Aproximando a Binominal pela Normal

Teoria Completa

Um caso muuuito especial da utilização do teorema central do limite é a aproximação da Binomial pela Normal.

Por quê? Boa pergunta, vem comigo!

De acordo com o teorema, se eu tenho uma soma de variáveis com mesma distribuição eu posso aproximar essa soma por uma normal, certo?

Agora eu te pergunto, o que é a Binomial mesmo ?

A distribuição Binomial é uma soma de várias variáveis de Bernoulli. Lembra que eu te disse lá atrás que teríamos Binomial sempre que tivéssemos a repetição de n eventos de Bernoulli ?

Com isso, se:

X   ~   Bin n , p

Teremos:

E X = μ = n p       ,       D P X = σ = n p 1 - p

E poderemos aproximar essa v.a. X por distribuição Normal, com ~   Normal ( μ , σ 2 ) .

Só um bizu importante: temos que tomar um cuidado quando formos calcular as probabilidades. Como estamos passando de uma distribuição discreta pra uma distribuição contínua, vamos fazer uma correção pra melhorar essa aproximação:

P X = k Binomial → P k - 0,5 ≤ X ≤ k + 0,5 Normal

P X ≥ a Binomial → P X ≥ a - 0,5 Normal

P X > a Binomial → P X ≥ a + 0,5 Normal

P X ≤ b Binomial → P X ≤ b + 0,5 Normal

P X < b Binomial → P X ≤ b - 0,5 Normal

Sempre que a gente aproximar uma distribuição discreta por uma Normal, vamos fazer essa correção. Essa correção é chamada correção de continuidade.

Exemplo: Se tenho uma variável X que segue o modelo Binomial com n = 50 e p = 0,6 . Qual seria a probabilidade P ( X ≤   32 ) ?

Solução: Bom,

X   ~   Bin 50 ; 0,6

De acordo com as fórmulas da Binomial,

E X = 50 × 0,6 = 30

Var X = 50 × 0,6 × 0,4 = 12

Como n é grande, podemos aproximar por uma Normal [ ~   Normal μ , σ 2 ] , então, vamos usar a correção de continuidade:

P X ≤ 32 Binomial → P X ≤ 32 + 0,5 Normal

Então, a gente vai ter

P X ≤ 32 = P Z ≤ 32,5 - 30 12

                          = P ( Z ≤ 0,72 )

                                        = Φ ( 0,72 ) = 0,7642

OBS: Cara, muito cuidado pra não confundir na hora das contas D P X = σ com Var X = σ ² .

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-PF-2015.1.-2B

O tempo de travessia T de uma balsa é uma variável aleatória que assume os valores 10 , 15 e 30 minutos com probabilidades iguais. Carlos pega esta balsa diariamente para ir ao trabalho. Entretanto, ele não consegue pegar a conexão com o ônibus da firma se o tempo gasto com a travessia for T = 30 . Não pegando o ônibus ele consegue um taxi com probabilidade 1 / 2 , e, neste caso, chega a tempo no serviço. Não conseguindo um taxi ele vai a pé e chega atrasado. Sua firma tem a política de tolerar no máximo 20 % de atrasos por ano.

Calcule a probabilidade de que, num ano de trabalho, Carlos não consiga cumprir com a política de tolerância da empresa com respeito a atrasos, admitindo que haja 300 dias de trabalho por ano. Você acha que Carlos conseguirá se manter no emprego?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos considerar 300 dias de trabalho... pra ele não cumprir a política de tolerância da empresa ele tem que faltar mais do que 20 % dos dias...

20 % × 300 = 60   d i a s

Se:

X → n º   d e   f a l t a s   e m   300   d i a s

Pra ele ser demitido, a gente calcula a prob:

P X > 60 =   ?

Beleza?

Passo 2

Vamos identificar qual a distribuição de X então...

A gente tem um total de 300 dias e sabe que a prob. dele se atrasar em qualquer um dos dias é 1 / 6 que foi o que a gente calculou em (a).

Se eu quero medir o número de dias que ele vai faltar dentre os 300 , eu estou repetindo o experimento de um dia trezentas vezes, concorda? Com a mesma prob. 1 / 6 de sucesso (se atrasar). Isso é Binomial!

