Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

Teoria Completa

E(X), VaR(X)

Tratando agora de v.a. contínuas, teremos outras maneiras de calcular a esperança e a variância de X .

  • E X → a esperança é calculada como:
  • E X = ∫ - ∞ + ∞ x . f x   d x

  • V a r X → a variância será:

V a r X = ∫ - ∞ + ∞ x 2 . f x   d x - E X 2

São basicamente fórmulas que você terá que gravar.

Para o caso do equipamento eletrônico... Calma aí, você lembra desse caso?

O tempo de vida útil de um equipamento eletrônico de determinado tipo pode ser expresso por uma v.a. contínua X , cuja função de densidade é:

f x = 1 2 . e - x 2       ,     p a r a   x ≥ 0 0                         ,                   p a r a   x < 0

Então faremos:

E X = ∫ - ∞ 0 x . 0   d x + ∫ 0 + ∞ x . 1 2 . e - x 2   d x

E X = 2   a n o s

Isso significa que o equipamento dura em média 2 anos.

E:

V a r X = ∫ - ∞ 0 x ² . 0   d x + ∫ 0 + ∞ x ² . 1 2 . e - x 2   d x - [ E X ] ²

V a r X = 8 - 2 ² = 4   a n o s ²

Calma, desculpa o momento bruxaria, é que a resolução teria integração por partes e você não precisa se preocupar com isso.

Ah! Cabe lembrar que D P ( X ) continua sendo V a r ( X ) , nada mudou.

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Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 171-08

A v.a. contínua x tem a f.d.p.

f x =   3 x 2 ,                   - 1 ≤ x ≤ 0 0 ,                   c a s o   c o n t r á r i o

a) Se b for um número que satisfaz - 1 < b < 0 , calcule P ( x > b | x < b 2 )

b) Calcule E ( x ) e V a r ( x )

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Passo 1

a) Olha aí! Já queremos calcular uma condicional :O

Mas você lembra como é uma condicional? Vamos relembrar juntos?

P A B = P A ∩ B P B

Nesse caso ele quer P ( x > b | x < b 2 ) . Vamos dar nome aos termos ok?

  • Evento A: x > b
  • Evento B: x < b 2
  • Evento A ∩ B : b < x < b 2

Assim

P A B =   P ( x > b | x < b 2 ) = P b < x < b 2 P x < b 2

Passo 2

Vamos calcular cada um separadamente e depois juntar:

i) P x < b 2

Note que se b   está no intervalo - 1 < b < 0 , então b 2 também está, portanto podemos fazer esta integral normalmente.

Continuando a conta...

P x < b 2 = ∫ - 1 b 2 3 x 2 d x = x 3 - 1 b 2 = b 3 8 + 1

ii) P b < x < b 2

Como x está novamente naquele intervalo faremos a integral normalmente. Só precisamos lembrar que como b é um número negativo, b 2 é MAIOR que b .

P b < x < b 2 = ∫ b b / 2 3 x 2 d x = x 3 b b 2 = b 3 8 - b 3  

Finalmente vamos unir (i) e (ii):

P x > b x < b 2 = P b < x < b 2 P x < b 2 = b 3 8 - b 3   b 3 8 + 1 = - 7 b 3 b 3 + 8

Passo 3

b) Calcule E ( x ) e V a r ( x )

Sabemos que

E X = ∫ x . f x   d x

Substituindo teremos:

E X = ∫ - 1 0 x . 3 x 2 d x = ∫ - 1 0 3 x 3 d x

E X = 3 × x 4 4 - 1 0 = - 3 4

Passo 4

Para Var(X) utilizaremos a seguinte equação:

V a r x = E X 2 - E X 2

Como já temos E ( X ) precisamos agora encontrar E ( X 2 ) :

E X 2 = ∫ x 2 . f x   d x

Substituindo

E X 2 = ∫ - 1 0 x 2 . 3 x 2 d x = ∫ - 1 0 3 x 4 d x

E X 2 = 3 × x 5 5 - 1 0 = 3 5

Assim teremos que:

V a r X = 3 5 - - 3 4 2 = 3 5 - 9 16 =

V a r X = 3 80

Resposta

a)

- 7 b 3 b 3 + 8  

b)

E X = - 3 4   e   V a r X = 3 80

Exercício Resolvido #2

UFF-1°VE-4

O tempo de reação (em segundos) a um determinado estímulo é uma variável aleatória contínua com fdp:

f x = 3 2 x 2     ,     s e   1 ≤ x ≤ 3

f x = 0   ,     c a s o   c o n t r á r i o

  1. Deduza F ( x ) e faça o gráfico.
  2. Qual é a probabilidade de o tempo de reação ser no máximo 2,5 segundos?
  3. Entre 1,5 e 2,5 segundos?
  4. Calcule o tempo de reação esperado.
  5. Calcule o desvio padrão do tempo de reação.
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Passo 1

