Teorema Central do Limite

Teoria Completa

Introdução

Fala Aí!! Nesse tópico vamos ver sobre o Teorema Central do Limite.

Por exemplo, seja uma urna com 4 bolas numeradas com nº = {1,3,5,7}. Selecionamos 2 bolas com reposição. Se você reparar, teremos 16 possíveis combinações:

Beleza?!

Se quiser, podemos construir o gráfico da distribuição de frequências dessas amostras:

Além disso, temos que a média e o desvio padrão da média são:

x - = 4   e   σ = 2,58

Se você reparar, estamos indo para a construção de uma Distribuição Normal, concorda? O que precisamos entender é que o Teorema do Limite Central nos permite que façamos inferência a uma população a partir de amostras selecionadas aleatoriamente. Beleza?!

Pelo Teorema, não importa qual é a distribuição de X, a distribuição de sua média se aproxima da normal à medida que o número de elementos da amostra cresce (desde que a média e variância existam).

Vamos ver mais um exemplo?

Exemplo

Seja a variável aleatória

X = " r e s u l t a d o   d e   u m   d a d o   n ã o   v i c i a d o "

que pode assumir os valores 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 . Além disso, temos que a média é

x - = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 = 3,5

ou seja, o resultado médio de se jogar o dado é 3,5 .

Agora, digamos que eu lancei o dado 100 vezes. Se eu plotar em um gráfico o resultado do dado, nesses 100 lançamentos, vou ter algo mais ou menos assim:

Isso aí não ficou com a cara de uma normal, né?! Tá mais parecido com a cara de uma distribuição uniforme.

Mas eu lancei 100 vezes o dado, não era pra ter se aproximado de uma normal?

O grande lance do TCL é que a distribuição da média amostral que se aproxima da normal. Ali, nós estamos olhando para a distribuição da variável em si.

Mas, como eu posso pegar a média amostral nesse caso?

Imagina então que agora eu tenho 2 dados, e vou lança-los 100 vezes de novo. Em cada lançamento, eu quero a média do valor dos 2 dados. Se eu plotar o gráfico da distribuição dessa média amostral, eu vou ter algo assim:

Opa, agora sim hein!

Nesse caso, nós dizemos que nossa amostra contém 2 valores ( n = 2 ) , pois foram lançados 2 dados. Em cada lançamento, eu peguei a média dos valores dos 2 dados. Agora como eu estou olhando para a média amostral, ela começou a se parecer com a distribuição normal.

Dizemos que o TCL só pode ser aplicado quando n ≥ 30 , que é quando a amostra é suficientemente grande. Para o caso do dado, o gráfico para a média amostral do lançamento de 30 dados seria:

Ainda mais próximo da normal! Quanto maior o n da sua amostra, mais próximo a distribuição da média amostral será da normal.

Agora que vimos que isso aí tem a cara da normal, como que essa distribuição é dada:

O TCL diz pra gente que:

X - ~ N o r m a l μ , σ 2 n

Ou seja, a média amostral segue uma normal com média igual a média populacional e desvio padrão dado por σ 2 n

Já pegamos a ideia do teorema. Maaaas, como nem tudo são flores, na nossa prova com certeza vai cair uma questão um pouco mais elaborada... então bora fazer mais um exemplo e utilizar o teorema na prática!

Exemplo

Uma instituição de caridade deseja realizar uma obra que custa R $ 3500,00 em sua sede. Entre os contribuintes habituais dessa instituição, cada um pode contribuir com algo em torno de R $ 120,00   ± um desvio padrão de R $ 50,00 . Se 30 dessas pessoas se dividirem por cabeça para levantar fundos com essa finalidade, qual a probabilidade de que eles consigam o montante necessário?

Vamos chamar a quantia que cada contribuinte pode doar de X . Sabemos que:

E X = μ = 120

D P X = σ = 50

Mas nós estamos tratando de 30 pessoas, então vamos ter 30 quantias doadas:

( X 1 ,   X 2 ,   X 3 … X 30 )

Essas 30 quantias doadas, podem ser vários valores e não sabemos que valores eles podem assumir, pois não sabemos a distribuição da variável X .

