Distribuição de Bernoulli e Binomial

Teoria Completa

Distribuição Bernoulli

Agora vamos começar a estudar alguns modelos de distribuição de probabilidades de v.a. discretas.

Primeiro o modelo de Bernoulli, é o mais basicão, mas você precisa entender bem a essência da parada.

Bom, vamo lá!

Geralmente, num experimento aleatório, a gente se interessa apenas por um resultado específico, que chamaremos de SUCESSO. Por exemplo:

  • Na hora de chutar a questão da prova, a gente só quer saber se vai acertar ou não
  • Na hora de tomar uma cerveja, a gente se preocupa se ela vai tá gelada ou não.
  • Na hora de escolher o professor da faculdade, a gente procura saber se ele é mamata ou não.

Sacou ? Sucesso seria claro, acertar o chute, cerveja gelada e professor mamata.

Nesses experimento então teremos 2 possíveis resultados:

  • SUCESSO ou S, representado por 1
  • FRACASSO ou F, representado por 0

Exemplo: Tendo uma questão objetiva de 5 opções, qual seria a probabilidade de eu acertar e a de eu errar a questão chutando?

Peguei leve ein! Haha

Nossa v.a. seria:

X :   acertar a questão

Tendo como sucesso acertar a questão, temos:

P sucesso = P X = 1 = 1 5

P fracasso = P X = 0 = 4 5

Sempre que a v.a. permitir apenas sucesso ou fracasso, seguirá o modelo de Bernoulli.

E diremos que:

P sucesso = p

P fracasso = 1 - p

Ou seja:

P X = 1 = p   e   P X = 0 = 1 - p

Podemos determinar também com isso a E X e Var ( X ) :

E X = 0 × 1 - p + 1 × p = p               → E X = p

V a r X = 0 2 × 1 - p + 1 2 × p - p 2 = p 1 - p                     → V a r X = p ( 1 - p )

Distribuição Binomial

Vamos supor agora que tu num estudou nada pra prova e vai chutar todas as 4 questões objetivas. E quer saber quantas vai acertar.

(Relaxa, agora você tem o RespondeAí, isso não vai acontecer! Hehe ...)

Concorda que se a gente pensa em cada questão separadamente, continuamos tendo em cada uma um experimento de Bernoulli ? Certo!

Só estamos repetindo esse experimento n vezes. No caso 4 vezes, as 4 questões. E a nossa v.a. trata do número de sucessos.

Assim, sempre que tivermos um experimento de Bernoulli sendo repetido n vezes, a v.a. do número de sucessos obedecerá o modelo Binomial.

A função de probabilidade da Binomial é:

P X = k = n k p k 1 - p n - k     ,           k = 0,1 , 2 , … , n

Onde:

k = número de sucessos que queremos

Esse termo de combinatória surge já que existem várias combinações possíveis para os sucessos, podemos:

acertas todas → S S S S

errar todas → F F F F

acertar   1 → S F F F , F S F F , F F S F , F F F S

.

.

etc .

Notação: Usamos,

X   ~   Bin ( n , p )

Para indicar que X segue o modelo Binomial com P sucesso = p e n repetições.

Exemplo: Qual seria a probabilidade de acertarmos pelo menos 3 questões na prova ?

Passo 1) Identificar a v.a. e seu modelo de distribuição.

X :   acertar a questão

São 4 questões, então:

n = 4

E:

P sucesso = p = 1 5 = 0,2

Com isso:

X   ~   Bin 4 , 1 5

Passo 2) Identificar o que queremos.

Pelo menos 3 acertos, ou seja, 3 ou 4 sucessos.

Queremos então:

P X ≥ 3 =   ?

Sabendo que:

P X ≥ 3 = P X = 3 + P ( X = 4 )

Passo 3) Usar a fórmula e correr pro abraço.

P X = 3 = 4 3 0,2 3 0,8 1 = 0,0256

P X = 4 = 4 4 0,2 4 0,8 0 = 0,0016

Logo:

P X ≥ 3 = 0,0256 + 0,0016 = 0,0272

Você deve está pensando: “Puts, e quando o n for tipo muito grande, a conta vai ficar bizarra! Imagina fazer essa conta chata pra uns 30 números.”

