Distribuição Hipergeométrica

Teoria Completa

DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA

Exemplo: A gente tem uma caixa com 10 relógios antigos, 4 com defeito.

Supondo que eu quisesse retirar uma amostra de 3 relógios, com reposição, e analisar a quantidade de relógios defeituosos que eu tenho.

Cada evento (retirada de um relógio) seguiriam a ideia de Bernoulli, a probabilidade de sucesso seria p = 4 10 = 0,4 , já que cada evento independe do outro.

Se liga nessa então...

E se os eventos fossem sem reposição ?

Sempre que a gente tiver um amostra com n elementos, retirados sem reposição, e quisermos a probabilidade dessa amostra conter k elementos com determinada característica (no caso, ter defeito), iremos usar a Distribuição Hipergeométrica.

Como ?

A função de probabilidade da hipergeométrica é:

P X = k = r k . N - r n - k N n

Muita variável, né? Calma..

N → n °   t o t a l   d e   e l e m e n t o s

n → n °   d e   e l e m e n t o s   d a   n o s s a   a m o s t r a

r → n °   i n i c i a l   d e   e l e m e n t o s   c o m   a   c a r a c t e r í s t i c a   r e q u e r i d a

k → n °   d e   e l e m e n t o s   q u e   a   g e n t e   q u e r   n a   n o s s a   a m o s t r a   c o m   a   t a l   c a r a c t e r í s t i c a

Voltando ao exemplo: Se eu quisesse a probabilidade de na minha amostra de 3 relógios retirados, sem reposição, existissem 2 com defeito.

N = 10

n = 3

r = 4

k = 2

P X = 2 = 4 2 . 10 - 4 3 - 2 10 3

P X = 2 = 4 2 . 6 1 10 3 = 6 × 6 120 = 0,3

Notação: usamos X   ~   H ( p ) , onde p = r N .

Obs: Quando o valor de N for muito grande com relação ao valor de n , podemos aproximar a hipergeométrica pela binomial. Usando então a fórmula da Binomial que a gente já aprendeu.

Ah, faltando aquelas fórmulas de sempre do final...

Para a hipergeométrica, temos:

E X = n p             V a r X = n p 1 - p N - n N - 1  

Tranquilo ?

Basicamente, vamos usar hipergeométrica quando a gente tiver n repetições de um experimento, sem reposição.

Se você lembrar bem, na Binomial a gente tinha reposição, essa é a grande diferença entre as duas distribuições.

Segura, se prepara que lá vem exercício!

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET-LISTA VA- REGINA-12

Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional. Um lote contém 140 cartões e 20 são selecionados sem reposição para o teste funcional.

  1. Se 20 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra?
  2. Se 5 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso apareça na amostra?
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Passo 1

Óh, acompanha comigo!

O lote tem 140 cartões e a gente vai selecionar 20 deles sem reposição....

Aí você já tem que ter a maldade de que estamos tratando de uma distribuição hipergeométrica.

Passo 2

(a)

Se dos 140 cartões, 20 forem defeituosos, qual a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra?

A gente sabe que terá que usar a função de probabilidade hipergeométrica:

P X = k = r k . N - r n - k N n

Muitas variáveis né? Relembrando o que é cada uma...

N → n °   t o t a l   d e   e l e m e n t o s

n → n °   d e   e l e m e n t o s   d a   n o s s a   a m o s t r a

r → n °   i n i c i a l   d e   e l e m e n t o s   c o m   a   c a r a c t e r í s t i c a   r e q u e r i d a

k → n °   d e   e l e m e n t o s   q u e   a   g e n t e   q u e r   n a   n o s s a   a m o s t r a   c o m   a   t a l   c a r a c t e r í s t i c a

Passo 3

No nosso exercicio a gente tem que:

N = 140

n = 20

r = 20

Só que a gente tem que calcular P ( X ≥ 1 ) , concorda? No mínimo igual a 1 quer dizer maior ou igual..

P X ≥ 1 = 1 - P ( X = 0 )

Passo 4

Ou seja, usamos k = 0 , e substituímos tudo na fórmula:

P X = 0 = 20 0 . 120 20 140 20

Fazendo as contas:

P X = 0 = 20 ! 0 ! 20 ! . 120 ! 20 ! 100 ! 140 ! 20 ! 120 !

P X = 0 = 120 ! 20 ! 100 ! 20 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 120 ! 100 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 120.119 .   … . 101 140.139 .   … . 121

P X = 0 = 0,0356

Portanto:

P X ≥ 1 = 1 - 0,0356

P X ≥ 1 = 0,9644

Passo 5

(b)

Aqui o raciocínio é o mesmo, só muda que o valor de r agora será:

r = 5

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0

Usando k = 0 :

P X = 0 = 5 0 . 135 20 140 20

P X = 0 = 5 ! 0 ! 5 ! . 135 ! 20 ! 115 ! 140 ! 20 ! 120 !

