Transformação de V.A. Contínuas

Teoria Completa

Transformação de Variável Aleatória Contínua

Fala Aí!! Digamos que a gente tenha o seguinte cenário:

  • Temos uma v.a. X com f x (função densidade) conhecida e X   é uma v.a. contínua;
  • Queremos calcular a função densidade de outra v.a. Y , sendo que:

Y = h ( X )

Onde h ( X ) é uma função conhecida.

Como podemos atacar um problema como esse?

Resumindo o nosso problema: partir de uma f ( x ) e sabendo a relação entre X e Y , vamos mostrar aqui métodos para calcular a f ( y ) . Beleza?!

São exatamente nessas situações que vamos ter que usar a transformação de V.A. Contínuas!

Vamos ter dois métodos diferentes de resolver:

  • Método da função de distribuição;
  • Método do Jacobiano.

Vou pegar um mesmo exemplo e resolver ele nos dois métodos pra gente ver a diferença, ok?

Vamos lá, digamos que eu tenho uma v.a. X com a seguinte função de densidade:

X = 5 - 12,5 . x ,                               s e   0 ≤ x ≤ 0,4 0 ,                                                           c a s o   c o n t r á r i o

E a gente quer calcular para:

Y = 1000 . X

Método da função de distribuição:

A gente segue o passo a passo:

  • Calculamos a FDA de   Y ;
  • Derivamos a FDA para encontrarmos a função de densidade.

Se chamarmos de G ( y ) a FDA de Y , vamos ter:

G y = P Y ≤ y

Que é a idéia da função acumulada....

G y = P h X ≤ y

Mas nós sabemos que h X = 1000 . X , certo? Então substitui esse cara aí dentro:

G y = P h X ≤ y

G y = P 1000 . X ≤ y

Isolando o X :

G y = P X ≤ 0,001 . y

E lembra que para calcular uma FDA a gente sempre integra a função de densidade? Como isso aí em cima é uma FDA (sinal de , então temos uma probabilidade acumulada até certo ponto!), podemos dizer isso aqui:

G y = ∫ - ∞ 0,001 . y f x   d x

Indo até 0,001 y porque esse é o ponto máximo que nossa FDA está englobando, ela é sempre menor ou igual a 0001 y , lembra?

Agora fazemos para cada caso.

Lembrando que X está definido para valores em [ 0 ; 0,4 ] .

Como Y = 1000 . X , então Y vai estar definido no intervalo [ 0 ; 400 ] .

Para y < 0 :

G y = ∫ - ∞ 0,001 . y 0   d x = 0

Para 0 ≤ y ≤ 400 :

G y = ∫ - ∞ 0 0   d x + ∫ 0 0,001 . y 5 - 12,5 . x     d x

Integrando isso aí temos:

G y = 400 y - 0,5 y 2 80000

Para y > 400 :

G y = 400 y - 0,5 y 2 80000 | y = 400 + ∫ 0,4 0,001 . x 0   d x

G y = 1

Então nossa FDA será:

G y = 0 ,                                                                   s e   y ≤ 0 400 y - 0,5 y 2 80000 ,                                           s e   0 ≤ y ≤ 400 1 ,                                                                               s e   y ≥ 400

Pra finalizar, derivamos:

Para y ≤ 0 e y ≥ 0 as derivadas dão zero, e então o valor da função de densidade será g y = 0 .

Para 0 ≤ y ≤ 400 :

g y = d G y d y = 400 - y 80000

Desse jeito, temos:

g y = 400 - y 80000   ,     s e   0 < y ≤ 400 0   ,                                             c a s o   c o n t r á r i o

Beleza?!

Método do Jacobiano

Às vezes é muito difícil inverter a função, isolar x , e derivar. No método do Jacobiano resolve esse problema. De acordo com o método, a função de densidade de Y será:

g y = f x . d x d y

Aplicando isso pro nosso mesmo exemplo:

Primeiro podemos calcular a derivada d x d y , sabemos que:

Y = 1000 . X       →       x = 0,001 . y

derivando temos:

d 0,001 . y d y = 0,001

Analisando nossa f x temos:

f x = f 0,001 y = 5 - 12,5 . 0,001 y = 5 - 0,0125 y

Vamos calcular g y , seguindo o método do Jacobiano:

g y = f x . d x d y

g y = 5 - 0,0125 y × 0,001

g y = 5 - 0,0125 y 1000

Dividindo todo mundo por 0,0125 a gente encontra o mesmo resultado que pelo outro método.

g y = 400 - y 80000   ,     s e   0 < y ≤ 400 0   ,                                             c a s o   c o n t r á r i o

Mais tranquilo, né?

Mas no final das contas é quase a mesma coisa.

Vantagens e Desvantagens: O método da função de distribuição é mais geral, serve pra qualquer tipo de transformação. Porém, às vezes é meio difícil escrever a função de distribuição de Y e derivar, então temos o método do Jacobiano. Maaas... como nem tudo é perfeito, o método do jacobiano só pode ser aplicado a funções ( Y = h X ) injetoras.

