menu
menu Acesse com Google menu Acesse com Facebook

Distribuição Pascal

  • Teoria Completa
  • Exercícios Resolvidos Passo a Passo
Pagina Inicial > Probabilidade e Estatística > Variáveis Aleatórias > Distribuição Pascal
Variáveis Aleatórias
  • Introdução à Variável Aleatória Discreta
  • Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada
  • Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Discreta
  • Propriedades do Valor Esperado e da Variância
  • Distribuição de Bernoulli e Binomial
  • Distribuição Pascal
  • Distribuição Geométrica
  • Distribuição Hipergeométrica
  • Distribuição Poisson
  • Introdução à Variável Aleatória Contínua
  • Função de Distribuição Acumulada
  • Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua
  • Transformação de V.A. Contínuas
  • Distribuição Uniforme
  • Distribuição Exponencial
  • Distribuição Normal
  • Teorema Central do Limite
  • Aproximando a Binominal pela Normal
  • Probabilidade Conjunta – Variáveis Aleatórias Bidimensionais Discretas
  • Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas
  • Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais
  • Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais
Veja Mais
  • Lista de Exercícios de Distribuição Pascal

Teoria Completa

DISTRIBUIÇÃO PASCAL

Pascal, Pascal, Pascal... cansado de ouvir esse nome na vida? Essa galera que não tirava férias, não curtia um carnaval, complicado! :D

Vem comigo, sem medo de ser feliz!

Adivinha quem você tem que considerar novamente? Uma sequência de eventos Bernoulli.

Exemplo: Um jogador de basquete arremessando um lance livre.

Quero saber a probabilidade do jogador ter seu segundo acerto na quinta tentativa?

Em casos como esse a nossa v.a. X representará o n° de tentativas ( k ) para acontecer o r-ésimo sucesso. E seguirá a distribuição Pascal.

Foca em mim agora!

Para o r-ésimo sucesso ocorrer na k-ésima tentativa é porque já houve r - 1 sucessos e ( k - r ) fracassos entre as primeiras ( k - 1 ) tentativas. Existem k - 1 r - 1 maneiras disso acontecer

Que isso, falei bonito! Mas sério, é essencial você entender isso!

No nosso exemplo ficaria... “Para o segundo sucesso ocorrer na quinta tentativa é porque já houve 1 sucesso e 3 fracassos entre as primeiras 4 tentativas”

Sussa ? Só substitui os valores de k e r .

Continuando...

A probabilidade da gente ter ( r - 1 ) sucessos e ( k - r ) fracassos é:

p r . 1 - p k - r

Concluindo, a função de probabilidade da v.a. X será:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

Voltando ao exemplo: Pra resolvermos, substituímos k = 5 e r = 2 .

P X = 5 = 4 1 . 0,8 2 . 0,2 3 ≅ 0,02

Como sempre o essencial é saber quando usar a distribuição, o resto é aplicar fórmula. Pascal a gente vai usar quando tiver relacionando número de tentativas com número de sucessos.

Ah, bom saber também que em Pascal...

E X = r p             V a r X = r 1 - p p 2

Sucesso, nos exercícios melhora! Partiu...

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ-lista 2 prof Fabiano-12 - (c)

Cada amostra de água tem 10% de chance de conter um particular poluente orgânico. Suponha que as amostras são independentes com relação à presença do poluente. Encontre a probabilidade de que tenhamos que examinar 10 amostras até que se encontre a terceira com poluente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se liga! Estamos relacionando um número de tentativas (10 no caso) com um r-ésimo sucesso (3), correto?

Isso que dizer que se trata de uma distribuição Pascal.

A função de probabilidade da Pascal é:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

Onde:

k = 10

r = 3

Passo 2

Agora é só substituir os valores:

P X = 10 = 9 2 . 0,1 3 . 0,9 7

P X = 10 ≅ 0,0 172

Resposta

P X = 10 ≅ 0,0172

Exercício Resolvido #2

UFF- 2ª VE-1

O presidente de uma grande corporação toma decisões jogando dardos em um quadro. A seção central é marcada com “sim”, e representa um sucesso. A probabilidade de que ele acerte um “sim” é 0,6 . O presidente continua a jogar até que faça três acertos. A regra de decisão do presidente é simples: se ele faz três acertos no máximo até a quinta jogada, ele decide favoravelmente à questão.

  1. Calcule a probabilidade de que ele decida favoravelmente?
  2. Determine o valor esperado. Qual o seu significado no contexto do problema?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Pra ele decidir favoravelmente, ele tem que fazer 3 acertos em no máximo 5 tentativas.

Quando a gente quer relacionar número de tentativas com número de acertos a gente usa a distribuição Pascal, que tem a seguinte função:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

k → número de tentativas.

r → número de acertos.

A gente sabe também que a probabilidade de sucesso é p = 0,6 .

Passo 2

Pra ele ser favorável então, a gente tem 3 situações. Ele pode acertar 3 acertos em 3 tentativas → k = r = 3 .

P X = 3 = 2 2 . 0,6 3 . 0,4 0

= 0,6 3

Pode acertar 3 em 4 tentativas → k = 4   e r = 3 .

P X = 4 = 3 2 . 0,6 3 . 0,4 1

= 1,2 × 0,6 3

Ou pode acertar 3 em 5 tentativas (que é o máximo) → k = 5 e r = 3 .

P X = 5 = 4 2 . 0,6 3 . 0,4 2

= 0,96 × 0,6 3

A probabilidade total dele ser favorável é então:

= 0,6 3 + 1,2 × 0,6 3 + 0,96 × 0,6 3

= 0,68

Passo 3

(b)

Para uma distribuição Pascal, E ( X ) é dado pela fórmula:

E X = r p

E X = 3 0,6

E X = 5

Que é o valor esperado de tentativas para que ele alcance o terceiro sucesso.

Resposta

a   0,68

b   5

Exercício Resolvido #3

UFF – Probabilidade e Estatística - Prova 2 – Questão 01

No Callcenter de uma empresa distribuidora de telefonia, apenas 35 %   das chamadas são relacionadas a reclamações sobre erros nas faturas emitidas pela empresa. Pede-se:

a) qual seria a probabilidade de ocorrer a segunda reclamação da conta na sétima chamada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Pera que agora já não estamos falando de “primeiro sucesso”. Agora a gente tem que calcular a probabilidade do segundo sucesso (segunda reclamação) vir na sétima tentativa (sétima ligação). Tá lembrado qual distribuição que vai ajudar a gente agora?

Se você pensou em Pascal ou Binomial Negativa, avance para a próxima casa.. porque é isso mesmo que a gente vai fazer.

A função de probabilidade da Pascal é:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

Lembrando que k é o número de tentativas pra gente alcançar o sucesso de número r .

Então nesse caso do exercício... k = 7 e r = 2 .

Passo 2

Agora é só calcular, sendo que p continua sendo 0,35 , nada mudou.

P X = 7 = 6 1 . 0,35 2 . 0,65 5

≅ 0,0853

Resposta

a ≅ 8,53 %

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Um jogador de basquete acerta 70% dos seus arremessos livres. Durante uma partida, qual é a probabilidade que o jogador acerte seu terceiro arremesso livre no seu quinto arremesso? 

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Queremos “acumular” três sucessos (três arremessos livres) em cinco tentativas totais, certo? Então isso aí é uma distribuição Pascal!

E quem vão ser nossos parâmetros:

r = n º   d e   s u c e s s o s   d e   i n t e r e s s e = 3 º

k = n º   d e   r e p e t i ç õ e s = 5 º ç õ

p = p r o b a b i l i d a d e   d e   s u c e s s o = 0 , 7

Passo 2

Substituindo isso tudo na fórmula da distribução Pascal, temos:

P X = k = k - 1 r - 1 p r 1 - p k - r = 4 2 0 , 7 3 1 - 0,7 5 - 3 = 6 × 0,343 × 0,09 = 0,18522

Resposta

0,18522

Exercício Resolvido #5

Moodle - UFSC

Considere o tempo para recarregar o flash de uma câmera de celular. Assuma que a probabilidade de que uma câmera instalada no celular durante sua montagem passe no teste é de 0.80 , e que cada câmera tem seu desempenho independente.

Qual é a probabilidade de que a segunda falha ocorra no teste de quatro ou menos câmeras?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pensa comigo, aqui nós vamos testar várias câmeras aleatórias, que tem 0,8 de chance de não falharem. E nós queremos que a segunda falha entre as câmeras testes ocorra no máximo na quarta tentativa. Isso é uma Distribuição Pascal, certo? Queremos que um certo número de sucessos (falha da câmera) aconteça depois de um certo número de experimentos! A fórmula da Pascal é:

P X = k = k - 1 r - 1 p r 1 - p k - r

Denotando o número de tentativas que vamos ter por X , qual a nossa probabilidade p de sucesso? Estamos tratando o sucesso aqui como a câmera falhar, então:

p = 1 - 0,8 = 0,2

Passo 2

Para calcular a probabilidade da segunda falha aconteça no máximo na quarta tentativa, procuramos por:

P ( X ≤ 4 )

Que é igual a:

P X ≤ 4 = P X = 2 + P X = 3 + P ( X = 4 )

Opa, por que não tem P X = 1 ? Porque não tem como uma segunda falha acontecer na primeira tentativa! Aplicando a fórmula para cada uma dessas probabilidades (lembrando que r = 2 , pois é o número de falhas que queremos):

P X ≤ 4 = 2 - 1 2 - 1 0,2 2 1 - 0,2 2 - 2 + 3 - 1 2 - 1 0,2 2 1 - 0,2 3 - 2 + 4 - 1 2 - 1 0,2 2 1 - 0,2 4 - 2

P X ≤ 4 = 0,1808

Passo 3

Resposta

0,1808

Responde Aí

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Acesse com Facebook Acesse com Google

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas