Teorema Central do Limite

Teoria Completa

Introdução

Fala Aí!! Nesse tópico vamos ver sobre o Teorema Central do Limite.

Por exemplo, seja uma urna com 4 bolas numeradas com nº = {1,3,5,7}. Selecionamos 2 bolas com reposição. Se você reparar, teremos 16 possíveis combinações:

Beleza?!

Se quiser, podemos construir o gráfico da distribuição de frequências dessas amostras:

Além disso, temos que a média e o desvio padrão da média são:

x - = 4   e   σ = 2,58

Se você reparar, estamos indo para a construção de uma Distribuição Normal, concorda? O que precisamos entender é que o Teorema do Limite Central nos permite que façamos inferência a uma população a partir de amostras selecionadas aleatoriamente. Beleza?!

Pelo Teorema, não importa qual é a distribuição de X, a distribuição de sua média se aproxima da normal à medida que o número de elementos da amostra cresce (desde que a média e variância existam).

Vamos ver mais um exemplo?

Exemplo

Seja a variável aleatória

X = " r e s u l t a d o   d e   u m   d a d o   n ã o   v i c i a d o "

que pode assumir os valores 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 . Além disso, temos que a média é

x - = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 = 3,5

ou seja, o resultado médio de se jogar o dado é 3,5 .

Agora, digamos que eu lancei o dado 100 vezes. Se eu plotar em um gráfico o resultado do dado, nesses 100 lançamentos, vou ter algo mais ou menos assim:

Isso aí não ficou com a cara de uma normal, né?! Tá mais parecido com a cara de uma distribuição uniforme.

Mas eu lancei 100 vezes o dado, não era pra ter se aproximado de uma normal?

O grande lance do TCL é que a distribuição da média amostral que se aproxima da normal. Ali, nós estamos olhando para a distribuição da variável em si.

Mas, como eu posso pegar a média amostral nesse caso?

Imagina então que agora eu tenho 2 dados, e vou lança-los 100 vezes de novo. Em cada lançamento, eu quero a média do valor dos 2 dados. Se eu plotar o gráfico da distribuição dessa média amostral, eu vou ter algo assim:

Opa, agora sim hein!

Nesse caso, nós dizemos que nossa amostra contém 2 valores ( n = 2 ) , pois foram lançados 2 dados. Em cada lançamento, eu peguei a média dos valores dos 2 dados. Agora como eu estou olhando para a média amostral, ela começou a se parecer com a distribuição normal.

Dizemos que o TCL só pode ser aplicado quando n ≥ 30 , que é quando a amostra é suficientemente grande. Para o caso do dado, o gráfico para a média amostral do lançamento de 30 dados seria:

Ainda mais próximo da normal! Quanto maior o n da sua amostra, mais próximo a distribuição da média amostral será da normal.

Agora que vimos que isso aí tem a cara da normal, como que essa distribuição é dada:

O TCL diz pra gente que:

X - ~ N o r m a l μ , σ 2 n

Ou seja, a média amostral segue uma normal com média igual a média populacional e desvio padrão dado por σ 2 n

Já pegamos a ideia do teorema. Maaaas, como nem tudo são flores, na nossa prova com certeza vai cair uma questão um pouco mais elaborada... então bora fazer mais um exemplo e utilizar o teorema na prática!

Exemplo

Uma instituição de caridade deseja realizar uma obra que custa R $ 3500,00 em sua sede. Entre os contribuintes habituais dessa instituição, cada um pode contribuir com algo em torno de R $ 120,00   ± um desvio padrão de R $ 50,00 . Se 30 dessas pessoas se dividirem por cabeça para levantar fundos com essa finalidade, qual a probabilidade de que eles consigam o montante necessário?

Vamos chamar a quantia que cada contribuinte pode doar de X . Sabemos que:

E X = μ = 120

D P X = σ = 50

Mas nós estamos tratando de 30 pessoas, então vamos ter 30 quantias doadas:

( X 1 ,   X 2 ,   X 3 … X 30 )

Essas 30 quantias doadas, podem ser vários valores e não sabemos que valores eles podem assumir, pois não sabemos a distribuição da variável X .