(a)

Vamos usar:

F x = ∫ - ∞ x f t   d t

Para 1 ≤ x ≤ 3 :

F x = ∫ 1 x 3 2 t 2   d t

= ∫ 1 x 3 t - 2 2   d t

= - 3 2 . t - 1 1 x

= - 3 2 x + 3 2

Passo 2

(b)

P x ≤ 2,5 = ∫ 1 2,5 3 2 x 2   d x

= - 3 2 . t - 1 1 2,5

= - 3 2 × 2,5 + 3 2

= - 3 5 + 3 2

= - 6 + 15 10

= 9 10

Passo 3

(c)

P 1,5 ≤ x ≤ 2,5 = ∫ 1,5 2,5 3 2 x 2   d x

= - 3 2 . t - 1 1,5 2,5

= - 3 2 × 2,5 + 3 2 × 1,5

= - 3 5 + 1

= 2 5

Passo 4

(d)

O tempo de reação esperado nada mais é do que a esperança.

E X = ∫ - ∞ + ∞ x ⋅ f x   d x

= ∫ 1 3 x ⋅ 3 2 x 2   d x

= ∫ 1 3 3 2 x   d x

= 3 2 . ln ⁡ x 1 3

= 3 2 × ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1

E X = 1,65

Passo 5

(e)

Para o desvio padrão, primeiro calculamos a variância e depois tiramos a raiz quadrada.

V a r X = ∫ - ∞ + ∞ x 2 ⋅ f x   d x - [ E X ] ²

= ∫ 1 3 x 2 . 3 2 x 2   d x - 1,65 2

= ∫ 1 3 3 2   d x - 1,65 ²

= 3 2 3 - 1 - 1,65 2

= 3 - 1,65 2

V a r X = 0,28

O desvio padrão será então:

D P X = V a r X

≅ 0,53

Resposta

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2013.1-3

A distribuição da renda, expressa em salários mínimos (s.m.), dos membros de um sindicato é caracterizada pela função de densidade:

f x = 3 x - 4 ,                     s e   x ≥ 1 0 ,                                   s e   x < 1 .

  1. Calcule o desvio padrão (em s.m.) dessa variável;
  2. Determine o nível salarial (em s.m.) abaixo do qual estão os salários de 87,5% (ou seja, 7 8 ) desses profissionais.
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Passo 1

(a)

Vamos começar calculando E ( X ) .

E X = ∫ - ∞ + ∞ x . f x   d x

                    = ∫ 1 + ∞ x . 3 x - 4   d x

          = ∫ 1 + ∞ 3 x - 3   d x

      = 3 - x - 2 2 1 + ∞

= 3 2                                    

Passo 2

Calculamos também E ( X 2 ) .

E X ² = ∫ - ∞ + ∞ x ² . f x   d x

                    = ∫ 1 + ∞ x ² . 3 x - 4   d x

          = ∫ 1 + ∞ 3 x - 2   d x

      = 3 [ - x - 1 ] 1 + ∞    

= 3                                    

Passo 3

Agora já estamos aptos a calcular V a r X .

V a r X = E X 2 - [ E X ] ²

V a r X = 3 - 3 2 2

              = 3 - 9 4

= 3 4  

E então calcular o que o exercício pede, D P ( X ) .

D P X = V a r X

D P X ≈ 0,867   s . m .

Passo 4

(b)

A gente sabe que a FDA → F ( X ) dessa variável pode ser expressa assim:

F X = 0     ,       s e   x < 1

F X = ∫ 1 x f t   d t

                = ∫ 1 x 3 t - 4   d t

              = 3 . - s - 3 3 1 x

Corta o 3 ai na sua folha, hehe..

F ( X ) = 1 - 1 x 3         ,         s e   x > 1

Passo 5

O que o exercício quer é que a gente diga pra qual valor de x , F ( X ) vale 87,5%.

1 - 1 x 3 = 0,875

1 x 3 = 0,125

x 3 = 1 0,125

x 3 = 8

x = 2

Resposta

a   0,867

b   2

Exercício Resolvido #4

UFRJ-PF-2014.1-2

Sabemos que a esperança e a variância de uma v.a. podem ser encaradas, respectivamente, como a abscissa do centro de gravidade e o momento de inércia de uma distribuição de massa, e que isso vale tanto no caso discreto como no caso contínuo. Admita que a função de densidade da v.a. contínua X é dada por:

f x = 0                                       s e   x ≤ - 3 3 5 + x 5         s e   - 3 < x ≤ - 2 1 5                 s e   - 2 < x ≤ 2 3 5 - x 5                           s e   2 < x ≤ 3 0                                             s e   x > 3

  1. Determine E ( X ) e V a r ( X ) . Dica: Fazer um gráfico da função.
  2. Admita agora que Y é uma v.a. discreta que só pode assumir três valores: - 2 ,   0 e 2 . Obtenha a função de probabilidade da v.a. Y , sabendo que E X = E Y e V a r X = V a r Y . Isso significa que ambas as distribuições de massa têm o mesmo centro de gravidade e o mesmo momento de inércia, embora uma seja contínua e a outra seja discreta.
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Passo 1

(a)

Vamos só aplicar fórmulas de variáveis aleatórias contínuas...