P X = 0 = 135 ! 20 ! 115 ! 20 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 135 ! 115 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 135.134 .   … . 116 140.139 .   … . 121

P X = 0 = 0,4571

Portanto:

P X ≥ 1 = 1 - 0,4571 = 0,5429

Resposta

a   0,9644

b   0,5429

Exercício Resolvido #2

UERJ-lista 2 prof Fabiano-10

Um lote contém 100 partes de um fornecedor brasileiro e 200 partes de um fornecedor

chinês. Se quatro partes são selecionadas aleatoriamente, sem reposição, qual é a probabilidade de que sejam todas elas de um fornecedor brasileiro? Qual é a probabilidade de que duas ou mais partes na amostra sejam de um fornecedor brasileiro? Qual a probabilidade de que pelo menos uma parte seja de um fornecedor brasileiro?

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Passo 1

São 100 partes brasileiras e 200 chinesas, 300 no total.

Temos uma amostra com 4 partes, sem reposição...

Esse “sem reposição” significa que teremos uma distribuição Hipergeométrica.

Relembrando.. a função de probabilidade da hipergeométrica é:

P X = k = r k . N - r n - k N n

N → n °   t o t a l   d e   e l e m e n t o s

n → n °   d e   e l e m e n t o s   d a   n o s s a   a m o s t r a

r → n °   i n i c i a l   d e   e l e m e n t o s   c o m   a   c a r a c t e r í s t i c a   r e q u e r i d a

k → n °   d e   e l e m e n t o s   q u e   a   g e n t e   q u e r   n a   n o s s a   a m o s t r a   c o m   a   t a l   c a r a c t e r í s t i c a

Passo 2

(a)

Se X é a variável que representa o número de brasileiros na amostra, aqui precisamos calcular P ( X = 4 ) .

Queremos que as 4 sejam brasileiras, a gente terá então que:

N = 300   ( t o t a l = 200 + 100 )

n = 4

r = 100   ( o s   100   b r a s i l e i r o s )

k = 4

Substituindo na fórmula..

P X = 4 = 100 4 . 200 0 300 4

Fazendo as contas:

P X = 4 ≈ 0,012

Passo 3

(b)

Queremos P ( X ≥ 2 ) .

P X ≥ 2 = 1 - P X = 0 + P X = 1

Substituindo na hipergeométrica, trocando os valores de k por 0 e 1..

P X ≥ 2 = 1 - 100 0 . 200 4 300 4 + 100 1 . 200 3 300 4

Fazendo as contas:

= 0,408

Passo 4

(c)

Queremos P ( X ≥ 1 ) .

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0

Substituindo na hipergeométrica com k = 0 .

P X ≥ 1 = 1 - 100 0 . 200 4 300 4

Contas....

P X ≥ 1 = 0,804

Resposta

a   0,012

b   0,408

c   0,804

Exercício Resolvido #3

CEFET-LISTA VA- REGINA-13

Um estado tem uma loteria em que seis números são selecionados aleatoriamente de 40, sem reposição. Um jogador escolhe seis números antes do sorteio acontecer.

  1. Qual é a probabilidade de que os seis números escolhidos pelo jogador coincidam com todos os seis números sorteados?
  2. Qual é a probabilidade de que cinco dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados?
  3. Qual é a probabilidade de que quatro dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados?
  4. Qual é a probabilidade de que no máximo cinco dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados?
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Passo 1

Temos 40 números no total e vamos tirar uma amostra de 6 números, sem reposição.

Isso indica o que? Uma distribuição hipergeométrica, concorda? Tem que ficar esperto nessa lance de ser sem reposição.

Nessa questão vamos usar a função de probabilidade da hipergeométrica:

P X = k = r k . N - r n - k N n

Onde:

N → n °   t o t a l   d e   e l e m e n t o s

n → n °   d e   e l e m e n t o s   d a   n o s s a   a m o s t r a

r → n °   i n i c i a l   d e   e l e m e n t o s   c o m   a   c a r a c t e r í s t i c a   r e q u e r i d a

k → n °   d e   e l e m e n t o s   q u e   a   g e n t e   q u e r   n a   n o s s a   a m o s t r a   c o m   a   t a l   c a r a c t e r í s t i c a

Concorda que N = 40 e n = 6 e r = 6 , independente da situação? Só vai mudar o valor de k , que será o valor de números corretos que vamos escolher!

