Função de Distribuição Acumulada

Teoria Completa

Função de Distribuição Acumulada

A nossa FDA – Função de Distribuição Acumulada de uma v.a. contínua X é a mesma coisa que foi pra v.a. discreta, uma função que simboliza P ( X ≤ x ) , para todo x real.

A única coisa que muda são as características dela, não vai ser mais em forma de degrau. Teremos uma função contínua, que será calculada através de uma integral.

F x = ∫ - ∞ x f t   d t

Viu ? integramos até x , pois queremos acumular todas as prob. anteriores.

Nossa F terá as seguintes características:

  • lim x → - ∞ ⁡ F x = 0 ;
  • lim x → + ∞ ⁡ F x = 1 ;
  • F será contínua e não decrescente.

Exemplo: o tempo de vida útil de um equipamento eletrônico de determinado tipo pode ser expresso por uma v.a. contínua X , cuja função de densidade é:

f x = 1 2 . e - x 2 , p a r a   x ≥ 0 0 , p a r a   x < 0

esboçar a FDA do exemplo anterior, do tempo de vida útil do equipamento.

Solução: para começar sabemos que se x < 0 , f x = 0 e logicamente,

F x = P X ≤ x = 0

Já que:

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ x 0   d t = 0

Para x > 0 ,

F x = ∫ - ∞ 0 0   d t + ∫ 0 x 1 2 . e - t 2   d t

F x = 1 - e - x 2

Em resumo:

F x = 0 ,                                           s e   x < 0 1 - e - x 2 ,     s e   x ≥ 0

No gráfico de F ( x ) indiquei o valor de P ( X ≤ 3 ) que seria:

∫ - ∞ 3 1 2 . e - x 2   d x = 1 - e - 3 2 = 0,7769

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Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P1-2012.1-4

A renda de uma pessoa numa população é uma variável aleatória contínua X com densidade f x x = c x + 1 , apenas para X ∈ 0,2 .

  1. Ache a constante " c " que faz f x uma densidade.
  2. Encontre a função de distribuição acumulada de X .
  3. Calcule a mediana da distribuição de X .
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Passo 1

(a)

Mais uma vez, calcular essas constantes. Muito tranquilo, pra uma v.a. contínua, é só integrar a função em todo seu domínio que o resultado tem que ser 1 .

∫ 0 2 c x + 1   d x = 1

= c x 2 2 + x 0 2

= 4 c 2 + 2

= 2 c + 2

Isso tem que ser igual a 1 .

2 c + 2 = 1

2 c = - 1

c = - 1 2

Passo 2

(b)

Função de distribuição acumulada para x < 0 , vai ser 0 , já que x só é definido a partir de zero.

Para x > 2 , a FDA será F x = 1 , porque já terá acumulado todo o domínio da função, então tem que ser 1 .

Para o intervalo de definição de x , a gente integra...

∫ 0 x - 1 2 x + 1   d x

= - x 2 4 + x 0 x

= - x 2 4 + x

Temos então:

F x = 0 ,     s e   x < 0 - x 2 4 + x ,     s e   0 < x < 2               1 ,     s e   x > 2

Passo 3

(c)

A mediana é o valor que divide a distribuição no meio, ou seja, 50 % dos valores estão abaixo dele e o resto acima.

Pra descobrir a mediana é só a gente usar a nossa F D A e igualar ela a 50 % , aí encontraremos o valor do x .

- x 2 4 + x = 0,5

x 2 - 4 x + 2 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação e achar as raízes.

Δ = 4 2 - 4 × 1 × 2

= 16 - 8

= 8

x = 4 ± 8 2

Temos duas raízes possíveis.

x 1 = 4 + 8 2 ≅ 3,14

x 2 = 4 - 8 2 ≅ 0,586

Só que a primeira raiz é maior do que 2 , ou seja, tá fora do intervalo e não serve pra gente.

Com isso, nossa resposta final será:

M e d ≅ 0,586

Já que esse valor está dentro do intervalo 0,2 .