X   ~   B i n o m i a l   300   ; 1 6

Passo 3

Só que nosso n = 300 é muito grande... quando isso acontece, a gente pode aproximar a binomial pela Normal, tá lembrado disso?

Com:

E X = μ = n p

μ = 300 × 1 6 = 50

E:

σ 2 = n p 1 - p

= 300 × 1 6 × 5 6 = 250 6

Daí:

X   ~   N o r m a l 50   ; 250 6

E vamos calcular P X > 60 ? Não né? Lembra? Correção de continuidade.

Vamos calcular P X > 60 + 0,5 .

Passo 4

Agora sim podemos calcular:

P X > 60,5 =   ?

Padronizando:

= P Z > 60,5 - 50 250 6

= P Z > 1 , 63

Usando nossos conhecimentos da Normal:

= 1 - P Z < 1,63

Olhando na tabela:

P Z < 1,63 = 0,9 484

Daí:

P X > 60,5 = 1 - 0,9484

= 0,0 516

Resposta

  0,0 516

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2014.1-3c

Ocorem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, X , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

(c) Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja N o número de amostras para as quais não houve desintegrações antes de 6 segundos. Forneça a expressão matemática da função de probabilidade de N , a esperança de N e a variância de N . Calcule também, usando a aproximação pela lei Normal, P ( N ≥ 9 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, agora é como se fossemos representar esse experimento 30 vezes. → n = 30

E só temos duas possibilidades: sucesso, que é quando não acontecem desintegrações nesse intervalo, e fracasso quando acontecem.

A gente sabe que a probabilidade de sucesso que a gente já calculou antes é:

p = 0,3679

Então, para N , a gente tem um caso de Binomial.

N   ~   B i n   ( 30 ; 0,3679 )

Então a função de probabilidade genérica pra N é:

P N = k = 30 k . 0,3679 k . 0,6321 30 - k     ,     p a r a   k = 1,2 , 3 , … , 30

Passo 2

Calcular E ( N ) e V a r ( N ) .

Tranquilo, só aplicar as fórmulas da binomial.

E N = n p

E N = 30 × 0,3679 = 11,037

V a r N = n p 1 - p

V a r N = 30 × 0,3679 × 0,6321 = 6,9765

Passo 3

Bom, o que a gente vai ter que fazer é aquela aproximação da Binomial pela Normal.

Com isso, a gente vai ter que:

N   ~   N o r m a l   μ , σ 2

Onde:

μ = E N = 11,037

σ ² = V a r N = 6,9765

Passo 4

Vamos calcular P N ≥ 9 . Fazendo o processo de padronização da Normal e levando em consideração a correção da continuidade.

P N ≥ 9 = P Z > 8,5 - 11,037 6,9765

= P Z > - 0,96

= P Z < 0,96      

= Φ 0,96                      

Procurando na tabela, você vai encontrar:

= 0,8315                          

Resposta

c   E N = 11,037     ,     V a r N = 6,9765     ,     P N ≥ 9 = 0,8315

Exercício Resolvido #3

L ista de Exercício Probest – Cap 6, IM – UFRJ.

O Comitê organizador de um congresso científico contratou 5 hotéis da cidade onde vai se realizar esse evento para hospedarem os 1000 congressistas inscritos. Cada um desses hotéis só têm quartos individuais e só poderá hospedar os participantes do congresso durante esse período. Admita que cada congressista escolherá de forma aleatória para qual dos 5 hotéis ele vai se dirigir. O Hotel X é um desses 5 hotéis e tem capacidade para acomodar 210 pessoas. (a) Qual a probabilidade de que o Hotel X consiga acomodar todos os congressistas que o procurarem?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O enunciado diz que os congressistas vão escolher de forma aleatória em qual hotel vão se hospedar entre os 5 hotéis totais, então a probabilidade do Hotel X ser escolhido por um congressista é de 1 em 5 , ou seja:

p = 1 5 = 0,2

Vamos chamar essa aí da nossa probabilidade de sucesso, que ocorre quando um congressista se hospeda no Hotel X .

Nós vamos ter 1000 congressistas que podem se hospedar ou não no Hotel X , ou seja, estão sujeitos a um sucesso (se hospedar) e a um fracasso (não se hospedar). E qual distribuição que segue essa descrição? Várias repetições de experimento do tipo sucesso ou fracasso? É uma Binomial, certo?! E os parâmetros da nossa Binomial são justamente o p que calculamos (a probabilidade de sucesso) e os 1000 congressistas (número de repetições).

