Distribuição Poisson

Teoria Completa

Distribuição Poisson

Cara, Poisson é meio diferente de tudo, não estaremos mais tratando de experimentos de Bernoulli.

Suponha que você é o dono de uma central de atendimento que recebe ligações a uma taxa média de λ por unidade de tempo. E que essas ligações acontecem aleatoriamente durante o dia. Só que você quer saber o número de ligações recebidas na central em uma unidade de tempo específica, que seria a sua v.a. X .

Em casos como esse dizemos que X segue o modelo de Poisson.

Ou seja, Poisson é aplicado a sequências de eventos que acontecem por unidade de tempo, de área, de volume, etc.

A gente já não tá mais interessado no n° de sucessos dentro de tantas tentativas, mas sim no n° de sucessos dentro de um determinado intervalo de tempo, distância, área, volume ou coisas do tipo.

A função de probabilidade no caso seria:

P X = k = e - λ . λ k k !                           k = 0,1 , 2 , …

k no nosso exemplo é o número de ligações recebidas no tempo específico.

Notação: Usamos,

X   ~   Poisson λ

Para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ .

Exemplo: O número de pessoas que chegam a um determinado evento cultural é regido por um modelo de Poisson com média de 5 pessoas por minuto. Qual a probabilidade de chegarem no máximo 2 pessoas em 1 minuto ?

Passo 1) Temos:

X :   número de pessoas que chegam no evento em um minuto

Sabemos que a média é de 5 pessoas, ou seja:

λ = 5

E :

X   ~   Poisson ( 5 )

Passo 2) Queremos a prob. de chegarem no máximo 2 pessoas em um minuto, ou seja, P ( X ≤ 2 ) .

P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

Aplicamos aqui a fórmula de Poisson.

P X ≤ 2 = e - 5 × 5 0 0 ! + e - 5 × 5 1 1 ! + e - 5 × 5 2 2 !

P X ≤ 2 = e - 5 × 1 + 5 + 25 2

P X ≤ 2 = 0,1246

Podemos também provar que:

E X = λ

E:

Var X = λ

Aproximação da Binomial pela Poisson

Para casos em que:

n ≥ 50

E:

n p < 5

Pode ser demonstrado que a distribuição Binomial produz probabilidades muito parecidas com as obtidas por meio da distribuição de Poisson, desde que a gente faça a seguinte substituição:

λ = n p

Porque isso é bom?

Isso pode facilitar um pouco suas contas.

Exemplo: Suponha que a probabilidade de algum dos seus amigos no facebook ser um fake seja de 0,04. Determina a probabilidade de que, dentre 100 amigos, exatamente 4 sejam fakes.

Passo 1) Identificar a v.a.

X :   número de  fakes

Como são 100 amigos,

n = 100

E,

p = 0,04

Identificar o modelo:

X   ~   Bin ( 100 ;   0,04 )

Passo 2) Notar que:

n > 50         e         n p < 5

Pois n p = 4 .

E que podemos aproximar pela Poisson, fazendo λ = n p .

X   ~   Poisson ( 4 )

Passo 3) Resolver.

Queremos P ( X = 4 ) , então por Poisson:

P X = 4 = e - 4 × 4 4 4 ! ≈ 0,195

Entendeu tudo ? Partiu exercício então!

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Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P1-2013.2-1b)
  1. Defina um experimento que caracterize uma variável aleatória Poisson. Dê um exemplo real.
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Passo 1

Primeira pergunta... que tipo de experimento define uma v.a. Poisson?

São eventos que acontecem por intervalo de tempo, de comprimento, de área, essas coisas..

Além disso, geralmente Poisson representa eventos raros, ou seja, quando existe probabilidade grande de acontecer nenhuma ou apenas uma vez em um intervalo considerável.

Passo 2

Pensando assim, vamos imaginar um exemplo.

Poderíamos usar o número de vezes que se ganha na megasena em dez anos.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,157 -34

O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com λ = 2 . As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto.

a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?

b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?

c) Qual o número médio de petroleitos que chegam por dia?

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Passo 1

Estamos trabalhando com distribuição de Poisson certo? Mas é a distribuição de qual variável?

X: o número de petroleiros que chegam à refinaria em um dia.

Pelo enunciado temos que X ~ P o i s s o n 2 .

a) Qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?

Bom, pelo enunciado sabemos que se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto, portanto queremos P ( X > 3 ) .

Passo 2

Temos que

P X > 3 = 1 - P X ≤ 3

P X ≤ 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3

Sabemos, pela distribuição de Poisson que:

P X = k = e - λ . λ k k !                          

Substituindo:

P X = 0 = e - 2 . 2 0 0 ! = e - 2

P X = 1 = e - 2 . 2 1 1 ! = 2 e - 2

P X = 2 = e - 2 . 2 2 2 ! = 2 e - 2

P X = 3 = e - 2 . 2 3 3 ! = 4 e - 2 3

Assim

P X ≤ 3 = e - 2 + 2 e - 2 + 2 e - 2 + 4 e - 2 3 = 19 e - 2 3 = 0,8571

E

P X > 3 = 1 - P X ≤ 3 = 1 - 0,8571 = 0 , 1429

Passo 3

b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?

Queremos saber quantas instalações devemos aumentar para caber/atender todos os navios na maioria dos dias, em pelo menos 95% dos dias.

Se a nossa variável aleatória X é a quantidade de barcos que chegam ao nosso porto e podemos chamar de x o a quantidade de instalações no mesmo, para aceitar um barco precisamos que X ≤ x o certo?