Resposta

a   c = - 1 2

b   F x = 0 ,     s e   x < 0 - x 2 4 + x ,     s e   0 < x < 2               1 ,     s e   x > 2

c   M e d ≅ 0,586

Exercício Resolvido #2

UFF – Departamento de Estatística, Apostila profª Ana Maria Lima de Farias

A função de densidade f de uma variável aleatória X é dada pela função cujo gráfico se encontra na figura:

e) Calcule a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.

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Passo 1

Nós sabemos que a FDA é a integral da função de densidade de menos infinito até x , certo? Então vamos ter que descobrir primeiro a equação da função de densidade f ( x ) .

Mas olhando o gráfico dela, vemos que é uma reta! E toda reta tem o formato f x = a x + b . Para descobrir o valor das constantes a e b , vamos usar nossos pontos conhecidos no gráfico: f 0 = 1 2

f 4 = 0

Isso dá pra gente:

1 2 = a × 0 + b 0 = 4 a + b

Resolvendo esse sisteminha, achamos que a = - 1 8 e b = 1 2 .

Então nossa função de densidade f ( x ) é:

f x = - 1 8 x + 1 2

Mas repara que no gráfico essa reta só tá desenhada para os pontos onde 0 ≤ x ≤ 4 , certo? Então esse é o intervalo que nossa função de densidade existe. Para pontos fora desse intervalo, ela vai valer zero.

Passo 2

Agora vamos lembrar a fórmula da FDA:

F x = ∫ - ∞ x f t d t

Onde esse f ( t ) é simplesmente a f ( x ) com t reescrito no lugar do x , só pra gente não confundir com o x do limite de integração. Então:

F x = ∫ 0 x - 1 8 t + 1 2 d t

Uééé, mas por que começou em zero? Porque antes disso nossa função de densidade era zero, ora bolas! Então não vai mudar nada no cálculo começar daí. Integrando temos:

- 1 16 t ² + t 2 0 x = - 1 16 x ² + x 2

Então a FDA é:

F x = - 1 16 x ² + x 2

Mas isso aí é só para 0 < x < 4 , certo? Por que é esse intervalo que a função de densidade existe. A expressão completa fica:

F x = 0   s e   x ≤ 0 - 1 16 x ² + x 2     s e   0 < x < 4   1   s e   x ≥ 4

Por que na FDA é sempre 0 se estamos antes de f ( x ) existir ( x ≤ 0 ) e 1 se estamos depois ( x ≥ 4 ).

Passo 3

Socorro mas e o gráfico disso? Isso aí é uma equação de 2º grau, gente! Ou seja, é uma parábola! Como a constante que tá multiplicando o x ² é negativa, vai ser uma parábola com a concavidade para baixo.

E a FDA sempre começa com y = 0 e termina em y = 1 , certo? Desenhando uma parábola com concavidade para baixo seguindo essas condições, teríamos isso aqui:

Resposta

F x = 0   s e   x ≤ 0 - 1 16 x ² + x 2     s e   0 < x < 4   1   s e   x ≥ 4

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

O diâmetro de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função de densidade dada por

f x = 2 3 2 x - x 2       s e   0 ≤ x ≤ 1 0       c a s o   c o n t r á r i o

Usando a função de distribuição acumulada, determine a probabilidade do diâmetro ser maior que 0,5 .

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Passo 1

Primeiro calculamos nossa FDA por:

F x = ∫ - ∞ x f t d t → F x = ∫ 0 x 2 3 2 t - t 2 d t

F x = 2 3 2 t 2 2 - t 3 3 0 x = 2 3 x ² - x 3 3

Então:

F x = 0 ,   s e   x ≤ 0 2 3 x ² - x 3 3 ,   s e   0 < x < 1 1 ,   s e   x ≥ 1

Passo 2

Nós sabemos que a FDA representa o valor de todas as probabilidades até certo x , correto? Tipo assim:

F x = P ( X ≤ x )