No entanto, podemos assumir que a média amostral dessa situação, segue uma normal:

X - ~ N o r m a l ( μ , σ 2 n )

X - ~ N o r m a l   120   , 50 2 30

X - ~ N o r m a l ( 120   ,   83,3 )

Nesse caso, queremos que o valor total obtido (soma de todos os X ) seja maior do que 3500. Vou criar então uma variável que é a soma de todos os valores obtidos.

Y = ∑ X i

P Y ≥ 3500

Podemos relacionar o valor total obtido com a média amostral:

X - = Y n

Ou seja, a média amostral, nada mais é do que a soma de todos os valores obtidos naquela amostra, dividido pelo número de valores da amostra, certo?

Então, queremos:

P Y ≥ 3500

Substituindo Y por X - n , teremos:

P X - n ≥ 3500

P X - 30 ≥ 3500

P ( X - ≥ 116,7 )

Agora, padronizando:

P Z ≥ 116,7 - 120 83,3 = P Z ≥   - 0,365

Para tirar o negativo daí, invertemos o sinal de :

P Z ≥ - 0,365 = P Z ≤ 0,365

Procurando esse cara na tabela da Normal temos que...

P Z ≤ 0,365 = 0,64

Então:

P Y ≥ 3500 = 0,64

Ou seja, 64 %

Beleza?! Nos vemos nos exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2013.2-

b) Seja X 1 , X 2 , … , X n uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição N ( μ , σ 2 ) . Se Y = X 1 + X 2 + … + X n , quem é a distribuição de Y ? E da v.a. Y n .

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Passo 1

Temos que ( X 1 , X 2 , … , X n ) é uma amostra aleatória de uma v.a. X ~ N ( μ , σ 2 ) , com isso todas as X i ’s tem a mesma distribuição N ( μ , σ 2 ) , beleza?

Se eu chamar Y = ∑ i = 1 n X i , pelo Teorema Central do Limite a gente diz que Y tem distribuição.

Y   ~   N o r m a l   μ y , σ y 2

Com:

μ y = n μ

σ y 2 = n σ ²

Passo 2

Agora se eu fizer Y n , é a mesma ideia, só dividir os valores que a gente viu por n .

Y n   ~   N o r m a l   μ y , σ ² y

Com:

μ y = n μ n = μ

σ y 2 = n σ ² n = σ ²

Resposta

Y   ~   N o r m a l   n μ , n σ ²

Y n   ~   N o r m a l   μ , σ ²

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2013.1-4

X 1   e X 2   representam os valores (em reais) que as ações A1 e A2, respectivamente, terão daqui a um ano. Como sabemos, o comportamento caótico da bolsa de valores implica que X 1   e X 2 podem ser considerados aleatórios. Suponha, mais especificamente, que:

  1. X 1 é modelada por uma distribuição Normal com média de 30 reais e variância de 100 reais²;
  2. X 2 é modelada por uma distribuição Normal com média de 60 reais e variância de 400 reais²; e
  3. as cotações dessas duas ações são independentes.

Um investidor comprou hoje 300 ações A1 a 25 reais cada uma, e 200 ações A2 a 40 reais cada uma.

  1. Quais são a distribuição, a esperança e o desvio padrão do valor total que a carteira de ações deste investidor terá dentro de um ano?
  2. Qual é a probabilidade de que essa a carteira de ações tenha se valorizado em pelo menos 50% depois de um ano?
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Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

Y :   valor total do portifólio

De acordo com o enunciado:

Y = 300 X 1 + 200 X 2

Passo 2

Calcular E ( Y ) .

E Y = E 300 X 1 + 200 X 2

E Y = 300 E X 1 + 200 E X 2

Sabendo que E X 1 = 30 e E X 2 = 60 :

E Y = 300 × 20 + 200 × 60

E Y = 21.000   reais

Passo 3

Calcular V a r Y .

V a r Y = V a r 300 X 1 + 200 X 2

V a r Y = 300 2 V a r X 1 + 200 2 V a r X 2

Sabendo que V a r X 1 = 100 e V a r X 2 = 400 .

V a r Y = 300 2 × 100 + 200 2 × 400

V a r Y = 25.000.000

Com isso.

