Função de distribuição acumulada

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Teoria

A FDA – Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatória é uma função que nos dá os valores somados de todas as probabilidades até um certo ponto, que simboliza , para todo real.

Quando estamos tratando de variáveis aleatórias discretas a Função de Distribuição Acumulada é dada por:

E quando tratamos de variáveis aleatórias contínuas a Função de Distribuição Acumulada é dada por:

Nazaré confusa
Nazaré confusa

Meio confuso né? Mas não se preocupe, vamos ver um exemplo que vai esclarecer tudo.

Exemplo:

O tempo de vida útil de um equipamento eletrônico de determinado tipo pode ser expresso por uma v.a. contínua , cuja função de densidade é:

Qual a Função de Distribuição Acumulada do tempo de vida útil do equipamento?

Passo 1

Para começar, sabemos que se e logicamente:

Já que, para

Passo 2

Agora vamos pensar no caso de

Podemos quebrar essa integral em duas partes, uma que vai de menos infinito até 0, e uma segunda que vai de zero até :

Agora vamos substituir a expressão equivalente para cada intervalo.

Ou seja:

Passo 3

Agora que já consideramos os dois casos, podemos definir a nossa Função de distribuição acumulada como:

E prontinho! Bem de boas!

Gráfico de uma Função de Distribuição Acumulada

Quando tratamos de variáveis aleatórias contínuas o gráfico das Funções de Distribuição Acumulada terão a carinha de um degrau:

Forma geral do gráfico de FDA
Forma geral do gráfico de FDA

Os gráficos de FDA de variáveis contínuas sempre têm três características:

  1. A curva é sempre contínua e crescente

Por exemplo, vamos esboçar o gráfico da FDA do exemplo anterior.

Gráfico de FDA
Gráfico de FDA

Se quiséssemos descobrir o valor de teríamos:

FDA em
FDA em

Fazendo as continhas, teremos

Massa demais, não é?!

Então, continua aqui no Responde Aí com esse vídeo maneiro sobre FDA.

Gráfico de uma Função de Distribuição Acumulada

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A renda de uma pessoa numa população é uma variável aleatória contínua X com densidade f x x = c x + 1 , apenas para X ∈ 0,2 .

  1. Ache a constante " c " que faz f x uma densidade.
  2. Encontre a função de distribuição acumulada de X .
  3. Calcule a mediana da distribuição de X .

Passo 1

(a)

Mais uma vez, calcular essas constantes. Muito tranquilo, pra uma v.a. contínua, é só integrar a função em todo seu domínio que o resultado tem que ser 1 .

∫ 0 2 c x + 1   d x = 1

= c x 2 2 + x 0 2

= 4 c 2 + 2

= 2 c + 2

Isso tem que ser igual a 1 .

2 c + 2 = 1

2 c = - 1

c = - 1 2

Passo 2

(b)

Função de distribuição acumulada para x < 0 , vai ser 0 , já que x só é definido a partir de zero.

Para x > 2 , a FDA será F x = 1 , porque já terá acumulado todo o domínio da função, então tem que ser 1 .

Para o intervalo de definição de x , a gente integra...

∫ 0 x - 1 2 x + 1   d x

= - x 2 4 + x 0 x

= - x 2 4 + x

Temos então:

F x = 0 ,     s e   x < 0 - x 2 4 + x ,     s e   0 < x < 2               1 ,     s e   x > 2

Passo 3

(c)

A mediana é o valor que divide a distribuição no meio, ou seja, 50 % dos valores estão abaixo dele e o resto acima.

Pra descobrir a mediana é só a gente usar a nossa F D A e igualar ela a 50 % , aí encontraremos o valor do x .

- x 2 4 + x = 0,5

x 2 - 4 x + 2 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação e achar as raízes.

Δ = 4 2 - 4 × 1 × 2

= 16 - 8

= 8

x = 4 ± 8 2

Temos duas raízes possíveis.

x 1 = 4 + 8 2 ≅ 3 , 4 1

x 2 = 4 - 8 2 ≅ 0,586

Só que a primeira raiz é maior do que 2 , ou seja, tá fora do intervalo e não serve pra gente.

Com isso, nossa resposta final será:

M e d ≅ 0,586

Já que esse valor está dentro do intervalo 0,2 .

