Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

Teoria Completa

E(X), VaR(X)

Tratando agora de v.a. contínuas, teremos outras maneiras de calcular a esperança e a variância de X .

  • E X → a esperança é calculada como:
  • E X = ∫ - ∞ + ∞ x . f x   d x

  • V a r X → a variância será:

V a r X = ∫ - ∞ + ∞ x 2 . f x   d x - E X 2

São basicamente fórmulas que você terá que gravar.

Para o caso do equipamento eletrônico... Calma aí, você lembra desse caso?

O tempo de vida útil de um equipamento eletrônico de determinado tipo pode ser expresso por uma v.a. contínua X , cuja função de densidade é:

f ( x ) 1 2 . e - x 2       ,     p a r a   x ≥ 0 0                         ,                   p a r a   x < 0

Então faremos:

E X = ∫ - ∞ 0 x . 0   d x + ∫ 0 + ∞ x . 1 2 . e - x 2   d x

E X = 2   a n o s

Isso significa que o equipamento dura em média 2 anos.

E:

V a r X = ∫ - ∞ 0 x ² . 0   d x + ∫ 0 + ∞ x ² . 1 2 . e - x 2   d x - [ E X ] ²

V a r X = 8 - 2 ² = 4   a n o s ²

Calma, desculpa o momento bruxaria, é que a resolução teria integração por partes e você não precisa se preocupar com isso.

Ah! Cabe lembrar que D P ( X ) continua sendo V a r ( X ) , nada mudou.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 171-08

A v.a. contínua x tem a f.d.p.

f x =   3 x 2 ,                   - 1 ≤ x ≤ 0 0 ,                   c a s o   c o n t r á r i o

a) Se b for um número que satisfaz - 1 < b < 0 , calcule P ( x > b | x < b 2 )

b) Calcule E ( x ) e V a r ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Olha aí! Já queremos calcular uma condicional :O

Mas você lembra como é uma condicional? Vamos relembrar juntos?

P A B = P A ∩ B P B

Nesse caso ele quer P ( x > b | x < b 2 ) . Vamos dar nome aos termos ok?

  • Evento A: x > b
  • Evento B: x < b 2
  • Evento A ∩ B : b < x < b 2

Assim

P A B =   P ( x > b | x < b 2 ) = P b < x < b 2 P x < b 2

Passo 2

Vamos calcular cada um separadamente e depois juntar:

i) P x < b 2

Note que se b   está no intervalo - 1 < b < 0 , então b 2 também está, portanto podemos fazer esta integral normalmente.

Continuando a conta...

P x < b 2 = ∫ - 1 b 2 3 x 2 d x = x 3 - 1 b 2 = b 3 8 + 1

ii) P b < x < b 2

Como x está novamente naquele intervalo faremos a integral normalmente. Só precisamos lembrar que como b é um número negativo, b 2 é MAIOR que b .

P b < x < b 2 = ∫ b b / 2 3 x 2 d x = x 3 b b 2 = b 3 8 - b 3  

Finalmente vamos unir (i) e (ii):

P x > b x < b 2 = P b < x < b 2 P x < b 2 = b 3 8 - b 3   b 3 8 + 1 = - 7 b 3 b 3 + 8

Passo 3

b) Calcule E ( x ) e V a r ( x )

Sabemos que

E X = ∫ x . f x   d x

Substituindo teremos:

E X = ∫ - 1 0 x . 3 x 2 d x = ∫ - 1 0 3 x 3 d x

E X = 3 × x 4 4 - 1 0 = - 3 4

Passo 4

Para Var(X) utilizaremos a seguinte equação:

V a r x = E X 2 - E X 2

Como já temos E ( X ) precisamos agora encontrar E ( X 2 ) :

E X 2 = ∫ x 2 . f x   d x

Substituindo

E X 2 = ∫ - 1 0 x 2 . 3 x 2 d x = ∫ - 1 0 3 x 4 d x

E X 2 = 3 × x 5 5 - 1 0 = 3 5

Assim teremos que:

V a r X = 3 5 - - 3 4 2 = 3 5 - 9 16 =

V a r X = 3 80

Resposta

a)

- 7 b 3 b 3 + 8  

b)

E X = - 3 4   e   V a r X = 3 80

Exercício Resolvido #2

UFF-1°VE-4

O tempo de reação (em segundos) a um determinado estímulo é uma variável aleatória contínua com fdp:

f x = 3 2 x 2     ,     s e   1 ≤ x ≤ 3

f x = 0   ,     c a s o   c o n t r á r i o

  1. Deduza F ( x ) e faça o gráfico.
  2. Qual é a probabilidade de o tempo de reação ser no máximo 2,5 segundos?
  3. Entre 1,5 e 2,5 segundos?
  4. Calcule o tempo de reação esperado.
  5. Calcule o desvio padrão do tempo de reação.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Vamos usar:

F x = ∫ - ∞ x f t   d t

Para 1 ≤ x ≤ 3 :

F x = ∫ 1 x 3 2 t 2   d t

= ∫ 1 x 3 t - 2 2   d t

= - 3 2 . t - 1 1 x

= - 3 2 x + 3 2

Passo 2

(b)

P x ≤ 2,5 = ∫ 1 2,5 3 2 x 2   d x

= - 3 2 . t - 1 1 2,5

= - 3 2 × 2,5 + 3 2

= - 3 5 + 3 2

= - 6 + 15 10

= 9 10

Passo 3

(c)

P 1,5 ≤ x ≤ 2,5 = ∫ 1,5 2,5 3 2 x 2   d x

= - 3 2 . t - 1 1,5 2,5

= - 3 2 × 2,5 + 3 2 × 1,5

= - 3 5 + 1

= 2 5

Passo 4

(d)

O tempo de reação esperado nada mais é do que a esperança.

E X = ∫ - ∞ + ∞ x ⋅ f x   d x

= ∫ 1 3 x ⋅ 3 2 x 2   d x

= ∫ 1 3 3 2 x   d x

= 3 2 . ln ⁡ x 1 3