D P Y = V a r Y

D P Y = 5.000   reais

Como Y é a soma de duas variáveis de distribuição Normal, então:

Y   ~   N o r m a l   21.000 ; 5.000 2

Passo 4

(b)

Primeiro a gente tem que saber quanto custou o portifólio no momento da compra. De acordo com o enunciado, o valor total foi:

300 × 25 + 200 × 40 = 15.500   reais

Pra acontecer valorização de pelo menos 50%. O portifólio tem que estar valendo depois de um ano o valor de:

1,5 × 15.500 = 23.250

Passo 5

Pra saber a probabilidade disso acontecer, a gente precisa calcular:

P Y ≥ 23.250

Pradronizando...

P Y ≥ 23.250 = P Y - 21.000 5.000 > 23.250 - 21.000 5.000

= P Z > 0,45

= 1 - Φ 0,45

Se procurar na tabela, você vai ver que Φ 0,45 = 0,6736 .

Então:

P Y ≥ 23.250 = 1 - 0,6736

                                          = 0,3264

Resposta

b   0,3264

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2014.1-4

Um pequeno restaurante tem uma receita diária - da qual já foi descontado o gasto com ingredientes - cuja média é de 800 reais e cujo desvio padrão é de 300 reais. A despesa mensal do restaurante com mão de obra, encargos, manutenção, etc., é da ordem de 12.000 reais.

  1. Se ele funciona na base de 25 dias por mês, qual a probabilidade de que esse negócio dê um lucro de pelo menos 7.000 reais por mês?
  2. Digamos que, em um determinado mês, o restaurante só vai ficar aberto durante 20 dias. Mas, ainda assim, deseja-se manter a meta de um lucro mínimo de 7.000 reais. Para quanto deveria aumentar a média da receita diária para que nesse mês, uma vez mantido o desvio padrão da receita diária em 300 reais, essa meta fosse atingida com probabilidade 95%?

Obs.: Admita que em ambos os casos o tamanho amostral é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.

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Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

X : r e c e i t a   d i á r i a

L : l u c r o   m e n s a l

A gente quer calcular P L > 7000 .

De acordo com o enunciado.

L = ∑ i = 1 25 X i - 12.000

Já que são 25 dias de funcionamento e que as despesas fixas somam 12.000.

Passo 2

Se a gente quer P L > 7000 , é o mesmo que querer.

P ∑ i = 1 25 X i - 12.000 > 7000

P ( ∑ i = 1 25 X i > 19000 )

Só que de acordo com o teorema central do limite, quando a gente tem um somatório de um número grande de v.a. com mesma distribuição podemos aproximar por uma Normal.

Com isso.

∑ i = 1 25 X i ≈ N o r m a l 25 μ , 25 σ 2

Onde:

μ = E X i = 800

σ = D P X i = 300

Passo 3

Concluindo, fazendo o processo de padronização da Normal.

P L > 7000 = P ∑ i = 1 25 X i - 25 × 800 25 × 300 2 > 19000 - 25 × 800 25 × 300 2

= P Z > 19000 - 20000 1500

= P Z > - 0,667

= P Z < 0,667    

Procurando na tabela.

P ( L > 7000 ) = 0,7475

Passo 4

(b)

Vamos ter n = 20 dias e agora E X i = μ (valor desconhecido)

A situação é bem parecida com a anterior, tirando a mudança de n . A diferença é que agora o exercício deu o valor da prob. final e quer o valor de μ referente.

P L > 7000 = 0,95

Sendo que.

P L > 7000 = P ∑ i = 1 20 X i - 12000 > 7000

= P ( ∑ i = 1 20 X i > 19000 )

Pelo teorema central do limite aproximaremos.

∑ i = 1 20 X i ≈ N o r m a l   ( 20 μ   ,   20 × 300 )

Passo 5

Concluindo, fazendo o processo de padronização da Normal.

P L > 7000 = P ( ∑ i = 1 20 X i > 19000 )

0,95 = P Z > 19000 - 20 μ 20 × 300 2

0,95 = P Z > 19000 - 20 μ 300 20

O valor da tabela que nos dá prob. de 0,95 é 1,64. Porém como estamos trabalhando com Z > … não podemos esquecer de multiplicar por - 1 .

Então, com isso.