E se queremos que a probabilidade de aceitar seja no mínimo 95%, queremos que:

P X ≤ x o ≥ 95 %

P X ≤ x o ≥ 0,95

Como desconhecemos x o precisamos ir na tentativa mesmo. O que queremos é um x o em que a probabilidade seja maior ou igual a 95%.

Bom, sabemos pelo item anterios que

P X ≤ 3 = 0,8571

Vamos tentar X ≤ 4,5 , …

P X ≤ 4 = P X ≤ 3 + P X = 4 = 19 e - 2 3 + 2 e - 2 3 = 0,947 3

P X ≤ 5 = P X ≤ 4 + P X = 5 = 21 e - 2 3 + 4 e - 2 15 = 0,983

Opa! É esse né?

Como no caso queremos saber quantas instalações A MAIS devemos ter e sabemos que temos apenas 3, precisamos colocar mais DUAS instalações!

Passo 4

c) Qual o número médio de petroleitos que chegam por dia?

Pela distribuição de Poisson a média é dada pelo parâmetro, que neste caso é λ = 2 portanto E X = 2 .

Resposta

a) 0,1429

b) 2 instalações

c) λ = 2

Exercício Resolvido #3

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 152-23

Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de um por 2.000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética tenha:

a) Nenhum corte?

b) No máximo dois cortes?

c) Pelo menos dois cortes?

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Passo 1

O enunciado não nos diz então como podemos saber qual distribuição usar?

Estamos falando de algo contínuo, fita magnética, portanto podemos pensar na distribuição de Poisson em que a nossa variável aleatória é X, onde

X: Número de cortes da fita magnética a cada 2000 pés

Dado que decidimos ser a distribuição de Poisson precisamos definir quais são os parâmetros, no caso, quem é λ . No enunciado diz que:

“ocorrem cortes a uma taxa de um por 2.000 pés

Portanto podemos notar que λ = 1 .

Passo 2

a) Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética tenha nenhum corte?

Se não queremos nenhum corte, isto quer dizer X = 0 . Portanto queremos

P X = 0 = e - 1 × 1 0 0 ! = 0,3679

Passo 3

b)Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética no máximo dois cortes?

No máximo dois cortes significa que X ≤ 2 , portanto

P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

P X ≤ 2 = e - 1 × 1 0 0 ! + e - 1 × 1 1 1 ! + e - 1 × 1 2 2 ! =

P X ≤ 2 = 0,9197

Passo 4

c)Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética pelo menos dois cortes?

Se estamos falando PELO MENOS dois cortes queremos dizer que X ≥ 2 .

O bizu aqui é lembrar que esse PELO MENOS nos lembra daquela ideia do complementar, portanto

P X ≥ 2 = 1 - P X < 2

Precisamos calcular P ( X < 2 )

P X < 2 = P X = 0 + P X = 1 = 0,735

P X ≥ 2 = 1 - 0,735 = 0,2642

Resposta

a) 0,3679

b) 0,9197

c) 0,2642

Exercício Resolvido #4

CEFET-LISTA VA- REGINA-16

Em uma seção de uma auto-estrada, o número de buracos, que é bastante significante para requerer reparo, é suposto seguir uma distribuição de Poisson com média de dois buracos por quilômetro.

  1. Qual é a probabilidade de que não haja buracos que requeiram reparo em 5   k m de auto-estrada?
  2. Qual é a probabilidade de que no mínimo um buraco requeira reparo em 0,5   k m de auto-estrada?
  3. Se o número de buracos estiver relacionado à carga do veículo na auto-estrada e algumas seções dessa auto-estrada estiverem sujeitas a uma carga pesada de veículos, enquanto outras seções estiverem sujeitas a uma carga leve de veículos, como você se sente a respeito da suposição de distribuição de Poisson para o número de buracos que requeiram reparo?
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Passo 1

Se X é a v.a. que representa o número de buracos que requeiram reparo em 5 km de estrada.

Se a média é de 2 buracos por kilometro, em 5 km teremos uma média de 10 buracos, concorda?

Então, podemos dizer que:

X   ~   P o i s s o n   ( 10 )

Passo 2

(a)

Temos que calcular a probabilidade de que nenhum buraco precise de reparo em 5 km:

P X = 0

Vamos usar a fórmula de Poisson:

P X = 0 = e - 10 × 10 0 0 !

≅ 4,54 × 10 - 5

Passo 3

(b)

Se Y   é a v.a. que representa o número de buracos que requeiram reparo em 0,5 km de estrada.

Agora a média será de 1 buraco, concorda?

Y   ~   P o i s s o n   1

Passo 4

Temos que calcular a probabilidade de no mínimo um buraco precisar de reparo:

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0

Usamos a fórmula:

P X = 0 = e - 1 × 1 0 0 !

≅ 0,3679

Então:

P X ≥ 1 ≅ 1 - 0,3679

≅ 0,6321

Passo 5

(c)

Seria um problema, pois Poisson trabalha com uma média e se a gente tiver um pedaço da estrada mais suscetível a buracos que precisem de reparos do que outros pedaços da estrada, provavelmente Poisson não representará bem a estrada como um todo.

Resposta

a ≅ 4,54 × 10 - 5

b ≅ 0,6321

Exercício Resolvido #5

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 152-24

Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados.

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Passo 1

Bom ele quer que a gente olhe de duas formas certo? Então vamos olhar primeiro pra Binomial!

- Binomial

Considerando X como o número de itens defeituosos encontrados na amostra, os parâmetros serão:

X ~ b ( 10 ; 0,2 )

Lembram né? Representamos a binomial como:

X ~ b ( r e p e t i ç õ e s , p r o b a b i l i d a d e   d e   s u c e s s o )