Eu digo: “Relaxa, pequeno gafanhoto! Isso não vai acontecer, teremos outras ferramentas até lá”.

Podemos provar também que:

E X = n p

E:

Var X = n p ( 1 - p )

Acho que não tem muito sentido ficar demonstrando algumas paradas, vai te deixar mais perdido, são confusas. Melhor se basear nas fórmulas mesmo e tals.

Conselho: o mais importante aqui é aprender a identificar quando usamos Binomial, por isso vou repetir. Usaremos Binomial sempre que a gente tiver um mesmo experimento sendo repetido n vezes, com:

  • Repetições independentes;
  • Apenas 2 possibilidades: sucesso ou fracasso;
  • Probabilidade p de sucesso constante.

E a nossa v.a. vai tratar sempre do número de sucessos obtidos.

Depois de identificar é usar fórmula, beleza? Bem mais tranquilo.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,151-21

Se X   ~   b ( n , p ) , sabendo-se que E x = 12   e σ 2 = 3 , determinar:

a) n

b) p

c) P X < 12

d) P ( X ≥ 14 )

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

g)   P ( Y ≥ 12 16 ) , onde Y = X / n

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Passo 1

a e b)

Temos uma distribuição binomial certo?

O enunciado nos diz que seus parâmetros são n e p onde n é a quantidade de vezes que estamos repetindo o experimento.

Como podemos encontrar os valores e n e p ?

Se você reparar, no enunciado nos dá a informação de que E x = 12   e σ 2 = 3 .

Mas o qual a relação dos parâmetros com esses termos?

Na binomial temos a seguinte equação:

E X = n p

V a r X = n p ( 1 - p )

Igualando então teremos:

E X = n p = 12

V a r X = n p 1 - p = 3  

Um sisteminha, certo? Vamos resolver pelo método da substituição:

V a r X = 12 . 1 - p = 3

1 - p = 3 12

1 - p = 1 4

Portanto,

p = 3 4

Assim,

n p = 12

n . 3 4 = 12

n = 16

Beleza?!

Passo 2

c) P ( X < 12 )

Queremos X < 12 ,     ou seja temos que fazer:

P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + … + P ( X = 11 )

Concorda?!

Temos que pela fórmula da binomial

P X = x = n x p x 1 - p n - x

Beleza?!

Se ficou confuso de onde veio isso, o sentido de cada termo dá uma olhadinha ali na teoria :D

Se ele quer a soma dessas probabilidades iremos fazer um somatório:

P X < 12 = P X = 1 + … + P X = 11

Então, vamos ter que calcular cada um dos termos do somatório utilizando a fórmula bonimial, sacou? E já encontramos os valores de n = 16 e de p = 3 4 = 0,75 , beleza?!

Assim,

P X = 1 = 16 1 0,75 1 1 - 0,75 16 - 1

E faremos essas mesmas continhas de k = 1 até k = 11 ! Ficaremos com:

P X < 12 = 16 1 0,75 1 1 - 0,75 16 - 1 + … + 16 11 0,75 11 0,25 5

Podemos reescrever da seguinte maneira para resumir esse trambolhão:

P ( X < 12 ) = ∑ k = 1 11 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k

Fazendo as continhas, temos

P X < 12 = 0,3698

Passo 3

d) P ( X ≥ 14 )

Bom, agora queremos x ≥ 14   ou seja

P X = 14 + P X = 15 + P ( X = 16 )

Como já vimos na letra c vamos usar a seguinte fórmula:

P X ≥ 14 = ∑ k = 14 16 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k = 0,1971

Passo 4

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

Sabemos que

E a X + b = a E X + b

Sendo

Z = X - 12 3 = 1 3 X - 12 3

Então podemos falar que:

a = 1 √ 3   e   b = 12 3

Assim teremos

E Z = 1 3 E X - 12 3

Como sabemos que E X = 12

E Z = 12 3 - 12 3 = 0

Agora vamos calcular Var(Z)

Sabemos também que

V a r a X + b = a 2 V a r ( X )

Portanto

V a r Z = 1 3 2 V a r X = 1 3 . 3 = 1

Passo 5

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

Sabemos pela letra a) que n = 16 portanto Y = X 16 . Assim o que queremos é:

P ( X 16 ≥ 14 16 )

Note que isso é a mesma coisa que

P ( X ≥ 14 )

Que é exatamente o que fizemos na alternativa d) e resulta em

P X ≥ 14 = 0,1971

Passo 6

g)   P ( Y ≥ 12 16 ) , onde Y = X / n

Novamente, como n = 16 → Y = X 16

Dessa forma queremos

P ( X 16 ≥ 12 16 )

Que é exatamente igual a

P ( X ≥ 12 )

Como já calculamos P X < 12 a esperteza aqui é lembrar daquela propriedade de complementar lembram? Podemos falar que:

P X ≥ 12 = 1 - P ( X < 12 )

P X ≥ 12 = 1 - 0,3698 = 0,6302

Resposta

a) 16

b) 3 4

c)   0,3698

d)   0,1971

e)   1

f)   0,6302

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2013.2-4

Em um histórico de provas P1 de PROBEST sabe-se que 5 %   dos alunos faltam no dia da prova. O professor decide fazer a prova em uma sala onde tem 57 lugares e a turma para fazer a prova é de 61 alunos.

Qual a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos?

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Passo 1

Acompanha comigo... a gente tem uma turma com 61 alunos e a gente sabe que a probabilidade de qualquer aluno faltar a prova é de 5 % .

Vamos analisar uma v.a. que represente o número de alunos que vão faltar a prova. Nesse caso, podemos dizer que:

X   ~   B i n o m i a l   61   ; 0,05

Concorda? Probabilidade p de sucesso igual a 5 % e n = 61   alunos.

Passo 2

A sala só tem 57   lugares e queremos calcular a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos fazerem a prova.

Pra que não haja lugar, concorda que temos que ter somente 3 ou menos alunos faltoso? Porque se tiver 4   alunos faltando, vamos ter 57 alunos e 57 lugares, então tem que ter menos faltosos, que aí vai ter mais aluno que lugar.

Então chegamos a um consenso de que temos que calcular...

P X ≤ 3 =   ?

Passo 3

A gente sabe que:

P X ≤ 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3

E pra cada caso é só substituir na função de distribuição da Binomial que é essa aqui;

P X = k = n k p k 1 - p n - k

Passo 4

Aplicando...

P X = 0 = 61 0 0,05 0 0,95 61 = 0,0438

P X = 1 = 61 1 0,05 1 . 0,95 60 = 0,1405

P X = 2 = 61 2 0,05 2 . 0,95 59 = 0,2219

P X = 3 = 61 3 0,05 3 . 0,95 58 = 0,2296

Passo 5

Com isso,

P X ≤ 3 = 0,0438 + 0,1405 + 0,2219 + 0,2296

= 0,6358

Resposta

63,58 %

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P1-2015.1-5F

Os quadros abaixo, correspondem aos resultados das alturas dos alunos medidas em metros, matriculados em uma das turmas na matéria PROBEST 2013-2:

Dados Pareto:

  1. Se a probabilidade de um aluno de probest faltar à aula é de 5% e supondo que os alunos faltem às aulas de maneira independente entre si e no tempo, qual a chance de, nessa turma, o professor não ter nenhum aluno presente em um determinado dia de aula?
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Passo 1

(a)

O total de alunos é de 55 e a probabilidade de algum faltar é de 5 % . Se X é a v.a. que representa o nº de alunos que faltam aula.

X   ~   B i n ( 55 ; 0,05 )

Pra gente calcular a probabilidade do professor não ter aluno nenhum pra dar aula, temos que calcular P ( X = 55 ) , probabilidade dos 55 alunos faltarem.

Só usar a função de probabilidade da Binomial.

P X = 55 = 55 55 . 0,05 55 . 1 - 0,05 0

= 0,05 55                            

P X = 55 = 2,77 × 10 - 72

Bem baixa essa probabilidade, alunos muito dedicados.

Resposta

2,77 × 10 - 72

Exercício Resolvido #4

UFRJ-P1-2015.1-2BC

Em um pequeno restaurante gourmet existem 4 mesas para os seus clientes. Com base no que se vem observando, a gerência sabe que, todos os dias, as 4 mesas serão reservadas e que a chance de comparecimento de alguém que tenha reservado uma mesa é sempre igual a uma mesma constante p . O comparecimento de qualquer cliente é independente do comparecimento dos demais. A distribuição acumulada de X , número de clientes com reserva que comparecem, é:

(b)

Qual é o valor de p ?

(c)

Qual a probabilidade de que, durante os 3 dias de um fim de semana de trabalho, em exatamente 2 desses dias todos os clientes que fizeram reservas compareçam?

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Passo 1

(b)

O enunciado diz que a probabilidade do cliente comparecer é sempre igual a uma mesma constante p e que o comparecimento de um cliente é independente do comparecimento dos demais. Hummm, esse texto aí te lembra de alguma distribuição? Binomial? Exato! E a gente precisava de uma distribuição né? Pra gente poder ter alguma fórmula pra achar esse maldito p aí.

A função de probabilidade da Binomial é:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

O que a gente precisa agora é aplicar essa fórmula aí pro que a gente já tem e descobrir o p .

Passo 2

Por exemplo, a gente sabe que P X = 0 = 0,0016 .

Substituindo:

P X = 0 = 4 0 . p 0 . 1 - p 4

1 - p 4 = 0,0016

1 - p = 0,0016 4

1 - p = 0,2

p = 0,8

Passo 3

Tá, 3 dias de um final de semana, queremos a probabilidade de em exatamente 2 desses dias os 4 clientes que reservarem as mesas realmente apareçam.

Vou nomear uma variável pro que a gente quer:

Y → n º   d e   d i a s ,   n o   f i n a l   d e   s e m a n a ,   e m   q u e   t o d o s   o s   c l i e n t e s   c o m p a r e c e m

A primeira coisa que a gente precisa é a probabilidade de todos os 4 clientes comparecerem, que seria o nosso “sucesso”. E essa probabilidade a gente tem né, que é P X = 4 = 0,4096 .

Então:

p = 0,4096

A gente tem também que o final de semana tem 3 dias:

n = 3

Como a probabilidade de sucesso em cada dia é a mesma e igual a p e também os dias são independentes um dos outros, a gente pode dizer que Y segue uma binomial.

Y   ~   B i n 3 ; 0,4096

Passo 4

A gente quer que em exatamente dois dias isso aconteça.

P Y = 2 =   ?

Só aplicar a fórmula da função de probabilidade da Binomial.

P Y = 2 = 3 2 . 0,4096 2 . 0,5904 1

= 3 × 2 2 × 0,4096 ² × 0,5904 ¹

≅ 0,2972

Resposta

a   E X = 3,2   ; V a r X = 0,64

b   p = 0,8

c ≅ 0,2972

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Estabeleça as condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial?

Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?

Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?

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Passo 1

Respondendo essa primeira pergunta aí!

Nós vimos que a distribuição binomial vai ser válida para toda vez que que existerem n tentativas de um evento que tem somente dois resultados possíveis, um de sucesso, e outro de fracasso. Não podemos esquecer que essas n tentativas devem ser independentes, que os eventos de sucesso e fracasso são mutuamente exclusivos e que a probabilidade p de sucesso deve ser constante.

Passo 2

Denonando cara como um sucesso, sabemos que a probabilidade de sucesso p é:

p = P K = 1 2 = 0,5

Se temos 5 lançamentos...

n = 5

Agora lembrando da fórmula da Binomial:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

Queremos descobrir a probabilidade de termos 3 caras, então:

P X = 3 = 5 3 0,5 3 1 - 0,5 5 - 3 = 5 ! 3 ! × 5 - 3 ! × 0,03125 = 0,3125

Passo 3

Agora nós queremos:

P ( X < 3 )

Mas isso aí nada mais é que:

P X < 3 = P X = 2 + P X = 1 + P ( X = 0 )

Aplicando a fórmula da binomial para cada uma dessas três probabilidades e somando:

P X < 3 = 5 2 0,5 2 1 - 0,5 5 - 2 + 5 1 0,5 1 1 - 0,5 5 - 1 + 5 0 0,5 0 1 - 0,5 5 - 0

P X < 3 =   0,3125 + +   0,15625 + 0,03125 = 0,5

Resposta

0,3125

0,5

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