Distribuição Geométrica

Teoria Completa

DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA

Mais uma distribuição para nossa alegria haha

Aqui você tem que considerar novamente uma sequência de eventos de Bernoulli, lembra?

Aqueles eventos onde a gente só tem 2 opções: Sucesso e Fracasso.

P s u c e s s o = p                       P f r a c a s s o = 1 - p

O que que caracteriza a distribuição geométrica então?

Simples, sempre que a gente quiser que o experimento se repita até que se obtenha um sucesso, usaremos a geométrica.

Exemplo: Um jogador de basquete arremessando um lance livre.

Se eu quisesse saber a probabilidade do jogador acertar o primeiro lançamento apenas no quarto arremesso .... eu usaria a distribuição geométrica. Pegou a ideia?

Tá, mas como? Usando a próxima fórmula.

A função de probabilidade da geométrica é:

P X = k = p 1 - p k - 1

k → número da tentativa em que acontece o primeiro sucesso (no caso k = 4 ).

Notação: Se uma v.a. segue a distribuição geométrica a gente pode escrever:

X   ~   G ( p )           o u           X   ~   G e o m ( p )

Voltando ao exemplo:Se eu dissesse que a probabilidade do jogador acertar fosse de 0,8. Qual seria a probabilidade do primeiro acerto viesse no quarto arremesso ?

X → v . a . r e p r e s e n t a   o   n °   d e   r e p e t i ç õ e s   a t é   o   p r i m e i r o   s u c e s s o

p = P s u c e s s o = 0,8

X   ~   G 0,8

P X = 4 = 0,8 × 0,2 3 = 0,0064

De boas ?

A gente poderia demonstrar (se eu soubesse como hahaha, zoa, é que não vale a pena mesmo) que:

E X = 1 p                   V a r X = 1 - p p 2

Sucesso, nos exercícios melhora!

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Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 157-30

As cinco primeiras repetições de um experimento custam $10,00 cada. Todas as repetições subsequentes custam $5,00 cada. Suponha que o experimento seja repetido até que o primeiro sucesso ocorra. Se a probabilidade de sucesso de uma repetição é igual a 0,9, e se as repetições são independentes, qual é o custo esperado?

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Passo 1

Vamos analisar o enunciado e ver se estamos falando de alguma distribuição? Bom o enunciado diz que temos um experimento onde temos duas fatores a serem analisados:

-X: O número de tentativas

- C: O custo dos experimentos

Sabemos que iremos realizar o experimento até que o primeiro sucesso ocorra ou seja, temos uma Distribuição Geométrica certo?

Passo 2

Agora que já sabemos qual é o modelo vamos entender o que cada coisa é... Se tentamos até conseguir o primeiro sucesso, todas as tentativas anteriores são de fracasso (não sucesso). Ou seja, se tentamos num total de X tentativas, teremos 1 sucesso e ( x - 1 ) fracassos. Considere:

- Probabilidade de Sucesso: p

- Probabilidade Não Sucesso: ( 1 - p )

Juntando tudo podemos escrever:

P X = x = p . 1 - p x - 1

Substituindo os valores do enunciado:

P X = x = 0,9 . 1 - 0,9 x - 1 = 0,9 . 0,1 x - 1

Passo 3

O enunciado pede o custo esperado, simbora calcular? O cálculo do custo é feito da seguinte forma:

- 5 primeiras tentativas : R$10,00 cada

- Outras tentativas: R$5,00 cada.

Assim podemos escrever que:

Passo 4

Agora é só substituindo e ir para as contas!

E C = 10 × ∑ K = 1 5 0,9 . 0,1 k - 1 + 5 ∑ k = 6 ∞ 0,9 . 0,1 k - 1 = 9,99

Resposta

9,99

Exercício Resolvido #2

CEFET-LISTA VA- REGINA-11

Em seu caminho matinal, você se aproxima de um determinado sinal de trânsito, que está verde em 20% do tempo. Suponha que cada manhã represente um tentativa independente.

