Teoria Completa
Covariância e Correlação de uma V.a. Multi Discreta
Como já vimos
Covariância . Existem 2 fórmulas possíveis.
Nota: Se e são independentes então
Existe um outro coeficiente importante chamado coeficiente de correlação entre e
Onde:
Covariância e Correlação de uma V.a. Multidimensional Contínua
Covariância e Coeficiente de Correlação
As medidas de centralidade que a gente calculou até agora eram a respeito somente a uma variável individualmente. Mas a distribuição não é conjunta? Nada mais justo do que uma medida de centralidade que envolva as duas juntas. Covariância mede a interdependência das duas variáveis.
Percebe que se as variáveis são independentes e isso nos dá uma .
Outro parâmetro que mede a interdependência das variáveis é o coeficiente de correlação entre e .
Esse coeficiente estará sempre entre -1 e 1. E se as variáveis são independentes, ele será 0, já que a covariância também será zero.
Vamos exercitar essas fórmulas todas aí nos exercícios, fica tranquilo!
Exercício Resolvido #1
b) Mostre que o coeficiente de correlação é igual a 1 quando e .
Passo 1
A gente sabe que a fórmula do coeficiente de correlação é:
O que que a gente sabe mais?
Substituindo .
Passo 2
Abrindo isso...
Aplicando as propriedades da esperança...
Aí você tem que ter a maldade de enxergar que o que tá ali dentro é a variância, lembra?
Passo 3
Agora vamos pensar no denominador...
Aplicando as propriedades da variância.
Passo 4
Voltando e substituindo na fórmula do coeficiente de correlação, temos:
Pronto, provamos o que a gente queria...
Dica, pessoal adora repetir essa questão em prova, vale a pena garantir esses pontos.
Resposta
Exercício Resolvido #2
O exemplo a seguir ilustra que não implica independência. Suponha que (X,Y) tenha distribuição conjunta dada pela tabela abaixo.
a) Mostre que E(XY)=E(X)E(Y), donde
b) Justifique por que X e Y não são independentes.
Passo 1
a) Mostre que E(XY)=E(X)E(Y), donde
Sabemos que
Então
Passo 2
Vamos calcular agora E(X) e E(Y):
Assim
Passo 3
Comparando, temos
Como querímos demonstrar.
Passo 4
b) Justifique por que X e Y não são independentes.
Uma forma de verificar se X e são independentes ou não é verificando se
Temos que testar TODAS as possibilidades. Se apenas uma não for válida podemos dizer que elas não são independentes. Pela tabela fica beeem mais tranquila a visualização.
Vamos direto no , pois este vale 0 então é alta a chance de ele falhar.
Como podemos afirmar que X e Y não são independentes.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 bolas vermelhas. Um experimento consiste em se extrair sequencialmente e sem reposição duas bolas e registrar suas cores. Seja a v.a. que representa o número de bolas brancas retiradas nas duas extrações e seja a v.a. que assume 1 se a primeira bola extraída é branca e 0 se a primeira bola extraída é vermelha.
- Obtenha a distribuição conjunta de e através de uma tabela e diga se e são independentes, justificando. Sugestão: Na montagem da tabela, comece determinando as distribuições marginais de e de . Em seguida, obtenha e . Finalmente complete a tabela, respeitando as propriedades de uma distribuição conjunta.
- Calcule a covariância de e .
Passo 1
(a)
A gente tem que montar nossa tabela marota.
Primeiro vamos entender melhor o problema.
pode assumir os valores: 0(se não sair nenhuma branca nas duas), 1 ou 2.
Bom, vamos seguir os conselhos do exercício.
Passo 2
Vamos começar com as distribuições marginais.
Começando por .
Já que são 2 bolas vermelhas, num total de 5 bolas.
Já que são 3 bolas brancas, num total de 5 bolas.
Passo 3
Agora vamos fazer a distribuição marginal de .
Já que pra não sair nenhuma bola branca, na primeira retirada tem que sair uma vermelha, , e na segunda também tem que sair uma vermelha, (lembrando que é sem reposição).
Pra sair no total 1 branca, temos duas opções: sair branca na primeira (3/5) e vermelha na segunda (2/4) ooou sair vermelha na primeira (2/5) e branca na segunda (3/4).
Pra finalizar.
Pra sair 2 brancas, tem que sair uma branca na primeira (3/5) e uma branca na segunda (2/4).
Passo 4
Seguindo os conselhos do exercício, vamos calcular agora:
Probabilidade de sair bola branca na primeira retirada e no total não sair nenhuma branca. HAM? Impossível, concorda?
Então:
Agora calcular,
Também é impossível, certo? Não dá pra sair duas bolas brancas se na primeira retirada sair uma vermelha. Então:
Passo 5
Vamos montar a tabela com os valores que a gente já tem.
Completando a tabela, lembrando que o somatório das linhas e das colunas tem que ser igual aos valores da distribuição marginal, a gente ficará com:
Pronto, era isso que a gente queria.
Passo 6
Agora pra ver se são independentes é ver se existe algum caso que não verifique a seguinte afirmação.
Nesses casos é bom olhar pra exemplos que tenham 0 na tabela, fica mais tranquilo verificar. Por exemplo:
Então,
E com isso dizemos que e não são independentes.
Passo 7
(b)
Pra calcular a covariância, vamos usar a fórmula.
Substituindo na fórmula.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Considerando a população dos profissionais à busca de emprego em uma certa fatia do mercado de trabalho, há duas habilidades consideradas importantes para se ter sucesso: dominar o Inglês e dominar a Informática. Sabe-se que:
- a proporção de profissionais que dominam o Inglês é igual a proporção de profissionais que dominam a Informática (denote por essa proporção comum às duas habilidades);
- o número médio de habilidades por profissional é 1,4;
- a variância desse número de habilidades por profissional é 0,24.
Calcule:
- o valor de;
- o coeficiente de correlação entre dominar o Inglês e dominar a Informática
- a proporção de profissionais que possuem ao mesmo tempo as duas habilidades.
Sugestão: Defina as variáveis aleatórias.
Passo 1
(a)
Vamos determinar nossas variáveis assim:
E:
Passo 2
Os dados dos problemas nos dizem que:
- proporção dos que dominam inglês é igual aos que dominam informática e é .
- número médio de habilidades é igual a 1,4.
- variância do número de habilidades é 0,24
Passo 3
Se:
E como e seguem uma distribuição de Bernoulli, onde só temos possibilidades de sucesso (1) e de fracasso (0).
Então:
E:
Passo 4
(b)
O coeficiente de correlação é dado pela fórmula:
Como:
Passo 5
Um dos jeitos de calcular é:
Pelo problema a gente sabe:
Então:
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula agora:
Passo 7
(c)
Agora é marotagem, se liga.
Vou chamar de uma nova variável, onde:
Ou seja, só tem sucesso, quando o profissional domina inglês e informática ao mesmo tempo. A gente sabe de acordo com o enunciado que a probabilidade disso acontecer é:
E que desse jeito, também seguirá uma distribuição de Bernoulli, com .
Passo 8
Se usarmos a fórmula que aprendemos:
Podemos determinar o valor de .