Teorema Central do Limite

Teoria Completa

Introdução

Cara, vamos entender mais um motivo pra eu ter dito que a distribuição Normal é provavelmente a mais importante das distribuições.

Vamos supor que a gente tenha várias variáveis, n variáveis, e que todas tenham a mesma distribuição original.

Tanto faz se a distribuição delas é discreta ou contínua.

Matematicamente falando, seria algo assim, por exemplo:

X 1 , X 2 , X 3 , … X n   ~   Poisson λ

Concorda comigo que muitas vezes, no nosso dia-a-dia, seria muito mais fácil se a gente pudesse trabalhar com todas essas variáveis juntas, do que uma a uma?

Quando eu falo em juntar todas elas, você já pensa logo em somá-las! Beleza. Se eu quisesse somar todas essas variáveis que seguem a mesma distribuição, eu teria uma nova variável Y , por exemplo:

Y = ∑ i = 1 n X i

Mas, e aí, qual distribuição essa soma de variáveis seguiria?

O Teorema

Aí que vem o teorema central do limite.

Se o valor de n for muuuito grande, tipo n →   ∞ , o teorema central do limite nos diz que nesse caso, a variável Y vai tender a uma distribuição Normal:

Y   ~   Normal ( n μ , n σ 2 )

Onde μ e σ ² são respectivamente, os valores da esperança e da variância das variáveis X i .

Com isso, o processo de padronização, que era:

Z = Y - μ σ

Agora será:

Z = Y - n μ σ n

Tranquilo? Vamos ver um exemplo!

Exemplo: Cinquenta números, que obrigatoriamente tinham várias casas decimais, depois de arredondados, passaram a ter apenas duas casas decimais. Admita-se que os erros individuais de arredondamento são independentes e podem ser modelados como Uniformes no intervalo (-0,005;0,005). Qual a probabilidade de que a distância (módulo da diferença) entre a soma dos números arredondados e a soma dos números originais seja maior que 0,03 ?

Solução: Bom,

X :   erro de arredondamento de cada número

Sabemos que:

X i   ~   U ( - 0,005 ; + 0,005 )

De acordo com as fórmulas da distribuição Uniforme:

E X i = μ = 0,005 + - 0,005 2 = 0

Var X i = σ ² = 0,005 - - 0,005 2 12 = 8,333 × 10 - 6

A quantidade de números é 50 → n = 50 .

Temos então Y : diferença entre a soma dos números já arredondados e os originais .

Y = ∑ i = 1 50 X i

De acordo com o que aprendemos agora,

Y   ~   Normal n μ , n σ 2

Y   ~   Normal 0 ; 4,1667 × 10 - 4

Para calcular P ( | Y | > 0,03 ) , é só fazer o processo igual o que era feito pra cálculo da Normal, através da padronização:

P Y > 0,03 = P Z > 0,03 0,0204

= P Z > 1,47

Quando temos esse caso com módulo, já sabemos o que fazer:

P Z > 1,47 = 2 × 1 - Φ 1,47

Olhando na tabela,

                                                                                              = 2 × 1 - 0,9292 = 0,1416

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Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2013.2-

b) Seja X 1 , X 2 , … , X n uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição N ( μ , σ 2 ) . Se Y = X 1 + X 2 + … + X n , quem é a distribuição de Y ? E da v.a. Y n .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos que ( X 1 , X 2 , … , X n ) é uma amostra aleatória de uma v.a. X ~ N ( μ , σ 2 ) , com isso todas as X i ’s tem a mesma distribuição N ( μ , σ 2 ) , beleza?

Se eu chamar Y = ∑ i = 1 n X i , pelo Teorema Central do Limite a gente diz que Y tem distribuição.

Y   ~   N o r m a l   μ y , σ y 2

Com:

μ y = n μ

σ y 2 = n σ ²

Passo 2

Agora se eu fizer Y n , é a mesma ideia, só dividir os valores que a gente viu por n .

Y n   ~   N o r m a l   μ y , σ ² y

Com:

μ y = n μ n = μ

σ y 2 = n σ ² n = σ ²

Resposta

Y   ~   N o r m a l   n μ , n σ ²

Y n   ~   N o r m a l   μ , σ ²

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2013.1-4

X 1   e X 2   representam os valores (em reais) que as ações A1 e A2, respectivamente, terão daqui a um ano. Como sabemos, o comportamento caótico da bolsa de valores implica que X 1   e X 2 podem ser considerados aleatórios. Suponha, mais especificamente, que:

  1. X 1 é modelada por uma distribuição Normal com média de 30 reais e variância de 100 reais²;
  2. X 2 é modelada por uma distribuição Normal com média de 60 reais e variância de 400 reais²; e
  3. as cotações dessas duas ações são independentes.

Um investidor comprou hoje 300 ações A1 a 25 reais cada uma, e 200 ações A2 a 40 reais cada uma.

  1. Quais são a distribuição, a esperança e o desvio padrão do valor total que a carteira de ações deste investidor terá dentro de um ano?
  2. Qual é a probabilidade de que essa a carteira de ações tenha se valorizado em pelo menos 50% depois de um ano?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

Y :   valor total do portifólio

De acordo com o enunciado:

Y = 300 X 1 + 200 X 2

Passo 2

Calcular E ( Y ) .

E Y = E 300 X 1 + 200 X 2

E Y = 300 E X 1 + 200 E X 2

Sabendo que E X 1 = 30 e E X 2 = 60 :

E Y = 300 × 20 + 200 × 60

E Y = 21.000   reais

Passo 3

Calcular V a r Y .

V a r Y = V a r 300 X 1 + 200 X 2

V a r Y = 300 2 V a r X 1 + 200 2 V a r X 2

Sabendo que V a r X 1 = 100 e V a r X 2 = 400 .

V a r Y = 300 2 × 100 + 200 2 × 400

V a r Y = 25.000.000

Com isso.

D P Y = V a r Y

D P Y = 5.000   reais

Como Y é a soma de duas variáveis de distribuição Normal, então:

Y   ~   N o r m a l   21.000 ; 5.000 2

Passo 4

(b)

Primeiro a gente tem que saber quanto custou o portifólio no momento da compra. De acordo com o enunciado, o valor total foi:

300 × 25 + 200 × 40 = 15.500   reais

Pra acontecer valorização de pelo menos 50%. O portifólio tem que estar valendo depois de um ano o valor de:

1,5 × 15.500 = 23.250

Passo 5

Pra saber a probabilidade disso acontecer, a gente precisa calcular:

P Y ≥ 23.250

Pradronizando...

P Y ≥ 23.250 = P Y - 21.000 5.000 > 23.250 - 21.000 5.000

= P Z > 0,45

= 1 - Φ 0,45

Se procurar na tabela, você vai ver que Φ 0,45 = 0,6736 .

Então:

P Y ≥ 23.250 = 1 - 0,6736

                                          = 0,3264

Resposta