No entanto, podemos assumir que a média amostral dessa situação, segue uma normal:

X - ~ N o r m a l ( μ , σ 2 n )

X - ~ N o r m a l   120   , 50 2 30

X - ~ N o r m a l ( 120   ,   83,3 )

Nesse caso, queremos que o valor total obtido (soma de todos os X ) seja maior do que 3500. Vou criar então uma variável que é a soma de todos os valores obtidos.

Y = ∑ X i

P Y ≥ 3500

Podemos relacionar o valor total obtido com a média amostral:

X - = Y n

Ou seja, a média amostral, nada mais é do que a soma de todos os valores obtidos naquela amostra, dividido pelo número de valores da amostra, certo?

Então, queremos:

P Y ≥ 3500

Substituindo Y por X - n , teremos:

P X - n ≥ 3500

P X - 30 ≥ 3500

P ( X - ≥ 116,7 )

Agora, padronizando:

P Z ≥ 116,7 - 120 83,3 = P Z ≥   - 0,365

Para tirar o negativo daí, invertemos o sinal de :

P Z ≥ - 0,365 = P Z ≤ 0,365

Procurando esse cara na tabela da Normal temos que...

P Z ≤ 0,365 = 0,64

Então:

P Y ≥ 3500 = 0,64

Ou seja, 64 %

Beleza?! Nos vemos nos exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2013.2-

b) Seja X 1 , X 2 , … , X n uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição N ( μ , σ 2 ) . Se Y = X 1 + X 2 + … + X n , quem é a distribuição de Y ? E da v.a. Y n .

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Passo 1

Temos que ( X 1 , X 2 , … , X n ) é uma amostra aleatória de uma v.a. X ~ N ( μ , σ 2 ) , com isso todas as X i ’s tem a mesma distribuição N ( μ , σ 2 ) , beleza?

Se eu chamar Y = ∑ i = 1 n X i , pelo Teorema Central do Limite a gente diz que Y tem distribuição.

Y   ~   N o r m a l   μ y , σ y 2

Com:

μ y = n μ

σ y 2 = n σ ²

Passo 2

Agora se eu fizer Y n , é a mesma ideia, só dividir os valores que a gente viu por n .

Y n   ~   N o r m a l   μ y , σ ² y

Com:

μ y = n μ n = μ

σ y 2 = n σ ² n = σ ²

Resposta

Y   ~   N o r m a l   n μ , n σ ²

Y n   ~   N o r m a l   μ , σ ²

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2013.1-4

X 1   e X 2   representam os valores (em reais) que as ações A1 e A2, respectivamente, terão daqui a um ano. Como sabemos, o comportamento caótico da bolsa de valores implica que X 1   e X 2 podem ser considerados aleatórios. Suponha, mais especificamente, que:

  1. X 1 é modelada por uma distribuição Normal com média de 30 reais e variância de 100 reais²;
  2. X 2 é modelada por uma distribuição Normal com média de 60 reais e variância de 400 reais²; e
  3. as cotações dessas duas ações são independentes.

Um investidor comprou hoje 300 ações A1 a 25 reais cada uma, e 200 ações A2 a 40 reais cada uma.

  1. Quais são a distribuição, a esperança e o desvio padrão do valor total que a carteira de ações deste investidor terá dentro de um ano?
  2. Qual é a probabilidade de que essa a carteira de ações tenha se valorizado em pelo menos 50% depois de um ano?
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Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

Y :   valor total do portifólio

De acordo com o enunciado:

Y = 300 X 1 + 200 X 2

Passo 2

Calcular E ( Y ) .

E Y = E 300 X 1 + 200 X 2

E Y = 300 E X 1 + 200 E X 2

Sabendo que E X 1 = 30 e E X 2 = 60 :

E Y = 300 × 20 + 200 × 60

E Y = 21.000   reais

Passo 3

Calcular V a r Y .

V a r Y = V a r 300 X 1 + 200 X 2