  1. Qual é a probabilidade de que a primeira manhã que a luz esteja verde seja a quarta manhã que você se aproxima?
  2. Qual é a probabilidade de que a luz não esteja verde durante exatamente 10 manhãs consecutivas?
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Passo 1

(a)

Vamos entender melhor...

Pelo enunciado, a probabilidade de eu pegar o sinal verde é de 20%.

No item (a) eu quero a probabilidade de que a primeira vez que eu pegue o sinal verde seja na quarta tentativa. Concorda comigo então que estamos fazendo repetições até obtermos sucesso?

Isso é o que?

Distribuição geométrica.

Passo 2

Se X é a v.a. que representa o número de tentativas até o primeiro sucesso, temos que calcular P X = 4 .

Usando a função de probabilidade da geométrica..

P X = k = p 1 - p k - 1

P X = 4 = 0,2 × 0,8 3

= 0,1024

Passo 3

(b)

Pra que a luz não esteja verde dentro das 10 primeiras manhãs consecutivas, concorda que a gente tem que calcular a probabilidade de a gente só encontrar ela verde na décima primeira manhã pela primeira vez?

Vamos usar a mesma fórmula de novo... só que agora pra k = 11 .

P X = 11 = 0,2 × 0,8 10

≅ 0,02147

Resposta

a   0,1024

b ≅ 0,02147

Exercício Resolvido #3

PUCRIO – Probabilidade – Prova 1 - 2014.2 - 2ab)

No Callcenter de uma empresa distribuidora de telefonia, apenas 35 %   das chamadas são relacionadas a reclamações sobre erros nas faturas emitidas pela empresa. Pede-se:

  1. Qual a probabilidade da primeira reclamação sobre erro na fatura emitida da conta, ocorrer até a 2ª chamada.
  2. A média, desvio padrão e coeficiente de variação desta variável aleatória.
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Passo 1

(a)

O exercício pede pra gente calcular a probabilidade do primeiro sucesso (reclamação sobre erro na fatura) acontecer até a segunda chamada.

Temos duas situações então: a primeira reclamação acontecer na primeira chamada ou a primeira reclamação acontecer na segunda chamada.

Nos dois casos, vamos usar a distribuição geométrica, concorda? Porque queremos calcular a prob. do primeiro sucesso acontecer em determinada tentativa.

Passo 2

A função de probabilidade da geométrica é:

P X = k = p 1 - p k - 1

A gente sabe que p = 0,35 .

Agora é só a gente aplicar pras duas situações: na primeira k = 1 e na segunda k = 2 que é o número da tentativa em que acontece o primeiro sucesso.

P X = 1 = 0,35 × 0,65 0 = 0,35

P X = 2 = 0,35 × 0,65 1 = 0,2275

A probabilidade que a gente quer é a soma das duas.

P ( X ≤ 2 ) = 0,35 + 0,2275

= 0,5775

Passo 3

(b)

Pro caso de uma distribuição geométrica a gente já conhece a fórmula da média e da variância.

E X = 1 p

= 1 0,35

E X ≅ 2 , 86

A variância é:

V a r X = 1 - p p 2

= 0,65 0,35 2

V a r X ≅ 5,31

O desvio padrão a gente sabe que é a raiz quadrada da variância, né? Tranquilo então..

D P X = 5,31

D P X ≅ 2,30

E pra fechar o coeficiente de variação (CV pros íntimos).

C V X = D P X E X = 2,30 2 , 86 ≅ 0,805

Resposta

a   0,5775

b   E X ≅ 2 , 86   , D P X ≅ 2,30   e   C V X ≅ 0,805

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Considere o experimento em que uma moeda viciada é lançada sucessivas vezes, até que ocorra a primeira cara. Seja  X  a variável aleatória que conta o número de coroas obtidos no experimento (ou seja, a quantidade de lançamentos anteriores a obtenção da primeira cara). Sabendo que a probabilidade de cara é de  0,4 , qual é a probabilidade de  P ( 2 ≤ X < 4 ) .

