Distribuição de Bernoulli e Binomial

Teoria Completa

Distribuição Bernoulli

Agora vamos começar a estudar alguns modelos de distribuição de probabilidades de v.a. discretas.

Primeiro o modelo de Bernoulli, é o mais basicão, mas você precisa entender bem a essência da parada.

Bom, vamo lá!

Geralmente, num experimento aleatório, a gente se interessa apenas por um resultado específico, que chamaremos de SUCESSO. Por exemplo:

  • Na hora de chutar a questão da prova, a gente só quer saber se vai acertar ou não
  • Na hora de tomar uma cerveja, a gente se preocupa se ela vai tá gelada ou não.
  • Na hora de escolher o professor da faculdade, a gente procura saber se ele é mamata ou não.

Sacou ? Sucesso seria claro, acertar o chute, cerveja gelada e professor mamata.

Nesses experimento então teremos 2 possíveis resultados:

  • SUCESSO ou S, representado por 1
  • FRACASSO ou F, representado por 0

Exemplo: Tendo uma questão objetiva de 5 opções, qual seria a probabilidade de eu acertar e a de eu errar a questão chutando?

Peguei leve ein! Haha

Nossa v.a. seria:

X :   acertar a questão

Tendo como sucesso acertar a questão, temos:

P sucesso = P X = 1 = 1 5

P fracasso = P X = 0 = 4 5

Sempre que a v.a. permitir apenas sucesso ou fracasso, seguirá o modelo de Bernoulli.

E diremos que:

P sucesso = p

P fracasso = 1 - p

Ou seja:

P X = 1 = p   e   P X = 0 = 1 - p

Podemos determinar também com isso a E X e Var ( X ) :

E X = 0 × 1 - p + 1 × p = p               → E X = p

V a r X = 0 2 × 1 - p + 1 2 × p - p 2 = p 1 - p                     → V a r X = p ( 1 - p )

Distribuição Binomial

Vamos supor agora que tu num estudou nada pra prova e vai chutar todas as 4 questões objetivas. E quer saber quantas vai acertar.

(Relaxa, agora você tem o RespondeAí, isso não vai acontecer! Hehe ...)

Concorda que se a gente pensa em cada questão separadamente, continuamos tendo em cada uma um experimento de Bernoulli ? Certo!

Só estamos repetindo esse experimento n vezes. No caso 4 vezes, as 4 questões. E a nossa v.a. trata do número de sucessos.

Assim, sempre que tivermos um experimento de Bernoulli sendo repetido n vezes, a v.a. do número de sucessos obedecerá o modelo Binomial.

A função de probabilidade da Binomial é:

P X = k = n k p k 1 - p n - k     ,           k = 0,1 , 2 , … , n

Onde:

k = número de sucessos que queremos

Esse termo de combinatória surge já que existem várias combinações possíveis para os sucessos, podemos:

acertas todas → S S S S

errar todas → F F F F

acertar   1 → S F F F , F S F F , F F S F , F F F S

.

.

etc .

Notação: Usamos,

X   ~   Bin ( n , p )

Para indicar que X segue o modelo Binomial com P sucesso = p e n repetições.

Exemplo: Qual seria a probabilidade de acertarmos pelo menos 3 questões na prova ?

Passo 1) Identificar a v.a. e seu modelo de distribuição.

X :   acertar a questão

São 4 questões, então:

n = 4

E:

P sucesso = p = 1 5 = 0,2

Com isso:

X   ~   Bin 4 , 1 5

Passo 2) Identificar o que queremos.

Pelo menos 3 acertos, ou seja, 3 ou 4 sucessos.

Queremos então:

P X ≥ 3 =   ?

Sabendo que:

P X ≥ 3 = P X = 3 + P ( X = 4 )

Passo 3) Usar a fórmula e correr pro abraço.

P X = 3 = 4 3 0,2 3 0,8 1 = 0,0256

P X = 4 = 4 4 0,2 4 0,8 0 = 0,0016

Logo:

P X ≥ 3 = 0,0256 + 0,0016 = 0,0272

Você deve está pensando: “Puts, e quando o n for tipo muito grande, a conta vai ficar bizarra! Imagina fazer essa conta chata pra uns 30 números.”

Eu digo: “Relaxa, pequeno gafanhoto! Isso não vai acontecer, teremos outras ferramentas até lá”.

Podemos provar também que:

E X = n p

E:

Var X = n p ( 1 - p )

Acho que não tem muito sentido ficar demonstrando algumas paradas, vai te deixar mais perdido, são confusas. Melhor se basear nas fórmulas mesmo e tals.

Conselho: o mais importante aqui é aprender a identificar quando usamos Binomial, por isso vou repetir. Usaremos Binomial sempre que a gente tiver um mesmo experimento sendo repetido n vezes, com:

  • Repetições independentes;
  • Apenas 2 possibilidades: sucesso ou fracasso;
  • Probabilidade p de sucesso constante.

E a nossa v.a. vai tratar sempre do número de sucessos obtidos.

Depois de identificar é usar fórmula, beleza? Bem mais tranquilo.

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Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,151-21

Se X   ~   b ( n , p ) , sabendo-se que E x = 12   e σ 2 = 3 , determinar:

a) n

b) p

c) P X < 12

d) P ( X ≥ 14 )

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

g)   P ( Y ≥ 12 16 ) , onde Y = X / n

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Passo 1

a e b)

Temos uma distribuição binomial certo?

O enunciado nos diz que seus parâmetros são n e p. Além disso diz que E x = 12   e σ 2 = 3 .

Mas o qual a relação dos parâmetros com esses termos?

Na binomial temos a seguinte equação:

E X = n p

V a r X = n p ( 1 - p )

Igualando então teremos:

E X = n p = 12

V a r X = n p 1 - p = 3  

Um sisteminha certo? Vamos resolver pelo método da substituição:

V a r X = 12 . 1 - p = 3 → 1 - p = 3 12 → 1 - p = 1 4

p = 3 4

n p = 12 → n . 3 4 = 12 → n = 16

Passo 2

c) P ( X < 12 )

Queremos X < 12   ou seja temos que fazer:

P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + … + P ( X = 11 )

Pela fórmula da binomial

P X = x = n x p x 1 - p n - x

Não é isso? Se ficou confuso de onde veio isso, o sentido de cada termo dá uma olhadinha ali na teoria :D

Se ele quer a soma dessas probabilidades iremos fazer um somatório:

P X < 12 = P X = 1 + … + P X = 11 =

P ( X < 12 ) = 16 1 0,75 1 1 - 0,75 16 - 1 + … + 16 11 0,75 11 0,25 5 =

P ( X < 12 ) = ∑ k = 1 11 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k = 0,3698

Passo 3

d) P ( X ≥ 14 )

Bom, agora queremos x ≥ 14   ou seja

P X = 14 + P X = 15 + P ( X = 16 )

Como já vimos na letra c vamos usar a seguinte fórmula:

P X ≥ 14 = ∑ k = 14 16 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k = 0,1971

Passo 4

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

Sabemos que

E a X + b = a E X + b

Sendo

Z = X - 12 3 = 1 3 X - 12 3

Então podemos falar que:

a = 1 √ 3   e   b = 12 3

Assim teremos

E Z = 1 3 E X - 12 3

Como sabemos que E X = 12

E Z = 12 3 - 12 3 = 0

Agora vamos calcular Var(Z)

Sabemos também que

V a r a X + b = a 2 V a r ( X )

Portanto

V a r Z = 1 3 2 V a r X = 1 3 . 3 = 1

Passo 5

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

Sabemos pela letra a) que n = 16 portanto Y = X 16