Distribuição Pascal

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Teoria

DISTRIBUIÇÃO PASCAL

Pascal, Pascal, Pascal... cansado de ouvir esse nome na vida? Essa galera que não tirava férias, não curtia um carnaval, complicado! :D

Vem comigo, sem medo de ser feliz!

Adivinha quem você tem que considerar novamente? Uma sequência de eventos Bernoulli.

Exemplo: Um jogador de basquete arremessando um lance livre.

Quero saber a probabilidade do jogador ter seu segundo acerto na quinta tentativa?

Em casos como esse a nossa v.a. X representará o n° de tentativas ( k ) para acontecer o r-ésimo sucesso. E seguirá a distribuição Pascal.

Foca em mim agora!

Para o r-ésimo sucesso ocorrer na k-ésima tentativa é porque já houve r - 1 sucessos e ( k - r ) fracassos entre as primeiras ( k - 1 ) tentativas. Existem k - 1 r - 1 maneiras disso acontecer

Que isso, falei bonito! Mas sério, é essencial você entender isso!

No nosso exemplo ficaria... “Para o segundo sucesso ocorrer na quinta tentativa é porque já houve 1 sucesso e 3 fracassos entre as primeiras 4 tentativas”

Sussa ? Só substitui os valores de k e r .

Continuando...

A probabilidade da gente ter ( r - 1 ) sucessos e ( k - r ) fracassos é:

p r . 1 - p k - r

Concluindo, a função de probabilidade da v.a. X será:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

Voltando ao exemplo: Pra resolvermos, substituímos k = 5 e r = 2 .

P X = 5 = 4 1 . 0,8 2 . 0,2 3 ≅ 0,02

Como sempre o essencial é saber quando usar a distribuição, o resto é aplicar fórmula. Pascal a gente vai usar quando tiver relacionando número de tentativas com número de sucessos.

Ah, bom saber também que em Pascal...

E X = r p             V a r X = r 1 - p p 2

Sucesso, nos exercícios melhora! Partiu...

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Cada amostra de água tem 10% de chance de conter um particular poluente orgânico. Suponha que as amostras são independentes com relação à presença do poluente. Encontre a probabilidade de que tenhamos que examinar 10 amostras até que se encontre a terceira com poluente.

Passo 1

Se liga! Estamos relacionando um número de tentativas (10 no caso) com um r-ésimo sucesso (3), correto?

Isso que dizer que se trata de uma distribuição Pascal.

A função de probabilidade da Pascal é:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

Onde:

k = 10

r = 3

Passo 2

Agora é só substituir os valores:

P X = 10 = 9 2 . 0,1 3 . 0,9 7

P X = 10 ≅ 0,0 172

Resposta

P X = 10 ≅ 0,0172

Exercício Resolvido #2

O presidente de uma grande corporação toma decisões jogando dardos em um quadro. A seção central é marcada com “sim”, e representa um sucesso. A probabilidade de que ele acerte um “sim” é 0,6 . O presidente continua a jogar até que faça três acertos. A regra de decisão do presidente é simples: se ele faz três acertos no máximo até a quinta jogada, ele decide favoravelmente à questão.

  1. Calcule a probabilidade de que ele decida favoravelmente?
  2. Determine o valor esperado. Qual o seu significado no contexto do problema?

Passo 1

(a)

Pra ele decidir favoravelmente, ele tem que fazer 3 acertos em no máximo 5 tentativas.

Quando a gente quer relacionar número de tentativas com número de acertos a gente usa a distribuição Pascal, que tem a seguinte função:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

k → número de tentativas.

r → número de acertos.

A gente sabe também que a probabilidade de sucesso é p = 0,6 .

Passo 2

Pra ele ser favorável então, a gente tem 3 situações. Ele pode acertar 3 acertos em 3 tentativas → k = r = 3 .

P X = 3 = 2 2 . 0,6 3 . 0,4 0

= 0,6 3

Pode acertar 3 em 4 tentativas → k = 4   e r = 3 .

P X = 4 = 3 2 . 0,6 3 . 0,4 1

= 1,2 × 0,6 3

Ou pode acertar 3 em 5 tentativas (que é o máximo) → k = 5 e r = 3 .

P X = 5 = 4 2 . 0,6 3 . 0,4 2

= 0,96 × 0,6 3

A probabilidade total dele ser favorável é então:

= 0,6 3 + 1,2 × 0,6 3 + 0,96 × 0,6 3

= 0,68

Passo 3

(b)

Para uma distribuição Pascal, E ( X ) é dado pela fórmula:

E X = r p

E X = 3 0,6

E X = 5

Que é o valor esperado de tentativas para que ele alcance o terceiro sucesso.

Resposta

a   0,68

b   5

Exercício Resolvido #3

No Callcenter de uma empresa distribuidora de telefonia, apenas 35 %   das chamadas são relacionadas a reclamações sobre erros nas faturas emitidas pela empresa. Pede-se:

a) qual seria a probabilidade de ocorrer a segunda reclamação da conta na sétima chamada.