Passo 2

(a)

Aqui teremos k = 6 .

P X = 6 = 6 6 . 34 0 40 6

≅ 2,6 × 10 - 7

Passo 3

(b)

Aqui k = 5 :

P X = 5 = 6 5 . 34 1 40 6

≅ 5,31 × 10 - 5

Passo 4

(c)

Para k = 4 :

P X = 4 = 6 4 . 34 2 40 6

≅ 2,20 × 10 - 3

Passo 5

(d)

A probabilidade de no máximo 5 serem corretos é o mesmo que P ( X ≤ 5 ) , correto?

P X ≤ 5 = 1 - P ( X = 6 )

P ( X = 6 ) a gente já calculou, então tá safo!

P X ≤ 5 = 1 - 2,6 × 10 - 7

Resposta

a   2,6 × 10 - 7

b   5,31 × 10 - 5

c   2,20 × 10 - 3

d   1 - 2,6 × 10 - 7

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Em problemas de controle de qualidade, suponha que num lote de 100 peças, 10 sejam defeituosas. Escolhemos 5 peças sem reposição desse lote. Qual a probabilidade de obtermos pelo menos uma defeituosa?

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Passo 1

OPA! Falou de análise sobre elementos com certa característica (defeito) em cima de uma amostra sem reposição, é Hipergeométrica!

X : n º   d e   p e ç a s   c o m   d e f e i t o s

O que queremos então é:

P ( X ≥ 1 )

Já que queremos PELO MENOS uma defeituosa... e isso aí nada mais é que:

P X ≥ 1 = 1 - P ( X < 1 )

E a probabilidade de X ser menor do que 1 é a mesma coisa que P ( X = 0 ) , certo? Já que não podemos ter número negativo de peças defeituosas. Então:

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0

Passo 2

Agora vamos calcular esse P ( X = 0 ) peça fórmula da Hipergeométrica. Lembrando que:

N → n º   t o t a l   d e   e l e m e n t o s = 100

n → n º   d e   e l e m e n t o s   d a   a m o s t r a = 5

r → n º   i n i c i a l   d e   e l e m e n t o s   c o m   d e f e i t o = 10

k → n º   d e   p e ç a s   c o m   d e f e i t o s   d e   i n t e r e s s e = 0

Aplicando valores na fórmula temos que:

P X = k = r k . N - r n - k N n → P X = 0 = 10 0 . 100 - 10 5 - 0 100 5 = 0,584

Passo 3

Então agora temos que lembrar que o que queremos é P X ≥ 1 :

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0 = 1 - 0,584 = 0,41 6

Resposta

0,41 6

Exercício Resolvido #5

PUC-Rio, Profª Monica Barros, TESTE 1 2006.2

O dono de uma festa encomendou a um “Buffet” 100 empadinhas de frango e 50 de camarão. Um convidado guloso “sequestra” a bandeja do garçom, que contém 20 empadinhas. O convidado, além de guloso, é alérgico a camarão, e se comer mais de 2 empadas de camarão corre o risco de passar o resto da festa no hospital. Qual a probabilidade disto acontecer?

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Passo 1

Vamos chamar de X o número de empadas de camarão que o convidado guloso vai comer da bandeja. Nós queremos a probabilidade dele comer mais de 2 empadas, ou seja:

P ( X > 2 )

E usando a complementar sabemos que:

P X > 2 = 1 - P X ≤ 2 = 1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

Concorda comigo que quando o convidado come uma empada ele não vai fazer reposição dela na bandeja? Afinal, ele já comeu a empada! E falou de experimento sem reposição onde a gente tem interesse em determinada característica (no caso, a empada ser de camarão), estamos falando de uma Hipergeométrica!

Passo 2

Lembrando da fórmula dessa distribuição:

P X = k = r k N - r n - k N n

Onde N é o número total de elementos (as 150 empadinhas encomendadas), n é o número de elementos da amostra (as 20 empadinhas da bandeja), r o número de elementos iniciais com a caracterísita de interesse (as 50 empadinhas de camarão encomendadas), e o k é o número de elementos que a gente quer na nossa amostra com a característica de interesse.

Vamos ter que aplicar essa fórmula três vezes, para cada uma das probabilidades da nossa equação, mudando o valor de k para cada uma delas:

P X > 2 = 1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

P X > 2 = 1 - 50 0 150 - 50 20 - 0 150 20 + 50 1 150 - 50 20 - 1 150 20 + 50 2 150 - 50 20 - 2 150 20 ≅ 0,999852

Putz, praticamente certo desse cara ir parar no hospital então!

Passo 3

Resposta

a p r o x i m a d a m e n t e   100 %

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