Distribuição Pascal

Teoria Completa

DISTRIBUIÇÃO PASCAL

Pascal, Pascal, Pascal... cansado de ouvir esse nome na vida? Essa galera que não tirava férias, não curtia um carnaval, complicado! :D

Vem comigo, sem medo de ser feliz!

Adivinha quem você tem que considerar novamente? Uma sequência de eventos Bernoulli.

Exemplo: Um jogador de basquete arremessando um lance livre.

Quero saber a probabilidade do jogador ter seu segundo acerto na quinta tentativa?

Em casos como esse a nossa v.a. X representará o n° de tentativas ( k ) para acontecer o r-ésimo sucesso. E seguirá a distribuição Pascal.

Foca em mim agora!

Para o r-ésimo sucesso ocorrer na k-ésima tentativa é porque já houve r - 1 sucessos e ( k - r ) fracassos entre as primeiras ( k - 1 ) tentativas. Existem k - 1 r - 1 maneiras disso acontecer

Que isso, falei bonito! Mas sério, é essencial você entender isso!

No nosso exemplo ficaria... “Para o segundo sucesso ocorrer na quinta tentativa é porque já houve 1 sucesso e 3 fracassos entre as primeiras 4 tentativas”

Sussa ? Só substitui os valores de k e r .

Continuando...

A probabilidade da gente ter ( r - 1 ) sucessos e ( k - r ) fracassos é:

p r . 1 - p k - r

Concluindo, a função de probabilidade da v.a. X será:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

Voltando ao exemplo: Pra resolvermos, substituímos k = 5 e r = 2 .

P X = 5 = 4 1 . 0,8 2 . 0,2 3 ≅ 0,02

Como sempre o essencial é saber quando usar a distribuição, o resto é aplicar fórmula. Pascal a gente vai usar quando tiver relacionando número de tentativas com número de sucessos.

Ah, bom saber também que em Pascal...

E X = r p             V a r X = r 1 - p p 2

Sucesso, nos exercícios melhora! Partiu...

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ-lista 2 prof Fabiano-12 - (c)

Cada amostra de água tem 10% de chance de conter um particular poluente orgânico. Suponha que as amostras são independentes com relação à presença do poluente. Encontre a probabilidade de que tenhamos que examinar 10 amostras até que se encontre a terceira com poluente.

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Passo 1

Se liga! Estamos relacionando um número de tentativas (10 no caso) com um r-ésimo sucesso (3), correto?

Isso que dizer que se trata de uma distribuição Pascal.

A função de probabilidade da Pascal é:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

Onde:

k = 10

r = 3

Passo 2

Agora é só substituir os valores:

P X = 10 = 9 2 . 0,1 3 . 0,9 7

P X = 10 ≅ 0,0 172

Resposta

P X = 10 ≅ 0,0172

Exercício Resolvido #2

UFF- 2ª VE-1

O presidente de uma grande corporação toma decisões jogando dardos em um quadro. A seção central é marcada com “sim”, e representa um sucesso. A probabilidade de que ele acerte um “sim” é 0,6 . O presidente continua a jogar até que faça três acertos. A regra de decisão do presidente é simples: se ele faz três acertos no máximo até a quinta jogada, ele decide favoravelmente à questão.

  1. Calcule a probabilidade de que ele decida favoravelmente?
  2. Determine o valor esperado. Qual o seu significado no contexto do problema?
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Passo 1

(a)

Pra ele decidir favoravelmente, ele tem que fazer 3 acertos em no máximo 5 tentativas.

Quando a gente quer relacionar número de tentativas com número de acertos a gente usa a distribuição Pascal, que tem a seguinte função:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

k → número de tentativas.

r → número de acertos.

A gente sabe também que a probabilidade de sucesso é p = 0,6 .

Passo 2

Pra ele ser favorável então, a gente tem 3 situações. Ele pode acertar 3 acertos em 3 tentativas → k = r = 3 .

P X = 3 = 2 2 . 0,6 3 . 0,4 0

= 0,6 3

Pode acertar 3 em 4 tentativas → k = 4   e r = 3 .

P X = 4 = 3 2 . 0,6 3 . 0,4 1

= 1,2 × 0,6 3

Ou pode acertar 3 em 5 tentativas (que é o máximo) → k = 5 e r = 3 .

P X = 5 = 4 2 . 0,6 3 . 0,4 2

= 0,96 × 0,6 3

A probabilidade total dele ser favorável é então:

= 0,6 3 + 1,2 × 0,6 3 + 0,96 × 0,6 3

= 0,68

Passo 3

(b)

Para uma distribuição Pascal, E ( X ) é dado pela fórmula:

E X = r p

E X = 3 0,6

E X = 5

Que é o valor esperado de tentativas para que ele alcance o terceiro sucesso.

Resposta

a   0,68

b   5

Exercício Resolvido #3

UFF – Probabilidade e Estatística - Prova 2 – Questão 01

No Callcenter de uma empresa distribuidora de telefonia, apenas 35 %   das chamadas são relacionadas a reclamações sobre erros nas faturas emitidas pela empresa. Pede-se:

a) qual seria a probabilidade de ocorrer a segunda reclamação da conta na sétima chamada.

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Passo 1

(a)

Pera que agora já não estamos falando de “primeiro sucesso”. Agora a gente tem que calcular a probabilidade do segundo sucesso (segunda reclamação) vir na sétima tentativa (sétima ligação). Tá lembrado qual distribuição que vai ajudar a gente agora?

Se você pensou em Pascal ou Binomial Negativa, avance para a próxima casa.. porque é isso mesmo que a gente vai fazer.

A função de probabilidade da Pascal é:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

Lembrando que k é o número de tentativas pra gente alcançar o sucesso de número r .

Então nesse caso do exercício... k = 7 e r = 2 .

Passo 2

Agora é só calcular, sendo que p continua sendo 0,35 , nada mudou.

P X = 7 = 6 1 . 0,35 2 . 0,65 5

≅ 0,0853

Resposta

a ≅ 8,53 %

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Um jogador de basquete acerta 70% dos seus arremessos livres. Durante uma partida, qual é a probabilidade que o jogador acerte seu terceiro arremesso livre no seu quinto arremesso? 

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Passo 1

Queremos “acumular” três sucessos (três arremessos livres) em cinco tentativas totais, certo? Então isso aí é uma distribuição Pascal!

E quem vão ser nossos parâmetros:

r = n º   d e   s u c e s s o s   d e   i n t e r e s s e = 3

k = n º   d e   r e p e t i ç õ e s = 5

p = p r o b a b i l i d a d e   d e   s u c e s s o = 0 , 7

Passo 2

Substituindo isso tudo na fórmula da distribução Pascal, temos:

P X = k = k - 1 r - 1 p r 1 - p k - r = 4 2 0 , 7 3 1 - 0,7 5 - 3 = 6 × 0,343 × 0,09 = 0,18522

Resposta

0,18522

Exercício Resolvido #5

Moodle - UFSC

Considere o tempo para recarregar o flash de uma câmera de celular. Assuma que a probabilidade de que uma câmera instalada no celular durante sua montagem passe no teste é de 0.80 , e que cada câmera tem seu desempenho independente.

Qual é a probabilidade de que a segunda falha ocorra no teste de quatro ou menos câmeras?

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Passo 1

Pensa comigo, aqui nós vamos testar várias câmeras aleatórias, que tem 0,8 de chance de não falharem. E nós queremos que a segunda falha entre as câmeras testes ocorra no máximo na quarta tentativa. Isso é uma Distribuição Pascal, certo? Queremos que um certo número de sucessos (falha da câmera) aconteça depois de um certo número de experimentos! A fórmula da Pascal é:

P X = k = k - 1 r - 1 p r 1 - p k - r

Denotando o número de tentativas que vamos ter por X , qual a nossa probabilidade p de sucesso? Estamos tratando o sucesso aqui como a câmera falhar, então:

p = 1 - 0,8 = 0,2

Passo 2

Para calcular a probabilidade da segunda falha aconteça no máximo na quarta tentativa, procuramos por:

P ( X ≤ 4 )

Que é igual a:

P X ≤ 4 = P X = 2 + P X = 3 + P ( X = 4 )

Opa, por que não tem P X = 1 ? Porque não tem como uma segunda falha acontecer na primeira tentativa! Aplicando a fórmula para cada uma dessas probabilidades (lembrando que r = 2 , pois é o número de falhas que queremos):

P X ≤ 4 = 2 - 1 2 - 1 0,2 2 1 - 0,2 2 - 2 + 3 - 1 2 - 1 0,2 2 1 - 0,2 3 - 2 + 4 - 1 2 - 1 0,2 2 1 - 0,2 4 - 2

P X ≤ 4 = 0,1808

Passo 3

Resposta

0,1808

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