Teoria Completa
Introdução
Fala Aí!! Nesse tópico vamos ver sobre o Teorema Central do Limite.
Por exemplo, seja uma urna com 4 bolas numeradas com nº = {1,3,5,7}. Selecionamos 2 bolas com reposição. Se você reparar, teremos 16 possíveis combinações:
Beleza?!
Se quiser, podemos construir o gráfico da distribuição de frequências dessas amostras:
Além disso, temos que a média e o desvio padrão da média são:
Se você reparar, estamos indo para a construção de uma Distribuição Normal, concorda? O que precisamos entender é que o Teorema do Limite Central nos permite que façamos inferência a uma população a partir de amostras selecionadas aleatoriamente. Beleza?!
Pelo Teorema, não importa qual é a distribuição de X, a distribuição de sua média se aproxima da normal à medida que o número de elementos da amostra cresce (desde que a média e variância existam).
Vamos ver mais um exemplo?
Exemplo
Seja a variável aleatória
que pode assumir os valores . Além disso, temos que a média é
ou seja, o resultado médio de se jogar o dado é .
Agora, digamos que eu lancei o dado 100 vezes. Se eu plotar em um gráfico o resultado do dado, nesses 100 lançamentos, vou ter algo mais ou menos assim:
Isso aí não ficou com a cara de uma normal, né?! Tá mais parecido com a cara de uma distribuição uniforme.
Mas eu lancei 100 vezes o dado, não era pra ter se aproximado de uma normal?
O grande lance do TCL é que a distribuição da média amostral que se aproxima da normal. Ali, nós estamos olhando para a distribuição da variável em si.
Mas, como eu posso pegar a média amostral nesse caso?
Imagina então que agora eu tenho 2 dados, e vou lança-los 100 vezes de novo. Em cada lançamento, eu quero a média do valor dos 2 dados. Se eu plotar o gráfico da distribuição dessa média amostral, eu vou ter algo assim:
Opa, agora sim hein!
Nesse caso, nós dizemos que nossa amostra contém 2 valores , pois foram lançados 2 dados. Em cada lançamento, eu peguei a média dos valores dos 2 dados. Agora como eu estou olhando para a média amostral, ela começou a se parecer com a distribuição normal.
Dizemos que o TCL só pode ser aplicado quando , que é quando a amostra é suficientemente grande. Para o caso do dado, o gráfico para a média amostral do lançamento de 30 dados seria:
Ainda mais próximo da normal! Quanto maior o da sua amostra, mais próximo a distribuição da média amostral será da normal.
Agora que vimos que isso aí tem a cara da normal, como que essa distribuição é dada:
O TCL diz pra gente que:
Ou seja, a média amostral segue uma normal com média igual a média populacional e desvio padrão dado por
Já pegamos a ideia do teorema. Maaaas, como nem tudo são flores, na nossa prova com certeza vai cair uma questão um pouco mais elaborada... então bora fazer mais um exemplo e utilizar o teorema na prática!
Exemplo
Uma instituição de caridade deseja realizar uma obra que custa em sua sede. Entre os contribuintes habituais dessa instituição, cada um pode contribuir com algo em torno de um desvio padrão de . Se 30 dessas pessoas se dividirem por cabeça para levantar fundos com essa finalidade, qual a probabilidade de que eles consigam o montante necessário?
Vamos chamar a quantia que cada contribuinte pode doar de . Sabemos que:
Mas nós estamos tratando de 30 pessoas, então vamos ter 30 quantias doadas:
Essas 30 quantias doadas, podem ser vários valores e não sabemos que valores eles podem assumir, pois não sabemos a distribuição da variável .
No entanto, podemos assumir que a média amostral dessa situação, segue uma normal:
Nesse caso, queremos que o valor total obtido (soma de todos os ) seja maior do que 3500. Vou criar então uma variável que é a soma de todos os valores obtidos.
Podemos relacionar o valor total obtido com a média amostral:
Ou seja, a média amostral, nada mais é do que a soma de todos os valores obtidos naquela amostra, dividido pelo número de valores da amostra, certo?
Então, queremos:
Substituindo por , teremos:
Agora, padronizando:
Para tirar o negativo daí, invertemos o sinal de :
Procurando esse cara na tabela da Normal temos que...
Então:
Ou seja,
Beleza?! Nos vemos nos exercícios!!
Exercício Resolvido #1
b) Seja uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição . Se , quem é a distribuição de ? E da v.a. .
Passo 1
Temos que é uma amostra aleatória de uma v.a. , com isso todas as ’s tem a mesma distribuição , beleza?
Se eu chamar , pelo Teorema Central do Limite a gente diz que tem distribuição.
Com:
Passo 2
Agora se eu fizer , é a mesma ideia, só dividir os valores que a gente viu por .
Com:
Resposta
Exercício Resolvido #2
e representam os valores (em reais) que as ações A1 e A2, respectivamente, terão daqui a um ano. Como sabemos, o comportamento caótico da bolsa de valores implica que e podem ser considerados aleatórios. Suponha, mais especificamente, que:
- é modelada por uma distribuição Normal com média de 30 reais e variância de 100 reais²;
- é modelada por uma distribuição Normal com média de 60 reais e variância de 400 reais²; e
- as cotações dessas duas ações são independentes.
