Transformação de V.A. Contínuas

Teoria Completa

Transformação de Variável Aleatória Contínua

Fala Aí!! Digamos que a gente tenha o seguinte cenário:

  • Temos uma v.a. X com f x (função densidade) conhecida e X   é uma v.a. contínua;
  • Queremos calcular a função densidade de outra v.a. Y , sendo que:

Y = h ( X )

Onde h ( X ) é uma função conhecida.

Como podemos atacar um problema como esse?

Resumindo o nosso problema: partir de uma f ( x ) e sabendo a relação entre X e Y , vamos mostrar aqui métodos para calcular a f ( y ) . Beleza?!

São exatamente nessas situações que vamos ter que usar a transformação de V.A. Contínuas!

Vamos ter dois métodos diferentes de resolver:

  • Método da função de distribuição;
  • Método do Jacobiano.

Vou pegar um mesmo exemplo e resolver ele nos dois métodos pra gente ver a diferença, ok?

Vamos lá, digamos que eu tenho uma v.a. X com a seguinte função de densidade:

X = 5 - 12,5 . x ,                               s e   0 ≤ x ≤ 0,4 0 ,                                                           c a s o   c o n t r á r i o

E a gente quer calcular para:

Y = 1000 . X

Método da função de distribuição:

A gente segue o passo a passo:

  • Calculamos a FDA de   Y ;
  • Derivamos a FDA para encontrarmos a função de densidade.

Se chamarmos de G ( y ) a FDA de Y , vamos ter:

G y = P Y ≤ y

Que é a idéia da função acumulada....

G y = P h X ≤ y

Mas nós sabemos que h X = 1000 . X , certo? Então substitui esse cara aí dentro:

G y = P h X ≤ y

G y = P 1000 . X ≤ y

Isolando o X :

G y = P X ≤ 0,001 . y

E lembra que para calcular uma FDA a gente sempre integra a função de densidade? Como isso aí em cima é uma FDA (sinal de , então temos uma probabilidade acumulada até certo ponto!), podemos dizer isso aqui:

G y = ∫ - ∞ 0,001 . y f x   d x

Indo até 0,001 y porque esse é o ponto máximo que nossa FDA está englobando, ela é sempre menor ou igual a 0001 y , lembra?

Agora fazemos para cada caso.

Lembrando que X está definido para valores em [ 0 ; 0,4 ] .

Como Y = 1000 . X , então Y vai estar definido no intervalo [ 0 ; 400 ] .

Para y < 0 :

G y = ∫ - ∞ 0,001 . y 0   d x = 0

Para 0 ≤ y ≤ 400 :

G y = ∫ - ∞ 0 0   d x + ∫ 0 0,001 . y 5 - 12,5 . x     d x

Integrando isso aí temos:

G y = 400 y - 0,5 y 2 80000

Para y > 400 :

G y = 400 y - 0,5 y 2 80000 | y = 400 + ∫ 0,4 0,001 . x 0   d x

G y = 1

Então nossa FDA será:

G y = 0 ,                                                                   s e   y ≤ 0 400 y - 0,5 y 2 80000 ,                                           s e   0 ≤ y ≤ 400 1 ,                                                                               s e   y ≥ 400

Pra finalizar, derivamos:

Para y ≤ 0 e y ≥ 0 as derivadas dão zero, e então o valor da função de densidade será g y = 0 .

Para 0 ≤ y ≤ 400 :

g y = d G y d y = 400 - y 80000

Desse jeito, temos:

g y = 400 - y 80000   ,     s e   0 < y ≤ 400 0   ,                                             c a s o   c o n t r á r i o

Beleza?!

Método do Jacobiano

Às vezes é muito difícil inverter a função, isolar x , e derivar. No método do Jacobiano resolve esse problema. De acordo com o método, a função de densidade de Y será:

g y = f x . d x d y

Aplicando isso pro nosso mesmo exemplo:

Primeiro podemos calcular a derivada d x d y , sabemos que:

Y = 1000 . X       →       x = 0,001 . y

derivando temos:

d 0,001 . y d y = 0,001

Analisando nossa f x temos:

f x = f 0,001 y = 5 - 12,5 . 0,001 y = 5 - 0,0125 y

Vamos calcular g y , seguindo o método do Jacobiano:

g y = f x . d x d y

g y = 5 - 0,0125 y × 0,001

g y = 5 - 0,0125 y 1000

Dividindo todo mundo por 0,0125 a gente encontra o mesmo resultado que pelo outro método.

g y = 400 - y 80000   ,     s e   0 < y ≤ 400 0   ,                                             c a s o   c o n t r á r i o

Mais tranquilo, né?

Mas no final das contas é quase a mesma coisa.

Vantagens e Desvantagens: O método da função de distribuição é mais geral, serve pra qualquer tipo de transformação. Porém, às vezes é meio difícil escrever a função de distribuição de Y e derivar, então temos o método do Jacobiano. Maaas... como nem tudo é perfeito, o método do jacobiano só pode ser aplicado a funções ( Y = h X ) injetoras.

Pra finalizar, vou falar rapidinho de uma transformação importante:

Y = X 2

Vamos fazer pelo primeiro método:

G y = P Y ≤ y = P X 2 ≤ y

= P - y ≤ X ≤ y

= F y - F - y

Agora a gente deriva:

g y = d G y d y

= y - 1 2 2 . f y - - y - 1 2 2 . f - y

Viu? Derivada da F ( x ) é a f ( x ) , só não pode esquecer de derivar o que tá dentro também, a raiz.

= 1 2 y . f y + 1 2 y . f - y

g y = 1 2 y . f y + f - y

Não precisa decorar isso não, mas é bom já ter visto e entender. Nos exercícios a gente trabalha um exemplo disso... Beleza?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2012.2-1d)

d) Na transformação de v.a. contínuas, existem dois métodos. Quais são eles? Quando usar um e o outro?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, quais são os métodos?

Temos 2, método do jacobiano e método da função de distribuição...

Agora.. quando que usamos cada um? Aí ferrou né? Haha..

Como a gente viu, o método da função de distribuição é o mais geral, porque a gente pode usar pra qualquer tipo de função, injetoras ou não injetoras.

Aí você se pergunta se já que ele serve pra todas, porque que foram inventar outro né? Acho justo, também me pergunto isso às vezes.

Mas lembra, no método da função de distribuição a gente tem que mexer no x e y da função, isolando eles. E isso nem sempre é algo simples de fazer, lembra disso?

Aí temos o método do jacobiano..

Só que o método do jacobiano só pode ser usado para funções injetoras.

Resposta

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2012.1-1D

Seja " X " uma v.a. contínua com E X = 7 e D P X = 4 , onde D P X é o desvio padrão de X . Se Y = 3 X - 2 , quem é E Y e D P Y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nessa questão a gente só precisa usar aquelas propriedades que a gente viu da esperança e da variância.

A gente tem que:

E X = 7

D P X = 4

E que:

Y = 3 X - 2