Passo 1

(a)

Pera que agora já não estamos falando de “primeiro sucesso”. Agora a gente tem que calcular a probabilidade do segundo sucesso (segunda reclamação) vir na sétima tentativa (sétima ligação). Tá lembrado qual distribuição que vai ajudar a gente agora?

Se você pensou em Pascal ou Binomial Negativa, avance para a próxima casa.. porque é isso mesmo que a gente vai fazer.

A função de probabilidade da Pascal é:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

Lembrando que k é o número de tentativas pra gente alcançar o sucesso de número r .

Então nesse caso do exercício... k = 7 e r = 2 .

Passo 2

Agora é só calcular, sendo que p continua sendo 0,35 , nada mudou.

P X = 7 = 6 1 . 0,35 2 . 0,65 5

≅ 0,0853

Resposta

a ≅ 8,53 %

Exercício Resolvido #4

Um jogador de basquete acerta 70% dos seus arremessos livres. Durante uma partida, qual é a probabilidade que o jogador acerte seu terceiro arremesso livre no seu quinto arremesso? 

Passo 1

Queremos “acumular” três sucessos (três arremessos livres) em cinco tentativas totais, certo? Então isso aí é uma distribuição Pascal!

E quem vão ser nossos parâmetros:

r = n º   d e   s u c e s s o s   d e   i n t e r e s s e = 3

k = n º   d e   r e p e t i ç õ e s = 5

p = p r o b a b i l i d a d e   d e   s u c e s s o = 0 , 7

Passo 2

Substituindo isso tudo na fórmula da distribução Pascal, temos:

P X = k = k - 1 r - 1 p r 1 - p k - r = 4 2 0 , 7 3 1 - 0,7 5 - 3 = 6 × 0,343 × 0,09 = 0,18522

Resposta

0,18522

Exercício Resolvido #5

Considere o tempo para recarregar o flash de uma câmera de celular. Assuma que a probabilidade de que uma câmera instalada no celular durante sua montagem passe no teste é de 0.80 , e que cada câmera tem seu desempenho independente.

Qual é a probabilidade de que a segunda falha ocorra no teste de quatro ou menos câmeras?

Passo 1

Pensa comigo, aqui nós vamos testar várias câmeras aleatórias, que tem 0,8 de chance de não falharem. E nós queremos que a segunda falha entre as câmeras testes ocorra no máximo na quarta tentativa. Isso é uma Distribuição Pascal, certo? Queremos que um certo número de sucessos (falha da câmera) aconteça depois de um certo número de experimentos! A fórmula da Pascal é:

P X = k = k - 1 r - 1 p r 1 - p k - r

Denotando o número de tentativas que vamos ter por X , qual a nossa probabilidade p de sucesso? Estamos tratando o sucesso aqui como a câmera falhar, então:

p = 1 - 0,8 = 0,2

Passo 2

Para calcular a probabilidade da segunda falha aconteça no máximo na quarta tentativa, procuramos por:

P ( X ≤ 4 )

Que é igual a:

P X ≤ 4 = P X = 2 + P X = 3 + P ( X = 4 )

Opa, por que não tem P X = 1 ? Porque não tem como uma segunda falha acontecer na primeira tentativa! Aplicando a fórmula para cada uma dessas probabilidades (lembrando que r = 2 , pois é o número de falhas que queremos):

P X ≤ 4 = 2 - 1 2 - 1 0,2 2 1 - 0,2 2 - 2 + 3 - 1 2 - 1 0,2 2 1 - 0,2 3 - 2 + 4 - 1 2 - 1 0,2 2 1 - 0,2 4 - 2

P X ≤ 4 = 0,1808

Resposta

0,1808

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a variável aleatória X tenha uma distribuição geométrica, com p = 0.5 . Determine as seguintes probabilidades: P ( X = 1 ) P ( X = 4 ) P ( X = 8 ) P ( X ≤ 2 ) P ( X2 )
Suponha que X seja uma variável aleatória binomial negativa, com p = 0.2 e r = 4 . Determine o seguinte: E ( X ) P ( X = 20 ) P ( X = 19 ) P ( X = 21 ) O valor mais provável de X
Considere a sequência de tentativas independentes de Bernoulli com p = 0.2 .Qual é o número esperado de tentativas de modo a se obter o primeiro sucesso?Depois de oito sucesso ocorrerem, qual é o núme
Suponha que cada uma de suas chamadas para estação popular de rádio tenha uma probabilidade de 0.02 de se completar, ou seja, de não obter um sinal de ocupado. Considere que suas chamadas sejam indepe
A probabilidade de um alinhamento óptico com sucesso em um arranjo de um produto de armazenamento de dados óptico é de 0.8. Considere que as tentativas sejam independentes.Qual é a probabilidade de qu