dada por:

P e r r o   t i p o   I I = P r e j e i t a r   H 1 H 1   é   v e r d a d e i r a = P ( x - > 10 6 | μ = 1 10 )

Padronizando:

P Z > 106 - 110 15 25 μ = 110 = P Z > - 1 , 33 = P Z < 1 , 33 = Φ 1,33 = 0,9082

Resposta

0,9082

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Calcule o ponto crítico de um teste que quer averiguar se a quantidade média de creme de leite em latinhas é inferior 300 m l . Para a realização do teste, foram analisadas 12 latinhas e obtida uma média de 298 m l . Considere o desvio padrão igual a 0,001 m l e α = 0,05 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos escrever as hipóteses do nosso teste:

H 0 :     μ = 300

H 1 :     μ < 300

Já que queremos averiguar se a quantidade média é menor que 300 m l !

Passo 2

Como estamos num teste unilateral inferior, nossa ponto crítico é dado por:

- z 1 - α

E a nossa estatística de teste para média é:

x - - μ σ n

Igualando esses dois caras:

x - - μ σ n = - z 1 - α

Lembrando que x - = x - c é o ponto crítico!

Passo 3

Agora podemos substituir os valores do enunciado:

x c - - 300 0,001 12 = - z 1 - 0,05

x c - - 300 0,000289 = - z 0,95

x c - - 300 0,000289 = - 1,64

x c - - 300 = - 0,00047

x c - = 299,999

Resposta

x c - = 299,999

Exercício Resolvido #5

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,330-03

Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula aquela que para você leva a um erro do tipo I mais importante. Descobre quais dos dois erros em cada caso.

a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir entre as hipóteses:

1. Está tendo um ataque

2. tudo bem, apenas uma leve interferência.

b) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são:

1. a vacina é eficaz;

2. a vacina não é eficaz.

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Passo 1

Vamos analisar a letra a)

O trabalho do operador é detectar aeronaves inimigas, portanto o erro é rejeitar a afirmação de um ataque, quando o mesmo está ocorrendo é gravíssima. Assim,

H 0 : Está tendo um ataque

E r r o   I : Rejeitar H 0 , o fato de estar tendo um ataque, quando o mesmo é verdadeiro.

H 1 : tudo bem, apenas uma leve interferência  

E r r o   I I : Aceitar H 0 quando a mesma é falsa

Passo 2

Analisando a letra b)

Mesmo que não exista nenhum efeito colateral é pior distribuir algo que não ajuda em nada, ou seja, nossa hipótese deve ser que a a vacina não é eficaz.

H 0 : A vacina não é eficaz

E r r o   I : dizendo que a vacina é eficaz, quando H 0 é verdadeira, ou seja, quando ela não é.

H 1 :   A vacina é eficaz.

E r r o   I I : Aceitar H 0 quando a mesma é falsa

Resposta

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