Pra finalizar, vou falar rapidinho de uma transformação importante:

Y = X 2

Vamos fazer pelo primeiro método:

G y = P Y ≤ y = P X 2 ≤ y

= P - y ≤ X ≤ y

= F y - F - y

Agora a gente deriva:

g y = d G y d y

= y - 1 2 2 . f y - - y - 1 2 2 . f - y

Viu? Derivada da F ( x ) é a f ( x ) , só não pode esquecer de derivar o que tá dentro também, a raiz.

= 1 2 y . f y + 1 2 y . f - y

g y = 1 2 y . f y + f - y

Não precisa decorar isso não, mas é bom já ter visto e entender. Nos exercícios a gente trabalha um exemplo disso... Beleza?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2012.2-1d)

d) Na transformação de v.a. contínuas, existem dois métodos. Quais são eles? Quando usar um e o outro?

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Passo 1

Vamos lá! Primeiro, quais são os métodos?

Temos 2, método do jacobiano e método da função de distribuição...

Agora.. quando que usamos cada um? Aí ferrou né? Haha..

Como a gente viu, o método da função de distribuição é o mais geral, porque a gente pode usar pra qualquer tipo de função, injetoras ou não injetoras.

Aí você se pergunta se já que ele serve pra todas, porque que foram inventar outro né? Acho justo, também me pergunto isso às vezes.

Mas lembra, no método da função de distribuição a gente tem que mexer no x e y da função, isolando eles. E isso nem sempre é algo simples de fazer, lembra disso?

Aí temos o método do jacobiano..

Só que o método do jacobiano só pode ser usado para funções injetoras.

Resposta

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2012.1-1D

Seja " X " uma v.a. contínua com E X = 7 e D P X = 4 , onde D P X é o desvio padrão de X . Se Y = 3 X - 2 , quem é E Y e D P Y .

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Passo 1

Nessa questão a gente só precisa usar aquelas propriedades que a gente viu da esperança e da variância.

A gente tem que:

E X = 7

D P X = 4

E que:

Y = 3 X - 2

Passo 2

Primeiro vamos calcular E Y .

E Y = E 3 X - 2

= 3 . E X - 2

= 3 × 7 - 2

E Y = 19

Passo 3

A mesma coisa pro desvio padrão:

D P a X + b = a . D P ( X )

D P Y = D P 3 X - 2

= 3 . D P X

= 3 × 4

D P Y = 12

Resposta

E X = 19   e   D P X = 12

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P1-2014.1-3

Seja “ X ” uma variável contínua, onde:

f x = - k x 3 + 2 x       ,     o n d e   0 ≤ x ≤ 2

  1. O valor de “ k ” para que a função da variável “ X ” seja uma densidade – “ f ( x ) ”.
  2. A função de distribuição da variável “ X ” – “ F ( X ) ”.
  3. Média da variável “ X ” – “ E X ” .
  4. Variância da variável “ X ” – “ V a r ( X ) ”.
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Passo 1

(a)

Aqui, nada surreal, pra uma função ser de densidade a integral dela no intervalo que derem tem que dar 1. Vamos conferir isso então:

∫ - ∞ ∞ f x = ∫ 0 2 - k . x 3 2 + 2 . x   d x

= ∫ 0 2 - k . x 3 2   d x + ∫ 0 2 2 . x   d x

= - 2 k 5 . x 5 2 0 2 + 2 2 . x 2 0 2

= - 2 k 5 . 2 5 2 + 2 2

= - 2 k 5 . 32 + 4

Isso tem que ser igual a 1.

- 2 k 5 . 32 + 4 = 1

- 2 k 5 . 32 = - 3

k = 15 2 32

k ≅ 1,33

Com isso:

f x = - 1,33 x 3 + 2 x

Passo 2

(b)

Temos que calcular a função acumulada. Pra isso a gente tem que integrar f ( x ) de - ∞ até + ∞ .

Como o x só está definido entre 0 e 2. A integral ∫ - ∞ o f ( x ) será 0.

Vamos integrar de 0 até x .

∫ 0 x f x   d x = ∫ 0 x - 1,33 . x 3 2 + 2 . x   d x

= - 2.1,33 5 . x 5 2 0 x + 2 2 . x 2 0 x

= - 0,532 . x 5 2 + x 2

sabendo disso, nossa FDA fica:

F X = 0   ,     s e   x < 0 - 0,532 . x 5 2 + x 2   ,     s e   0 ≤ x ≤ 2                                         1   ,     s e   x > 2

Passo 3

(c)

A média, ou esperança é calculada pela integral:

E X = ∫ - ∞ + ∞ x . f x   d x = ∫ 0 2 x . ( - 1,33 . x 3 2 + 2 . x )   d x

= ∫ 0 2 - 1,33 . x 5 2 + 2 . x 2   d x

= - 2.1,33 7 . x 7 2 0 2 + 2 3 . x 3 0 2

= - 0,38 . 2 7 2 + 2 3 . 2 3

= - 0,38 . 128 + 16 3

E X ≅ 1,03

Passo 4

(d)

Calcular a variância, tá acabando, desconcentra não!