Resposta

a   c = - 1 2

b   F x = 0 ,     s e   x < 0 - x 2 4 + x ,     s e   0 < x < 2               1 ,     s e   x > 2

c   M e d ≅ 0,586

Exercício Resolvido #2

A função de densidade f de uma variável aleatória X é dada pela função cujo gráfico se encontra na figura:

e) Calcule a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.

Passo 1

Nós sabemos que a FDA é a integral da função de densidade de menos infinito até x , certo? Então vamos ter que descobrir primeiro a equação da função de densidade f ( x ) .

Mas olhando o gráfico dela, vemos que é uma reta! E toda reta tem o formato f x = a x + b . Para descobrir o valor das constantes a e b , vamos usar nossos pontos conhecidos no gráfico: f 0 = 1 2

f 4 = 0

Isso dá pra gente:

1 2 = a × 0 + b 0 = 4 a + b

Resolvendo esse sisteminha, achamos que a = - 1 8 e b = 1 2 .

Então nossa função de densidade f ( x ) é:

f x = - 1 8 x + 1 2

Mas repara que no gráfico essa reta só tá desenhada para os pontos onde 0 ≤ x ≤ 4 , certo? Então esse é o intervalo que nossa função de densidade existe. Para pontos fora desse intervalo, ela vai valer zero.

Passo 2

Agora vamos lembrar a fórmula da FDA:

F x = ∫ - ∞ x f t d t

Onde esse f ( t ) é simplesmente a f ( x ) com t reescrito no lugar do x , só pra gente não confundir com o x do limite de integração. Então:

F x = ∫ 0 x - 1 8 t + 1 2 d t

Uééé, mas por que começou em zero? Porque antes disso nossa função de densidade era zero, ora bolas! Então não vai mudar nada no cálculo começar daí. Integrando temos:

- 1 16 t ² + t 2 0 x = - 1 16 x ² + x 2

Então a FDA é:

F x = - 1 16 x ² + x 2

Mas isso aí é só para 0 < x < 4 , certo? Por que é esse intervalo que a função de densidade existe. A expressão completa fica:

F x = 0   s e   x ≤ 0 - 1 16 x ² + x 2     s e   0 < x < 4   1   s e   x ≥ 4

Por que na FDA é sempre 0 se estamos antes de f ( x ) existir ( x ≤ 0 ) e 1 se estamos depois ( x ≥ 4 ).

Passo 3

Socorro mas e o gráfico disso? Isso aí é uma equação de 2º grau, gente! Ou seja, é uma parábola! Como a constante que tá multiplicando o x ² é negativa, vai ser uma parábola com a concavidade para baixo.

E a FDA sempre começa com y = 0 e termina em y = 1 , certo? Desenhando uma parábola com concavidade para baixo seguindo essas condições, teríamos isso aqui:

Resposta

F x = 0   s e   x ≤ 0 - 1 16 x ² + x 2     s e   0 < x < 4   1   s e   x ≥ 4

Exercício Resolvido #3

O diâmetro de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função de densidade dada por

f x = 2 3 2 x - x 2       s e   0 ≤ x ≤ 1 0       c a s o   c o n t r á r i o

Usando a função de distribuição acumulada, determine a probabilidade do diâmetro ser maior que 0,5 .

Passo 1

Primeiro calculamos nossa FDA por:

F x = ∫ - ∞ x f t d t → F x = ∫ 0 x 2 3 2 t - t 2 d t

F x = 2 3 2 t 2 2 - t 3 3 0 x = 2 3 x ² - x 3 3

Então:

F x = 0 ,   s e   x ≤ 0 2 3 x ² - x 3 3 ,   s e   0 < x < 1 1 ,   s e   x ≥ 1

Passo 2

Nós sabemos que a FDA representa o valor de todas as probabilidades até certo x , correto? Tipo assim:

F x = P ( X ≤ x )

E o que é pedido para a gente é a probabilidade do diâmetro ser maior que 0,5 , ou seja:

P ( X > 0,5 )

Mas usando a probabilidade complementar, sabemos que:

P X > 0,5 = 1 - P ( X ≤ 0,5 )

Opa! E P ( X ≤ 0,5 ) é uma FDA, certo? Então:

P X ≤ 0,5 = F 0,5 = 2 3 0,5 ² - 0,5 3 3 = 0,1389

Então a probabilidade que queremos...

P X > 0,5 = 1 - P X ≤ 0,5 = 1 - 0,1389 = 0,8611

Resposta

0,8611

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