Teoria Completa
Função de Distribuição Acumulada
A nossa FDA – Função de Distribuição Acumulada de uma v.a. contínua é a mesma coisa que foi para v.a. discreta: uma função que nos dá os valores somados de todas as probabilidades até um certo ponto, que simboliza , para todo real.
Tá... mas qual a diferença entre as duas então?
A diferença agora é que nossa variável aleatória pode assumir infinitos valores, então temos que somar esses infinitos valores para obter a nossa FDA.
Peraí! Somar infinitos valores? O que isso te lembra?
Se você pensou em integral acertouuuu!!
Teremos uma função contínua, que será calculada através da integral da função de densidade:
Se você reparar integramos até , pois queremos acumular todas as probabilidades anteriores.
Vamos ver um exemplo pra ver como funciona?
Exemplo
O tempo de vida útil de um equipamento eletrônico de determinado tipo pode ser expresso por uma v.a. contínua , cuja função de densidade é:
Qual a FDA do tempo de vida útil do equipamento?
Para começar, sabemos que se , e logicamente,
Já que:
Agora para para ,
Ou seja:
Logo nossa FDA será:
Show de bola?!?!
Vamos ver como se comportam os gráficos de uma FDA?
Gráfico de uma FDA
Agora que estamos lidando com V.A. Contínuas, o gráfico de uma FDA não será mais em forma de degraus. Os gráficos terão essa carinha aqui:
Sempre será o gráfico de uma função contínua tal que:
- A curva é sempre contínua e crescente (pois como estamos sempre somando as probabilidades, o gráfico sempre irá crescer)
No exemplo anterior obteríamos o seguinte gráfico:
Se quiséssemos descobrir o valor de teríamos:
Fazendo as continhas, teremos
Show de bola?! Vamos praticar!!
Exercício Resolvido #1
A renda de uma pessoa numa população é uma variável aleatória contínua com densidade , apenas para .
- Ache a constante que faz uma densidade.
- Encontre a função de distribuição acumulada de .
- Calcule a mediana da distribuição de .
Passo 1
(a)
Mais uma vez, calcular essas constantes. Muito tranquilo, pra uma v.a. contínua, é só integrar a função em todo seu domínio que o resultado tem que ser .
Isso tem que ser igual a .
Passo 2
(b)
Função de distribuição acumulada para , vai ser , já que só é definido a partir de zero.
Para , a FDA será , porque já terá acumulado todo o domínio da função, então tem que ser .
Para o intervalo de definição de , a gente integra...
Temos então:
Passo 3
(c)
A mediana é o valor que divide a distribuição no meio, ou seja, dos valores estão abaixo dele e o resto acima.
Pra descobrir a mediana é só a gente usar a nossa e igualar ela a , aí encontraremos o valor do .
Passo 4
Vamos resolver essa equação e achar as raízes.
Temos duas raízes possíveis.
Só que a primeira raiz é maior do que , ou seja, tá fora do intervalo e não serve pra gente.
Com isso, nossa resposta final será:
Já que esse valor está dentro do intervalo .
Resposta
Exercício Resolvido #2
A função de densidade de uma variável aleatória é dada pela função cujo gráfico se encontra na figura:
e) Calcule a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.
Passo 1
Nós sabemos que a FDA é a integral da função de densidade de menos infinito até , certo? Então vamos ter que descobrir primeiro a equação da função de densidade .
Mas olhando o gráfico dela, vemos que é uma reta! E toda reta tem o formato . Para descobrir o valor das constantes e , vamos usar nossos pontos conhecidos no gráfico:
Isso dá pra gente:
Resolvendo esse sisteminha, achamos que e .
Então nossa função de densidade é:
Mas repara que no gráfico essa reta só tá desenhada para os pontos onde , certo? Então esse é o intervalo que nossa função de densidade existe. Para pontos fora desse intervalo, ela vai valer zero.
Passo 2
Agora vamos lembrar a fórmula da FDA:
Onde esse é simplesmente a com reescrito no lugar do , só pra gente não confundir com o do limite de integração. Então:
Uééé, mas por que começou em zero? Porque antes disso nossa função de densidade era zero, ora bolas! Então não vai mudar nada no cálculo começar daí. Integrando temos:
Então a FDA é:
Mas isso aí é só para , certo? Por que é esse intervalo que a função de densidade existe. A expressão completa fica:
Por que na FDA é sempre se estamos antes de existir () e se estamos depois ().
Passo 3
Socorro mas e o gráfico disso? Isso aí é uma equação de 2º grau, gente! Ou seja, é uma parábola! Como a constante que tá multiplicando o é negativa, vai ser uma parábola com a concavidade para baixo.
E a FDA sempre começa com e termina em , certo? Desenhando uma parábola com concavidade para baixo seguindo essas condições, teríamos isso aqui:
Resposta
Exercício Resolvido #3
O diâmetro de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função de densidade dada por
Usando a função de distribuição acumulada, determine a probabilidade do diâmetro ser maior que .
Passo 1
Primeiro calculamos nossa FDA por:
Então:
Passo 2
Nós sabemos que a FDA representa o valor de todas as probabilidades até certo , correto? Tipo assim:
E o que é pedido para a gente é a probabilidade do diâmetro ser maior que , ou seja:
Mas usando a probabilidade complementar, sabemos que:
Opa! E é uma FDA, certo? Então:
Então a probabilidade que queremos...