Distribuição Hipergeométrica

Teoria Completa

DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA

Exemplo: A gente tem uma caixa com 10 relógios antigos, 4 com defeito.

Supondo que eu quisesse retirar uma amostra de 3 relógios, com reposição, e analisar a quantidade de relógios defeituosos que eu tenho.

Cada evento (retirada de um relógio) seguiriam a ideia de Bernoulli, a probabilidade de sucesso seria p = 4 10 = 0,4 , já que cada evento independe do outro.

Se liga nessa então...

E se os eventos fossem sem reposição ?

Sempre que a gente tiver um amostra com n elementos, retirados sem reposição, e quisermos a probabilidade dessa amostra conter k elementos com determinada característica (no caso, ter defeito), iremos usar a Distribuição Hipergeométrica.

Como ?

A função de probabilidade da hipergeométrica é:

P X = k = r k . N - r n - k N n

Muita variável, né? Calma..

N → n °   t o t a l   d e   e l e m e n t o s

n → n °   d e   e l e m e n t o s   d a   n o s s a   a m o s t r a

r → n °   i n i c i a l   d e   e l e m e n t o s   c o m   a   c a r a c t e r í s t i c a   r e q u e r i d a

k → n °   d e   e l e m e n t o s   q u e   a   g e n t e   q u e r   n a   n o s s a   a m o s t r a   c o m   a   t a l   c a r a c t e r í s t i c a

Voltando ao exemplo: Se eu quisesse a probabilidade de na minha amostra de 3 relógios retirados, sem reposição, existissem 2 com defeito.

N = 10

n = 3

r = 4

k = 2

P X = 2 = 4 2 . 10 - 4 3 - 2 10 3

P X = 2 = 4 2 . 6 1 10 3 = 6 × 6 120 = 0,3

Notação: usamos X   ~   H ( p ) , onde p = r N .

Obs: Quando o valor de N for muito grande com relação ao valor de n , podemos aproximar a hipergeométrica pela binomial. Usando então a fórmula da Binomial que a gente já aprendeu.

Ah, faltando aquelas fórmulas de sempre do final...

Para a hipergeométrica, temos:

E X = n p             V a r X = n p 1 - p N - n N - 1  

Tranquilo ?

Basicamente, vamos usar hipergeométrica quando a gente tiver n repetições de um experimento, sem reposição.

Se você lembrar bem, na Binomial a gente tinha reposição, essa é a grande diferença entre as duas distribuições.

Segura, se prepara que lá vem exercício!

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Exercício Resolvido #1

CEFET-LISTA VA- REGINA-12

Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional. Um lote contém 140 cartões e 20 são selecionados sem reposição para o teste funcional.

  1. Se 20 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra?
  2. Se 5 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso apareça na amostra?
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Passo 1

Óh, acompanha comigo!

O lote tem 140 cartões e a gente vai selecionar 20 deles sem reposição....

Aí você já tem que ter a maldade de que estamos tratando de uma distribuição hipergeométrica.

Passo 2

(a)

Se dos 140 cartões, 20 forem defeituosos, qual a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra?

A gente sabe que terá que usar a função de probabilidade hipergeométrica:

P X = k = r k . N - r n - k N n

Muitas variáveis né? Relembrando o que é cada uma...

N → n °   t o t a l   d e   e l e m e n t o s

n → n °   d e   e l e m e n t o s   d a   n o s s a   a m o s t r a

r → n °   i n i c i a l   d e   e l e m e n t o s   c o m   a   c a r a c t e r í s t i c a   r e q u e r i d a

k → n °   d e   e l e m e n t o s   q u e   a   g e n t e   q u e r   n a   n o s s a   a m o s t r a   c o m   a   t a l   c a r a c t e r í s t i c a

Passo 3

No nosso exercicio a gente tem que:

N = 140

n = 20

r = 20

Só que a gente tem que calcular P ( X ≥ 1 ) , concorda? No mínimo igual a 1 quer dizer maior ou igual..

P X ≥ 1 = 1 - P ( X = 0 )

Passo 4

Ou seja, usamos k = 0 , e substituímos tudo na fórmula:

P X = 0 = 20 0 . 120 20 140 20

Fazendo as contas:

P X = 0 = 20 ! 0 ! 20 ! . 120 ! 20 ! 100 ! 140 ! 20 ! 120 !

P X = 0 = 120 ! 20 ! 100 ! 20 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 120 ! 100 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 120.119 .   … . 101 140.139 .   … . 121

P X = 0 = 0,0356

Portanto:

P X ≥ 1 = 1 - 0,0356

P X ≥ 1 = 0,9644

Passo 5

(b)

Aqui o raciocínio é o mesmo, só muda que o valor de r agora será:

r = 5

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0

Usando k = 0 :

P X = 0 = 5 0 . 135 20 140 20

P X = 0 = 5 ! 0 ! 5 ! . 135 ! 20 ! 115 ! 140 ! 20 ! 120 !

P X = 0 = 135 ! 20 ! 115 ! 20 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 135 ! 115 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 135.134 .   … . 116 140.139 .   … . 121

P X = 0 = 0,4571

Portanto:

P X ≥ 1 = 1 - 0,4571 = 0,5429

Resposta

a   0,9644

b   0,5429

Exercício Resolvido #2

UERJ-lista 2 prof Fabiano-10

Um lote contém 100 partes de um fornecedor brasileiro e 200 partes de um fornecedor

chinês. Se quatro partes são selecionadas aleatoriamente, sem reposição, qual é a probabilidade de que sejam todas elas de um fornecedor brasileiro? Qual é a probabilidade de que duas ou mais partes na amostra sejam de um fornecedor brasileiro? Qual a probabilidade de que pelo menos uma parte seja de um fornecedor brasileiro?

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Passo 1

São 100 partes brasileiras e 200 chinesas, 300 no total.

Temos uma amostra com 4 partes, sem reposição...

Esse “sem reposição” significa que teremos uma distribuição Hipergeométrica.

Relembrando.. a função de probabilidade da hipergeométrica é:

P X = k = r k . N - r n - k N n

N → n °   t o t a l   d e   e l e m e n t o s

n → n °   d e   e l e m e n t o s   d a   n o s s a   a m o s t r a

r → n °   i n i c i a l   d e   e l e m e n t o s   c o m   a   c a r a c t e r í s t i c a   r e q u e r i d a

k → n °   d e   e l e m e n t o s   q u e   a   g e n t e   q u e r   n a   n o s s a   a m o s t r a   c o m   a   t a l   c a r a c t e r í s t i c a

Passo 2

(a)

Se X é a variável que representa o número de brasileiros na amostra, aqui precisamos calcular P ( X = 4 ) .

Queremos que as 4 sejam brasileiras, a gente terá então que:

N = 300   ( t o t a l = 200 + 100 )

n = 4

r = 100   ( o s   100   b r a s i l e i r o s )

k = 4

Substituindo na fórmula..

P X = 4 = 100 4 . 200 0 300 4

Fazendo as contas:

P X = 4 ≈ 0,012

Passo 3

(b)

Queremos P ( X ≥ 2 ) .

P X ≥ 2 = 1 - P X = 0 + P X = 1

Substituindo na hipergeométrica, trocando os valores de k por 0 e 1..

P X ≥ 2 = 1 - 100 0 . 200 4 300 4 + 100 1 . 200 3 300 4

Fazendo as contas:

= 0,408

Passo 4

(c)

Queremos P ( X ≥ 1 ) .

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0

Substituindo na hipergeométrica com k = 0