V a r X = E X 2 - E X 2

Sendo que:

E X 2 = ∫ 0 2 x ² . ( - 1,33 . x 3 2 + 2 . x )   d x

= ∫ 0 2 - 1,33 . x 7 2 + 2 . x 3   d x

= - 2.1,33 9 . x 9 2 0 2 + 2 4 . x 4 0 2

= - 0,296 × 2 9 2 + 0,5 × 2 4

= - 0,296 × 512 + 16 2

E X 2 ≅ 1,30

Com isso:

V a r X ≅ 1,30 - 1,03 2 ≅ 0,24

Resposta

a   k ≅ 1,33

b   F X = 0   ,     s e   x < 0 - 0,532 . x 5 2 + x 2   ,     s e   0 ≤ x ≤ 2                                         1   ,     s e   x > 2

c   E X ≅ 1,03

d   V a r X ≅ 0,24

Exercício Resolvido #4

PUCRIO-P2-2011.2-3

Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro.

A distancia (em k m ) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com densidade:

f x = x - 50 2500   ,     s e   50 ≤ x ≤ 100 150 - x 2500   ,     s e   100 ≤ x ≤ 150

Existem duas opções de diárias de aluguel:

  1. Opção 1 : R $   70 + R $   0,35 por k m rodado;
  2. Opção 2 : R $   90   se rodar até 120   k m e R $   130 se rodar mais de 120   k m num dia.

Ache os valores das opções 1 e 2 e diga qual das opções é mais vantajosa, em termos de apresentar o menor custo esperado de aluguel?

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Passo 1

Vamos fazer opção por opção... primeiro a opção 1 .

Qual seria a fórmula pro custo dela?

C 1 = 70 + 0,35 . X

Onde x é o número de k m rodados.

Passo 2

A gente quer calcular o valor esperado para o custo que nada mais é que E C 1 .

E C 1 = 70 + 0,35 . X

Aplicando a propriedade da esperança...

E C 1 = 70 + 0,35 . E X

Então precisamos calcular primeiro o valor esperado de k m rodados, E X .

Passo 3

A gente tem a função densidade da distância, pra calcular a esperança é só usar a fórmula:

E X = ∫ x . f x   d x

Nesse caso:

E X = ∫ 50 100 x . x - 50 2500   d x + ∫ 100 150 x . 150 - x 2500   d x

= 1 2500 ∫ 50 100 x ² - 50 x d x + 1 2500 ∫ 100 150 150 x - x 2   d x  

Passo 4

Agora é resolver integral...

= 1 2500 . x 3 3 - 50 x 2 2 50 100 + 1 2500 . 150 x 2 2 - x 3 3 100 150

= 1 2500 100 3 3 - 25 . 100 2 - 50 3 3 - 25 . 50 2 + 1 2500 75 . 150 2 - 150 3 3 - 75 . 100 2 - 100 3 3

= 100

Passo 5

Sabendo que E X = 100 ...

E C 1 = 70 + 0,35 × 100

= 105

Esse é o custo esperado para a opção 1 .

Passo 6

Agora para a opção 2 vamos pensar um pouco diferente... pois não temos uma função que caracterize essa opção. O que a gente tem é que essa opção tem duas possibilidades, ou custa 90 ou 130 , dependendo da distância rodada...

Podemos dizer então que a variável C 2 que representa esse custo da segunda opção é uma v.a. discreta que pode assumir dois valores: 90 ou 130 .

Pra gente calcular a esperança dessa variável então nós temos que multiplicar os seus valores possíveis pela probabilidade da variável assumir cada um desses valores, entende o que eu digo? Na conta vai ficar mais claro.

Passo 7

Bom, vamos começar calculando a probabilidade do custo ser de 100 reais, pra isso basta calcular a probabilidade da pessoa rodar no máximo até 120 k m .

P X ≤ 120 =   ?

Tendo a função de densidade, é só ir integrar...

P X ≤ 120 = ∫ 0 120 f x   d x

Que nesse caso fica assim...

= ∫ 50 100 x - 50 2500   d x + ∫ 100 120 150 - x 2500   d x

Passo 8

Só conta..

= 1 2500 . x 2 2 - 50 x 50 100 + 1 2500 . 150 x - x 2 2 100 120

= 1 2500 . 100 2 2 - 50 × 100 - 50 2 2 - 50 × 50 + 1 2500 150 × 120 - 120 2 2 - 150 × 100 - 100 2 2

= 1 2500 . 1250 + 1 2500 . 10800 - 10000

= 0,82

P X ≤ 120 = 0,82

Passo 9

Agora a probabilidade do custo ser de 130 , vamos calcular a probabilidade da distância ser maior que 120 k m .

Bom, não precisamos fazer aquela conta toda de novo. Concorda que a chance da pessoa percorrer mais que 120 k m é igual a 1 menos a chance dela percorrer menos?

P X > 120 = 1 - P X ≤ 120

P X > 120 = 1 - 0,82

= 0,18