Transformação de V.A. Contínuas

Teoria Completa

Transformação de Variável Aleatória Contínua

Vamos supor que temos duas v.a.s, X e Y . E também que nós conhecemos tudo sobre X , e não conhecemos a função de densidade f ( y ) de Y . A única coisa que sabemos sobre ela, é que essa v.a. Y é uma função de X , tipo assim:

Y = 1000 . X

Pra um caso geral, podemos escrever assim:

Y = h ( X )

Agora imagina que a gente tenha que descobrir a função de densidade f ( y ) . E agora, José?

São exatamente nessas situações que vamos ter que usar a transformação de V.A. Contínuas!

A gente vai ter dois métodos diferentes de resolver:

  • Método da função de distribuição;
  • Método do Jacobiano.

Vou pegar um mesmo exemplo e resolver ele nos dois métodos pra gente ver a diferença, ok?

Vamos lá, digamos que eu tenho uma v.a. X com a seguinte função de densidade:

X = 5 - 12,5 . x ,                               s e   0 ≤ x ≤ 0,4 0 ,                                                           c a s o   c o n t r á r i o

E a gente quer calcular pra:

Y = 1000 . X

Método da função de distribuição:

A gente segue o passo a passo:

  • Calculamos a FDA de   Y ;
  • Derivamos a FDA pra encontrarmos a função de densidade.

Se chamarmos de G ( y ) a FDA de Y , vamos ter:

G y = P Y ≤ y

Que é a idéia da função acumulada....

G y = P h X ≤ y

Mas nós sabemos que h X = 1000 . X , certo? Então substitui esse cara aí dentro:

                                = P 1000 . X ≤ y

Isolando o X :

                          = P X ≤ 0,001 . y

E lembra que para calcular uma FDA a gente sempre integra a função de densidade? Como isso aí em cima é uma FDA (sinal de , então temos uma probabilidade acumulada até certo ponto!), podemos dizer isso aqui:

G y = ∫ - ∞ 0,001 . y f x   d x

Indo até 0,001 y por que esse é o ponto máximo que nossa FDA está englobando, ela é sempre menor ou igual a 0001 y , lembra?

Agora fazemos pra cada caso.

Lembrando que X está definido pra valores em [ 0 ; 0,4 ] .

Como Y = 1000 . X , então Y vai estar definido no intervalo [ 0,400 ] .

Para y < 0 :

G y = ∫ - ∞ 0,001 . y 0   d x = 0

Para 0 ≤ y ≤ 400 :

G y = ∫ - ∞ 0 0   d x + ∫ 0 0,001 . y 5 - 12,5 . x     d x

Integrando isso aí:

G y = 400 y - 0,5 y 2 80000

Para y > 400 :

G y = 400 y - 0,5 y 2 80000 y = 400 + ∫ 0,4 0,001 . x 0   d x

G y = 1

Então nossa FDA será:

G y = 0 ,                                                                   s e   y ≤ 0 400 y - 0,5 y 2 80000 ,                                           s e   0 ≤ y ≤ 400 1 ,                                                                               s e   y ≥ 400

Pra finalizar, derivamos:

Para y ≤ 0 e y ≥ 0 as derivadas dão zero, e então o valor da função de densidade será g y = 0 .

Para 0 ≤ y ≤ 400 :

g y = d G y d y = 400 - y 80000

Desse jeito, temos:

g y = 400 - y 80000   ,     s e   0 < y ≤ 400 0   ,                                             c a s o   c o n t r á r i o

Método do Jacobiano:

Às vezes é muito difícil inverter a função, isolar x , e derivar. No método do Jacobiano resolve esse problema. De acordo com o método, a função de densidade de Y será:

g y = f x . d x d y

Aplicando isso pro nosso mesmo exemplo:

A gente sabe que:

Y = 1000 . X → x = 0,001 . y

Podemos calcular a derivada:

d 0,001 . y d y = 0,001

E:

f x = f 0,001 y = 5 - 12,5 . 0,001 y = 5 - 0,0125 y

Ficamos então com:

g y = 0,001 × 5 - 0,0125 y

g y = 5 - 0,0125 y 1000

Dividindo todo mundo por 0,0125 a gente encontra o mesmo resultado que pelo outro método.

g y = 400 - y 80000   ,     s e   0 < y ≤ 400 0   ,                                             c a s o   c o n t r á r i o

Mais tranquilo, né?