19000 - 20 μ 300 20 = - 1,64

μ = 19000 + 1,64 × 300 20 20

μ = 1060,34   r e a i s

Resposta

a   0,7475

b   1060,34   r e a i s

Exercício Resolvido #4

Lista de Exercício Probest – Cap 6, IM – UFRJ.

Uma instituição de caridade deseja realizar uma obra que custa R $ 3500,00 em sua sede. Entre os contribuintes habituais dessa instituição, cada um pode contribuir com algo em torno de R $ 120,00   ± um desvio padrão de R $ 50,00 . Se 30 dessas pessoas se quotizarem para levantar fundos com essa finalidade, qual a probabilidade de que eles consigam o montante necessário?

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Passo 1

Vamos chamar a quantia que cada contribuinte pode doar de X . Sabemos que:

E X = μ = 120

D P X = σ = 50

Mas nós estamos tratando de 30 pessoas, então vamos ter 30 quantias doadas: ( X 1 ,   X 2 ,   X 3 … X 30 ).

E os fundos levantados vão ser a soma de as 30 quantias doadas, certo? Vamos criar outra v.a. para representar a soma de todas essas doações, ou seja, a soma dos X i :

Y = ( X 1 , + X 2 , + X 3 … X 30 )

Para o montante necessário ser atingido, precisamos que todas as doações somadas resultem em pelo menos o custo da obra ( R $ 3500,00 ), então:

Y ≥ 3500

E é a probabilidade disso acontecer que temos que calcular, ou seja: P ( Y ≥ 3500 ) .

Mas qual a distribuição de Y ? Precisamos saber isso para calcular essa probabilidade. Como Y é uma soma de várias v.a’s ( n = 30 já é grande o suficiente) independentes que seguem a mesma distribuição, podemos dizer que Y vai ser aproximadamente uma distribuição Normal:

Y ~ N o r m a l ( n μ , n σ ² )

Substituindo os valores:

Y ~ N o r m a l 30 × 120 ; 30 × 50 2 → Y ~ N o r m a l 3600 ; 75000

Passo 2

Então agora podemos calcular P ( Y ≥ 3500 ) . Padronizando (já que segue uma Normal):

P Z ≥ 3500 - 3600 75000 = P Z ≥ - 0,365

Para tirar o negativo daí, invertemos o sinal de :

P Z ≥ - 0,365 = P Z ≤ 0,365

Procurando esse cara na tabela da Normal temos que...

P Z ≤ 0,365 = 0,64

Então:

P Y ≥ 3500 = 0,64

Passo 3

Resposta

64 %

Exercício Resolvido #5

Lista de Exercício Probest – Cap 6, IM – UFRJ.

Uma companhia de seguros emitiu apólices para 10000 pessoas, todas da mesma faixa etária. A probabilidade de morte durante um ano é de 0,006 para cada pessoa nessa faixa etária. Em um dia pré-fixado, todos os segurados depositam 12 u.m. e, se algum deles morrer dentro de 1 ano, seus beneficiários receberão 1000 u.m. da seguradora. Qual a probabilidade de que em 1 ano:

(a) A companhia tenha prejuízo?

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Passo 1

Vamos representar o lucro da seguradora no ano por pessoa por L , e essa v.a. L pode assumir dois valores:

L n = 12 ,   c a s o   a   p e s s o a   n ã o   m o r r a

L m = 12 - 1000 = - 988 ,   c a s o   a   p e s s o a   m o r r a

E nós sabemos que a probabilidade de uma pessoa morrer é 0 , 006 , então:

p L m = 0,006

E de não morrer, vai ser a complementar de 0 , 006 , ou seja, 0,994 :

p L n = 0,994

Lembrando da fórmula da esperança, podemos calcular E ( L ) :

E X = ∑ p x i . x i → E L = 0,006 × - 988 + 0,994 × 12 = 6

E L = μ = 6

E pela fórmula da variância, calculamos V a r ( L ) :

V a r X = ∑ p x i . x i - E X 2

V a r L = 0,006 × - 988 2 + 0,994 × 12 ² - E X 2 = 6000 - 6 ²

V a r L = σ 2 = 5964

O lucro total vai ser dado pela soma dos lucros vindos de todas as 10000 pessoas:

L t o t a l = ∑ i = 1 10000 L i