Para a esperança:

E X = ∫ x . f x   d x

Em todo o domínio da nossa função... isso nos dá:

E X = ∫ - 3 - 2 x . 3 5 + x 5 + ∫ - 2 2 x . 1 5   d x + ∫ 2 3 x . 3 5 - x 5   d x

= ∫ - 3 - 2 3 x 5 + x 2 5   d x + ∫ - 2 2 x 5   d x + ∫ 2 3 3 x 5 - x 2 5   d x

= 3 x 2 10 + x 3 15 - 3 - 2 + x 2 10 - 2 2 + 3 x 2 10 - x 3 15 2 3

= 12 10 - 8 15 - 27 10 + 27 15 + 4 10 - 4 10 + 27 10 - 27 15 - 12 10 + 8 15

Procura os semelhantes aí e vai cortando... viu o que sobra? Nada kkk

E X = 0

O exercício diz pra você desenhar a função por isso, desenhando você veria que ela é simétrica e daí poderia concluir que a esperança seria zero.

Passo 2

Para variância a gente usa a relação:

V a r X = E X 2 - E X 2

Sendo que a gente já sabe que E X = 0 , falta só calcular E X 2 , que é:

E X 2 = ∫ x ² . f x   d x

Em todo o domínio da nossa função... isso nos dá:

E X = ∫ - 3 - 2 x ² . 3 5 + x 5 + ∫ - 2 2 x ² . 1 5   d x + ∫ 2 3 x ² . 3 5 - x 5   d x

= ∫ - 3 - 2 3 x ² 5 + x 3 5   d x + ∫ - 2 2 x ² 5   d x + ∫ 2 3 3 x ² 5 - x 3 5   d x

= 3 x 3 15 + x 4 20 - 3 - 2 + x 3 15 - 2 2 + 3 x 3 15 - x 4 20 2 3

= - 24 15 + 16 20 + 81 15 - 81 20 + 8 15 + 8 15 + 81 15 - 81 20 - 24 15 + 16 20

= 130 15 - 130 20

= 13 6

E daí:

V a r X = 13 6

Passo 3

(b)

A gente conhece os três possíveis valores de Y , que são: - 2,0 , 2 .

Pra fazer a função de distribuição da variável Y falta só a gente determinar com que probabilidade cada um desses valores acontece, ou seja, a gente tem que determinar:

P Y = - 2   ,   P Y = 0   ,   P Y = 2

Show?

E a gente sabe o valor da esperança e da variância, que são iguais ao que a gente calculou em (a) pra X .

E Y = 0     e   V a r Y = 13 6

Passo 4

A esperança de uma variável discreta, como que a gente faz? Lembra? A gente multiplica os possíveis valores da variável pelas suas probabilidades... então:

- 2 × P Y = - 2 + 0 × P Y = 0 + 2 × P Y = 2 = 0

Daí:

- 2 . P Y = - 2 + 2 . P Y = 2 = 0

P Y = - 2 = P Y = 2

Ok!

Passo 5

Vamos usar o dado da variância agora...

V a r Y = ∑ i = 1 n y i 2 . p y i - E Y 2

Como E Y = 0 ...

V a r Y = ∑ i = 1 n y i 2 . p y i

E isso é:

- 2 2 . P Y = - 2 + 0 2 . P Y = 0 + 2 2 . P Y = 2 = 13 6

4 . P Y = - 2 + 4 . P Y = 2 = 13 6

P Y = - 2 + P Y = 2 = 13 24

Só que a gente sabe que P Y = 2 = P Y = - 2 ... daí:

2 . P Y = 2 = 13 24

P Y = 2 = P Y = - 2 = 13 48

Passo 6

Daí você se pergunta como que a gente faz pra descobrir P Y = 0 se ele sempre tá zerando...

Lembra que o somatório de todas essas probabilidades de uma variável tem que dar 1 ?

Então:

P Y = 0 + P Y = - 2 + P Y = 2 = 1

P Y = 0 + 2 × 13 48 = 1

P Y = 0 = 1 - 13 24

P Y = 0 = 11 24

Show? Já temos a função de probabilidade de Y .

Resposta

a   E X = 0     e     V a r X = 13 6

Exercício Resolvido #5

UFRJ-PF-2014.2-1

A proporção de álcool em certo produto pode ser considerada uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade:

f x = 20 x 3 1 - x     ,       s e   0 < x < 1 0       ,                                       c a s o   c o n t r á r i o