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Passo 1

Opa, temos um experimento que vai parar de ser repetido assim que acontecer o primeiro sucesso, ou seja, uma distribuição Geométrica! Nosso sucesso aqui seria o aparecimento da cara.

Mas toma muito cuidado aí para não cair na pegadinha, se liga só!

O enunciado diz para a gente que X é a variável aleatória que conta o número de coroas obtidas no experimento, antes de se obter o sucesso, que seria a cara, certo?

Imagina que você lançou a moeda 4 vezes até obter a cara, ou seja, você obteve:

{Coroa, Coroa, Coroa, Cara}

Nesse caso, nossa variável aleatória assumiria o valor X = 3 , mas o número de tentativas até se obter o sucesso seria 4, afinal foi necessário lançar a moeda quatro vezes até se obter a cara.

Vamos chamar esse número de tentativas até obter o sucesso de Y . Repara então que:

Y = X + 1

Isso é o mesmo que falar que a quantidade de vezes que se lança a moeda até obter o sucesso ( Y ) é igual a quantidade de vezes que se obteve coroa ( X ) mais uma tentativa.

E por que eu fiz tudo isso??

Por que essa variável X ,   ela parece que segue a distribuição geométrica, mas não segue não. Quem de fato segue a distribuição geométrica é a variável aleatória Y , pois é ela que contabiliza o número de tentativas até se obter o sucesso (que é obter a primeira cara).

Com isso, teremos:

Y ~ G ( 0,4 )

Passo 2

Para calcular a probabilidade pedida temos que trocar a nossa variável aleatória:

P 2 ≤ X < 4 = P ( 3 ≤ Y < 5 )

E tem que se ligar que:

P 3 ≤ Y < 5 = P Y = 3 + P ( Y = 4 )

Já que entre maior ou igual a 3 e menor que 5, temos o 3 e o 4. Agora temos que lembrar da função da Geométrica:

P Y = k = p 1 - p k - 1

Substituindo a função para o nosso cálculo:

P 3 ≤ Y < 5 = P Y = 3 + P Y = 4 = 0,4 1 - 0,4 3 - 1 + 0,4 1 - 0,4 4 - 1

= 0 , 230

Passo 3

Resposta

0 , 230

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Um pesquisador está realizando um experimentos químico independentes e sabe que a probabilidade de que cada experimento apresente uma reação positiva é  0,3 . Qual é a probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva?

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Passo 1

Opa, falou de repetição até obter um sucesso (reação positiva) já sabemos que ta falando da geométrica né?

Se liga, o exercício quer menos de 5 reações negativas antes da primeira positiva. Ou seja, ele quer no máximo 4 fracassos antes do primeiro sucesso!

Então nesse caso podemos ter o primeiro sucesso na 1ª, 2ª, 3ª, 4ª ou 5ª reação! Todos esses casos respeitam o que ele pediu! Traduzindo isso pra nossa querida geométrica:

P X = k = p 1 - p k - 1

No nosso problema p = 0,3 que é a probabilidade do nosso sucesso (reação positiva). E como X pode ser de 1 até 5 , o que nós queremos é:

P ( X ≤ 5 )

E isso aí é a mesma coisa que:

P X ≤ 5 = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5

Então agora podemos usar a fórmula da distribuição pra essa galera toda:

P ( X ≤ 5 ) = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5

= ( 0,3 1 - 0,3 1 - 1 + 0,3 1 - 0,3 2 - 1 + 0,3 1 - 0,3 3 - 1 + 0,3 1 - 0,3 4 - 1 + 0,3 1 - 0,3 5 - 1 )

P ( X ≤ 5 ) = 0 , 8319

Resposta

0 , 8319

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