Um investidor comprou hoje 300 ações A1 a 25 reais cada uma, e 200 ações A2 a 40 reais cada uma.
- Quais são a distribuição, a esperança e o desvio padrão do valor total que a carteira de ações deste investidor terá dentro de um ano?
- Qual é a probabilidade de que essa a carteira de ações tenha se valorizado em pelo menos 50% depois de um ano?
Passo 1
(a)
Vamos chamar de:
De acordo com o enunciado:
Passo 2
Calcular .
Sabendo que e :
Passo 3
Calcular
Sabendo que e .
Com isso.
Como é a soma de duas variáveis de distribuição Normal, então:
Passo 4
(b)
Primeiro a gente tem que saber quanto custou o portifólio no momento da compra. De acordo com o enunciado, o valor total foi:
Pra acontecer valorização de pelo menos 50%. O portifólio tem que estar valendo depois de um ano o valor de:
Passo 5
Pra saber a probabilidade disso acontecer, a gente precisa calcular:
Pradronizando...
Se procurar na tabela, você vai ver que .
Então:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Um pequeno restaurante tem uma receita diária - da qual já foi descontado o gasto com ingredientes - cuja média é de 800 reais e cujo desvio padrão é de 300 reais. A despesa mensal do restaurante com mão de obra, encargos, manutenção, etc., é da ordem de 12.000 reais.
- Se ele funciona na base de 25 dias por mês, qual a probabilidade de que esse negócio dê um lucro de pelo menos 7.000 reais por mês?
- Digamos que, em um determinado mês, o restaurante só vai ficar aberto durante 20 dias. Mas, ainda assim, deseja-se manter a meta de um lucro mínimo de 7.000 reais. Para quanto deveria aumentar a média da receita diária para que nesse mês, uma vez mantido o desvio padrão da receita diária em 300 reais, essa meta fosse atingida com probabilidade 95%?
Obs.: Admita que em ambos os casos o tamanho amostral é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.
Passo 1
(a)
Vamos chamar de:
A gente quer calcular
De acordo com o enunciado.
Já que são 25 dias de funcionamento e que as despesas fixas somam 12.000.
Passo 2
Se a gente quer é o mesmo que querer.
Só que de acordo com o teorema central do limite, quando a gente tem um somatório de um número grande de v.a. com mesma distribuição podemos aproximar por uma Normal.
Com isso.
Onde:
Passo 3
Concluindo, fazendo o processo de padronização da Normal.
Procurando na tabela.
Passo 4
(b)
Vamos ter dias e agora (valor desconhecido)
A situação é bem parecida com a anterior, tirando a mudança de . A diferença é que agora o exercício deu o valor da prob. final e quer o valor de referente.
Sendo que.
Pelo teorema central do limite aproximaremos.
Passo 5
Concluindo, fazendo o processo de padronização da Normal.
O valor da tabela que nos dá prob. de 0,95 é 1,64. Porém como estamos trabalhando com não podemos esquecer de multiplicar por
Então, com isso.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Uma instituição de caridade deseja realizar uma obra que custa em sua sede. Entre os contribuintes habituais dessa instituição, cada um pode contribuir com algo em torno de um desvio padrão de . Se 30 dessas pessoas se quotizarem para levantar fundos com essa finalidade, qual a probabilidade de que eles consigam o montante necessário?
Passo 1
Vamos chamar a quantia que cada contribuinte pode doar de . Sabemos que:
Mas nós estamos tratando de 30 pessoas, então vamos ter 30 quantias doadas: ().
E os fundos levantados vão ser a soma de as 30 quantias doadas, certo? Vamos criar outra v.a. para representar a soma de todas essas doações, ou seja, a soma dos :
Para o montante necessário ser atingido, precisamos que todas as doações somadas resultem em pelo menos o custo da obra (), então:
E é a probabilidade disso acontecer que temos que calcular, ou seja: .
Mas qual a distribuição de ? Precisamos saber isso para calcular essa probabilidade. Como é uma soma de várias v.a’s ( já é grande o suficiente) independentes que seguem a mesma distribuição, podemos dizer que vai ser aproximadamente uma distribuição Normal:
Substituindo os valores:
Passo 2
Então agora podemos calcular . Padronizando (já que segue uma Normal):
Para tirar o negativo daí, invertemos o sinal de :
Procurando esse cara na tabela da Normal temos que...
Então:
Passo 3
Resposta
Exercício Resolvido #5
Uma companhia de seguros emitiu apólices para 10000 pessoas, todas da mesma faixa etária. A probabilidade de morte durante um ano é de 0,006 para cada pessoa nessa faixa etária. Em um dia pré-fixado, todos os segurados depositam 12 u.m. e, se algum deles morrer dentro de 1 ano, seus beneficiários receberão 1000 u.m. da seguradora. Qual a probabilidade de que em 1 ano:
(a) A companhia tenha prejuízo?
Passo 1
Vamos representar o lucro da seguradora no ano por pessoa por , e essa v.a. pode assumir dois valores:
E nós sabemos que a probabilidade de uma pessoa morrer é , então:
E de não morrer, vai ser a complementar de , ou seja, :
Lembrando da fórmula da esperança, podemos calcular :
E pela fórmula da variância, calculamos :
O lucro total vai ser dado pela soma dos lucros vindos de todas as pessoas: