Teoria Completa
Distribuição Bernoulli
Agora vamos começar a estudar alguns modelos de distribuição de probabilidades de v.a. discretas.
Primeiro o modelo de Bernoulli, é o mais basicão, mas você precisa entender bem a essência da parada.
Bom, vamo lá!
Geralmente, num experimento aleatório, a gente se interessa apenas por um resultado específico, que chamaremos de SUCESSO. Por exemplo:
- Na hora de chutar a questão da prova, a gente só quer saber se vai acertar ou não
- Na hora de tomar uma cerveja, a gente se preocupa se ela vai tá gelada ou não.
- Na hora de escolher o professor da faculdade, a gente procura saber se ele é mamata ou não.
Sacou ? Sucesso seria claro, acertar o chute, cerveja gelada e professor mamata.
Nesses experimento então teremos 2 possíveis resultados:
- SUCESSO ou S, representado por 1
- FRACASSO ou F, representado por 0
Exemplo: Tendo uma questão objetiva de 5 opções, qual seria a probabilidade de eu acertar e a de eu errar a questão chutando?
Peguei leve ein! Haha
Nossa v.a. seria:
Tendo como sucesso acertar a questão, temos:
Sempre que a v.a. permitir apenas sucesso ou fracasso, seguirá o modelo de Bernoulli.
E diremos que:
Ou seja:
Podemos determinar também com isso a e :
Distribuição Binomial
Vamos supor agora que tu num estudou nada pra prova e vai chutar todas as 4 questões objetivas. E quer saber quantas vai acertar.
(Relaxa, agora você tem o RespondeAí, isso não vai acontecer! Hehe ...)
Concorda que se a gente pensa em cada questão separadamente, continuamos tendo em cada uma um experimento de Bernoulli ? Certo!
Só estamos repetindo esse experimento n vezes. No caso 4 vezes, as 4 questões. E a nossa v.a. trata do número de sucessos.
Assim, sempre que tivermos um experimento de Bernoulli sendo repetido n vezes, a v.a. do número de sucessos obedecerá o modelo Binomial.
A função de probabilidade da Binomial é:
Onde:
Esse termo de combinatória surge já que existem várias combinações possíveis para os sucessos, podemos:
Notação: Usamos,
Para indicar que segue o modelo Binomial com e repetições.
Exemplo: Qual seria a probabilidade de acertarmos pelo menos 3 questões na prova ?
Passo 1) Identificar a v.a. e seu modelo de distribuição.
São 4 questões, então:
E:
Com isso:
Passo 2) Identificar o que queremos.
Pelo menos 3 acertos, ou seja, 3 ou 4 sucessos.
Queremos então:
Sabendo que:
Passo 3) Usar a fórmula e correr pro abraço.
Logo:
Você deve está pensando: “Puts, e quando o for tipo muito grande, a conta vai ficar bizarra! Imagina fazer essa conta chata pra uns 30 números.”
Eu digo: “Relaxa, pequeno gafanhoto! Isso não vai acontecer, teremos outras ferramentas até lá”.
Podemos provar também que:
E:
Acho que não tem muito sentido ficar demonstrando algumas paradas, vai te deixar mais perdido, são confusas. Melhor se basear nas fórmulas mesmo e tals.
Conselho: o mais importante aqui é aprender a identificar quando usamos Binomial, por isso vou repetir. Usaremos Binomial sempre que a gente tiver um mesmo experimento sendo repetido vezes, com:
- Repetições independentes;
- Apenas 2 possibilidades: sucesso ou fracasso;
- Probabilidade de sucesso constante.
E a nossa v.a. vai tratar sempre do número de sucessos obtidos.
Depois de identificar é usar fórmula, beleza? Bem mais tranquilo.
Exercício Resolvido #1
Se , sabendo-se que e determinar:
a) n
b) p
c)
d)
e) E(Z) e Var(Z), onde
f) , onde
g), onde
Passo 1
a e b)
Temos uma distribuição binomial certo?
O enunciado nos diz que seus parâmetros são e onde é a quantidade de vezes que estamos repetindo o experimento.
Como podemos encontrar os valores e e
Se você reparar, no enunciado nos dá a informação de que e .
Mas o qual a relação dos parâmetros com esses termos?
Na binomial temos a seguinte equação:
Igualando então teremos:
Um sisteminha, certo? Vamos resolver pelo método da substituição:
Portanto,
Assim,
Beleza?!
Passo 2
c)
Queremos ou seja temos que fazer:
Concorda?!
Temos que pela fórmula da binomial
Beleza?!
Se ficou confuso de onde veio isso, o sentido de cada termo dá uma olhadinha ali na teoria :D
Se ele quer a soma dessas probabilidades iremos fazer um somatório:
Então, vamos ter que calcular cada um dos termos do somatório utilizando a fórmula bonimial, sacou? E já encontramos os valores de e de , beleza?!
Assim,
E faremos essas mesmas continhas de até ! Ficaremos com:
Podemos reescrever da seguinte maneira para resumir esse trambolhão:
Fazendo as continhas, temos
Passo 3
d)
Bom, agora queremos ou seja
Como já vimos na letra c vamos usar a seguinte fórmula:
Passo 4
e) E(Z) e Var(Z), onde
Sabemos que
Sendo
Então podemos falar que:
Assim teremos
Como sabemos que
Agora vamos calcular Var(Z)
Sabemos também que
Portanto
Passo 5
f) , onde
Sabemos pela letra a) que portanto . Assim o que queremos é:
Note que isso é a mesma coisa que
Que é exatamente o que fizemos na alternativa d) e resulta em
Passo 6
g), onde
Novamente, como
Dessa forma queremos
Que é exatamente igual a
Como já calculamos a esperteza aqui é lembrar daquela propriedade de complementar lembram? Podemos falar que:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercício Resolvido #2
Em um histórico de provas P1 de PROBEST sabe-se que dos alunos faltam no dia da prova. O professor decide fazer a prova em uma sala onde tem lugares e a turma para fazer a prova é de alunos.
Qual a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos?
Passo 1
Acompanha comigo... a gente tem uma turma com alunos e a gente sabe que a probabilidade de qualquer aluno faltar a prova é de .
Vamos analisar uma v.a. que represente o número de alunos que vão faltar a prova. Nesse caso, podemos dizer que:
Concorda? Probabilidade de sucesso igual a e alunos.
Passo 2
A sala só tem lugares e queremos calcular a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos fazerem a prova.
Pra que não haja lugar, concorda que temos que ter somente ou menos alunos faltoso? Porque se tiver alunos faltando, vamos ter alunos e lugares, então tem que ter menos faltosos, que aí vai ter mais aluno que lugar.
Então chegamos a um consenso de que temos que calcular...
Passo 3
A gente sabe que:
E pra cada caso é só substituir na função de distribuição da Binomial que é essa aqui;
Passo 4
Aplicando...
Passo 5
Com isso,
Resposta
Exercício Resolvido #3
Os quadros abaixo, correspondem aos resultados das alturas dos alunos medidas em metros, matriculados em uma das turmas na matéria PROBEST 2013-2:
Dados Pareto:
- Se a probabilidade de um aluno de probest faltar à aula é de 5% e supondo que os alunos faltem às aulas de maneira independente entre si e no tempo, qual a chance de, nessa turma, o professor não ter nenhum aluno presente em um determinado dia de aula?
Passo 1
(a)
O total de alunos é de e a probabilidade de algum faltar é de . Se é a v.a. que representa o nº de alunos que faltam aula.
Pra gente calcular a probabilidade do professor não ter aluno nenhum pra dar aula, temos que calcular , probabilidade dos alunos faltarem.
Só usar a função de probabilidade da Binomial.
Bem baixa essa probabilidade, alunos muito dedicados.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Em um pequeno restaurante gourmet existem mesas para os seus clientes. Com base no que se vem observando, a gerência sabe que, todos os dias, as mesas serão reservadas e que a chance de comparecimento de alguém que tenha reservado uma mesa é sempre igual a uma mesma constante O comparecimento de qualquer cliente é independente do comparecimento dos demais. A distribuição acumulada de , número de clientes com reserva que comparecem, é:
(b)
Qual é o valor de ?
(c)
Qual a probabilidade de que, durante os dias de um fim de semana de trabalho, em exatamente desses dias todos os clientes que fizeram reservas compareçam?
Passo 1
(b)
O enunciado diz que a probabilidade do cliente comparecer é sempre igual a uma mesma constante e que o comparecimento de um cliente é independente do comparecimento dos demais. Hummm, esse texto aí te lembra de alguma distribuição? Binomial? Exato! E a gente precisava de uma distribuição né? Pra gente poder ter alguma fórmula pra achar esse maldito aí.
A função de probabilidade da Binomial é:
O que a gente precisa agora é aplicar essa fórmula aí pro que a gente já tem e descobrir o .
Passo 2
Por exemplo, a gente sabe que .
Substituindo:
Passo 3
Tá, dias de um final de semana, queremos a probabilidade de em exatamente desses dias os clientes que reservarem as mesas realmente apareçam.
Vou nomear uma variável pro que a gente quer:
A primeira coisa que a gente precisa é a probabilidade de todos os clientes comparecerem, que seria o nosso “sucesso”. E essa probabilidade a gente tem né, que é .
Então:
A gente tem também que o final de semana tem dias:
Como a probabilidade de sucesso em cada dia é a mesma e igual a e também os dias são independentes um dos outros, a gente pode dizer que segue uma binomial.
Passo 4
A gente quer que em exatamente dois dias isso aconteça.
Só aplicar a fórmula da função de probabilidade da Binomial.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Estabeleça as condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial?
Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?
Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?
Passo 1
Respondendo essa primeira pergunta aí!
Nós vimos que a distribuição binomial vai ser válida para toda vez que que existerem tentativas de um evento que tem somente dois resultados possíveis, um de sucesso, e outro de fracasso. Não podemos esquecer que essas tentativas devem ser independentes, que os eventos de sucesso e fracasso são mutuamente exclusivos e que a probabilidade de sucesso deve ser constante.
Passo 2
Denonando cara como um sucesso, sabemos que a probabilidade de sucesso é:
Se temos 5 lançamentos...
Agora lembrando da fórmula da Binomial:
Queremos descobrir a probabilidade de termos 3 caras, então:
Passo 3
Agora nós queremos:
Mas isso aí nada mais é que:
Aplicando a fórmula da binomial para cada uma dessas três probabilidades e somando: