Teoria Completa
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Exemplo: A gente tem uma caixa com 10 relógios antigos, 4 com defeito.
Supondo que eu quisesse retirar uma amostra de 3 relógios, com reposição, e analisar a quantidade de relógios defeituosos que eu tenho.
Cada evento (retirada de um relógio) seguiriam a ideia de Bernoulli, a probabilidade de sucesso seria , já que cada evento independe do outro.
Se liga nessa então...
E se os eventos fossem sem reposição ?
Sempre que a gente tiver um amostra com elementos, retirados sem reposição, e quisermos a probabilidade dessa amostra conter elementos com determinada característica (no caso, ter defeito), iremos usar a Distribuição Hipergeométrica.
Como ?
A função de probabilidade da hipergeométrica é:
Muita variável, né? Calma..
Voltando ao exemplo: Se eu quisesse a probabilidade de na minha amostra de 3 relógios retirados, sem reposição, existissem 2 com defeito.
Notação: usamos , onde .
Obs: Quando o valor de for muito grande com relação ao valor de , podemos aproximar a hipergeométrica pela binomial. Usando então a fórmula da Binomial que a gente já aprendeu.
Ah, faltando aquelas fórmulas de sempre do final...
Para a hipergeométrica, temos:
Tranquilo ?
Basicamente, vamos usar hipergeométrica quando a gente tiver repetições de um experimento, sem reposição.
Se você lembrar bem, na Binomial a gente tinha reposição, essa é a grande diferença entre as duas distribuições.
Segura, se prepara que lá vem exercício!
Exercício Resolvido #1
Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional. Um lote contém 140 cartões e 20 são selecionados sem reposição para o teste funcional.
- Se 20 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra?
- Se 5 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso apareça na amostra?
Passo 1
Óh, acompanha comigo!
O lote tem 140 cartões e a gente vai selecionar 20 deles sem reposição....
Aí você já tem que ter a maldade de que estamos tratando de uma distribuição hipergeométrica.
Passo 2
(a)
Se dos 140 cartões, 20 forem defeituosos, qual a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra?
A gente sabe que terá que usar a função de probabilidade hipergeométrica:
Muitas variáveis né? Relembrando o que é cada uma...
Passo 3
No nosso exercicio a gente tem que:
Só que a gente tem que calcular , concorda? No mínimo igual a 1 quer dizer maior ou igual..
Passo 4
Ou seja, usamos , e substituímos tudo na fórmula:
Fazendo as contas:
Portanto:
Passo 5
(b)
Aqui o raciocínio é o mesmo, só muda que o valor de agora será:
Usando :
Portanto:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Um lote contém 100 partes de um fornecedor brasileiro e 200 partes de um fornecedor
chinês. Se quatro partes são selecionadas aleatoriamente, sem reposição, qual é a probabilidade de que sejam todas elas de um fornecedor brasileiro? Qual é a probabilidade de que duas ou mais partes na amostra sejam de um fornecedor brasileiro? Qual a probabilidade de que pelo menos uma parte seja de um fornecedor brasileiro?
Passo 1
São 100 partes brasileiras e 200 chinesas, 300 no total.
Temos uma amostra com 4 partes, sem reposição...
Esse “sem reposição” significa que teremos uma distribuição Hipergeométrica.
Relembrando.. a função de probabilidade da hipergeométrica é:
Passo 2
(a)
Se é a variável que representa o número de brasileiros na amostra, aqui precisamos calcular .
Queremos que as 4 sejam brasileiras, a gente terá então que:
Substituindo na fórmula..
Fazendo as contas:
Passo 3
(b)
Queremos .
Substituindo na hipergeométrica, trocando os valores de por 0 e 1..
Fazendo as contas:
Passo 4
(c)
Queremos .
Substituindo na hipergeométrica com .
Contas....
Resposta
Exercício Resolvido #3
Um estado tem uma loteria em que seis números são selecionados aleatoriamente de 40, sem reposição. Um jogador escolhe seis números antes do sorteio acontecer.
- Qual é a probabilidade de que os seis números escolhidos pelo jogador coincidam com todos os seis números sorteados?
- Qual é a probabilidade de que cinco dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados?
- Qual é a probabilidade de que quatro dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados?
- Qual é a probabilidade de que no máximo cinco dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados?
Passo 1
Temos 40 números no total e vamos tirar uma amostra de 6 números, sem reposição.
Isso indica o que? Uma distribuição hipergeométrica, concorda? Tem que ficar esperto nessa lance de ser sem reposição.
Nessa questão vamos usar a função de probabilidade da hipergeométrica:
Onde:
Concorda que e e , independente da situação? Só vai mudar o valor de , que será o valor de números corretos que vamos escolher!
Passo 2
(a)
Aqui teremos .
Passo 3
(b)
Aqui :
Passo 4
(c)
Para :
Passo 5
(d)
A probabilidade de no máximo 5 serem corretos é o mesmo que , correto?
a gente já calculou, então tá safo!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Em problemas de controle de qualidade, suponha que num lote de 100 peças, 10 sejam defeituosas. Escolhemos 5 peças sem reposição desse lote. Qual a probabilidade de obtermos pelo menos uma defeituosa?
Passo 1
OPA! Falou de análise sobre elementos com certa característica (defeito) em cima de uma amostra sem reposição, é Hipergeométrica!
O que queremos então é:
Já que queremos PELO MENOS uma defeituosa... e isso aí nada mais é que:
E a probabilidade de ser menor do que é a mesma coisa que , certo? Já que não podemos ter número negativo de peças defeituosas. Então:
Passo 2
Agora vamos calcular esse peça fórmula da Hipergeométrica. Lembrando que:
Aplicando valores na fórmula temos que:
Passo 3
Então agora temos que lembrar que o que queremos é
Resposta
Exercício Resolvido #5
O dono de uma festa encomendou a um “Buffet” 100 empadinhas de frango e 50 de camarão. Um convidado guloso “sequestra” a bandeja do garçom, que contém 20 empadinhas. O convidado, além de guloso, é alérgico a camarão, e se comer mais de 2 empadas de camarão corre o risco de passar o resto da festa no hospital. Qual a probabilidade disto acontecer?
Passo 1
Vamos chamar de o número de empadas de camarão que o convidado guloso vai comer da bandeja. Nós queremos a probabilidade dele comer mais de 2 empadas, ou seja:
E usando a complementar sabemos que:
Concorda comigo que quando o convidado come uma empada ele não vai fazer reposição dela na bandeja? Afinal, ele já comeu a empada! E falou de experimento sem reposição onde a gente tem interesse em determinada característica (no caso, a empada ser de camarão), estamos falando de uma Hipergeométrica!
Passo 2
Lembrando da fórmula dessa distribuição:
Onde é o número total de elementos (as empadinhas encomendadas), é o número de elementos da amostra (as empadinhas da bandeja), o número de elementos iniciais com a caracterísita de interesse (as empadinhas de camarão encomendadas), e o é o número de elementos que a gente quer na nossa amostra com a característica de interesse.
Vamos ter que aplicar essa fórmula três vezes, para cada uma das probabilidades da nossa equação, mudando o valor de para cada uma delas:
Putz, praticamente certo desse cara ir parar no hospital então!