Então denotando o número de congressistas que se dirigem ao Hotel X por H :

H ~ B i n o m i a l ( p , n )

H ~ B i n o m i a l ( 0,2 , 1000 )

E o que a questão pede é a probabilidade do Hotel X conseguir acomodar todos os congressistas que o procurarem, lembrando que eles podem acomodar um total de 210 pessoas, ou seja:

P ( H ≤ 210 )

Queremos que o número de congressistas que procurarem o hotel não ultrapasse a lotação máxima, para que assim todos sejam acomodados!

Passo 2

Mas calcular isso aí pela distribuição Binomial vai ser chatinho, hein! Vamos lembrar aqui então de que quando temos uma Binomial com mais de 30 repetições, podemos aproximá-la por uma distribuição Normal, então:

H ~ N o r m a l ( μ , σ 2 )

Onde μ e σ 2 são a esperança e variância da Binomial. Elas são dadas pelas seguintes fórmulas:

μ = n p = 1000 × 0,2 = 200

σ 2 = n p 1 - p = 1000 × 0,2 × 1 - 0,2 = 160

Então:

H ~ N o r m a l ( 200,160 )

Passo 3

Agora antes de calcularmos a probabilidade, temos que lembrar que, como fizemos essa aproximação, devemos corrigir o erro de continuidade!

P H ≤ 210 b i n o m i a l → P H ≤ 210 + 0,5 n o r m a l

Então queremos calcular:

P H ≤ 210,5

Padronizando, pois aproximamos pela Normal:

P Z ≤ 210,5 - 200 160 = P Z ≤ 0,83

Procurando esse valor na tabela da Normal:

P Z ≤ 0,83 = 0,7987

Resposta

79 , 9 %

Exercício Resolvido #4

L ista de Exercício Probest – Cap 6, IM – UFRJ.

Em um determinado município a prefeitura está considerando a possibilidade de adotar um pacote de medidas que visam proteger o ecossistema da região. Foram sorteadas ao acaso 30 habitantes desse município para compor uma Comissão que irá examinar esse assunto. O critério de decisão é adotar o pacote se pelo menos K membros da Comissão se manifestarem favoravelmente. Admita que 75% dos habitantes do município são favoráveis ao pacote.

(a) Calcule a probabilidade de que ele seja aprovado, se K   =   25

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Cada integrante da comissão vai poder ser favorável ou não ao pacote (sucesso x fracasso). E temos 30 integrantes, então esse experimento de sucesso x fracasso vai ter 30 repetições. Opa! Estamos numa Binomial, certo? Os parâmetros vão ser:

p r o b a b i l i d a d e   d e   s u c e s s o →   p = 0,75

Já que a chance de um habitante ser favorável ao pacote é de 75 % . E o outro parâmetro:

n º   d e   r e p e t i ç õ e s → n = 30

Então denotando o número de integrantes favoráveis por X :

X ~ B i n o m i a l ( 0,75 ; 30 )

E queremos calcular a probabilidade do projeto ser aprovado, ou seja, de pelo menos 25 integrantes serem a favor:

P ( X ≥ 25 )

Passo 2

Como temos n = 30 , podemos aproximar essa Binomial por uma Normal, onde os parâmetros são a esperança e variância da Binomial, dadas por:

μ = n p = 0,75 × 30 = 22,5

σ ² = n p 1 - p = 5,625

Então a aproximação fica:

X ~ N o r m a l ( 22,5 ; 5,625 )

Mas precisamos corrigir o erro de continuidade da probabilidade que queremos antes de padronizá-la:

P X ≥ 25 b i n o m i a l → P X ≥ 25 - 0,5 n o r m a l

Então vamos padronizar:

P ( X ≥ 24,5 )

P Z ≥ 24,5 - 22,5 5,625 = P ( Z ≥ 0,84 )

Usando a probabilidade complementar:

P Z ≥ 0,84 = 1 - P ( Z < 0,84 )

Procurando esse cara na tabela da normal vemos que:

P Z ≥ 0,84 = 1 - 0,7995 = 0,2005

Resposta

20,05 %

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