Mas no final das contas é quase a mesma coisa.

Vantagens e Desvantagens: O método da função de distribuição é mais geral, serve pra qualquer tipo de transformação. Porém, às vezes é meio difícil escrever a função de distribuição de Y e derivar, então temos o método do Jacobiano. Maaas... como nem tudo é perfeito, o método do jacobiano só pode ser aplicado a funções ( Y = h X ) injetoras.

Pra finalizar, vou falar rapidinho de uma transformação importante:

Y = X 2

Vamos fazer pelo primeiro método:

G y = P Y ≤ y = P X 2 ≤ y

= P - y ≤ X ≤ y

= F y - F - y

Agora a gente deriva:

g y = d G y d y

= y - 1 2 2 . f y - - y - 1 2 2 . f - y

Viu? Derivada da F(x) é a f ( x ) , só não pode esquecer de derivar o que tá dentro também, a raiz.

= 1 2 y . f y + 1 2 y . f - y

g ( y ) = 1 2 y . f y + f - y

Não precisa decorar isso não, mas é bom já ter visto e entender. Nos exercícios a gente trabalha um exemplo disso.

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2012.2-1d)

d) Na transformação de v.a. contínuas, existem dois métodos. Quais são eles? Quando usar um e o outro?

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Passo 1

Vamos lá! Primeiro, quais são os métodos?

Temos 2, método do jacobiano e método da função de distribuição...

Agora.. quando que usamos cada um? Aí ferrou né? Haha..

Como a gente viu, o método da função de distribuição é o mais geral, porque a gente pode usar pra qualquer tipo de função, injetoras ou não injetoras.

Aí você se pergunta se já que ele serve pra todas, porque que foram inventar outro né? Acho justo, também me pergunto isso às vezes.

Mas lembra, no método da função de distribuição a gente tem que mexer no x e y da função, isolando eles. E isso nem sempre é algo simples de fazer, lembra disso?

Aí temos o método do jacobiano..

Só que o método do jacobiano só pode ser usado para funções injetoras.

Resposta

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2012.1-1D

Seja " X " uma v.a. contínua com E X = 7 e D P X = 4 , onde D P X é o desvio padrão de X . Se Y = 3 X - 2 , quem é E Y e D P Y .

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Passo 1

Nessa questão a gente só precisa usar aquelas propriedades que a gente viu da esperança e da variância.

A gente tem que:

E X = 7

D P X = 4

E que:

Y = 3 X - 2

Passo 2

Primeiro vamos calcular E Y .

E Y = E 3 X - 2

= 3 . E X - 2

= 3 × 7 - 2

E Y = 19

Passo 3

A mesma coisa pro desvio padrão:

D P a X + b = a . D P ( X )

D P Y = D P 3 X - 2

= 3 . D P X

= 3 × 4

D P Y = 12

Resposta

E X = 19   e   D P X = 12

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P1-2014.1-3

Seja “ X ” uma variável contínua, onde:

f x = - k x 3 + 2 x       ,     o n d e   0 ≤ x ≤ 2

  1. O valor de “ k ” para que a função da variável “ X ” seja uma densidade – “ f ( x ) ”.
  2. A função de distribuição da variável “ X ” – “ F ( X ) ”.
  3. Média da variável “ X ” – “ E X ” .
  4. Variância da variável “ X ” – “ V a r ( X ) ”.
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Passo 1

(a)

Aqui, nada surreal, pra uma função ser de densidade a integral dela no intervalo que derem tem que dar 1. Vamos conferir isso então:

∫ - ∞ ∞ f x = ∫ 0 2 - k . x 3 2 + 2 . x   d x

= ∫ 0 2 - k . x 3 2   d x + ∫ 0 2 2 . x   d x