Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

Teoria Completa

O que fazer quando eu tenho duas variáveis que se comportam em conjunto?

Exemplo: Preço de compra e de venda de um produto

Como estudar esse comportamento?

É isso que vamos ver agora, para o caso em que esse comportamento é descrito por uma função contínua.

Vamos ter distribuições de densidade conjuntas que vão descrever o comportamento conjunto das duas variáveis, vamos calcular distribuições de probabilidades condicionais, que avalia o efeito de uma variável sobre a outra e distribuições de prob. Marginais, que identifica o comportamento apenas de uma variável, sem o efeito da outra.

Funções de Densidade Conjuntas

A gente vai ter variáveis bidimensionais ( X , Y ) que vão ser expressas por funções de probabilidade conjuntas f ( x , y ) .

Essas funções tem que satisfazer duas condições:

  • f x , y ≥ 0
  • ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y   d x d y   = 1

Exemplo: num concurso público para engenheiros, a prova de conhecimentos consta de uma parte teórica e outra prática, que devem ser feitas nessa ordem e separadamente. O prazo máximo pra completar cada prova é de 1 hora. Sejam Y o tempo gasto na parte teórica e X o gasto na prática, ambos em horas. Sabemos que a função de densidade conjunta é:

f x , y = 4 . x . y     ,       o n d e   0 ≤ x ≤ 1   e   0 ≤ y ≤ 1

Primeiro vamos verificar que essa função é de densidade conjunta:

∫ 0 1 ∫ 0 1 4 . x . y     d y d x   = ∫ 0 1 4 . x . y 2 2 0 1   d x = ∫ 0 1 4 . x . 1 2   d x = 2 . x 2 2 0 1 = 1

Beleza, verificado!

Vamos avançar um pouco mais!

Distribuições Marginais e Condicionais

Distribuição Marginal

Vamos chamar de f x e f y as funções de densidade marginais de X e Y , respectivamente. Vamos ter que:

f x x = ∫ - ∞ ∞ f x , y   d y

E:

f y y = ∫ - ∞ ∞ f x , y   d x

Percebeu? Macete é, pra X integra em d y e pra Y em d x .

Voltando ao exemplo: vamos calcular as marginais.

f x x = ∫ 0 1 4 . x . y   d y = 2 . x     ,     s e   0 ≤ x ≤ 1

f y y = ∫ 0 1 4 . x . y   d x = 2 . y     ,     s e   0 ≤ y ≤ 1

Distribuições Condicionais

A função de densidade condicional de, por exemplo, X dado que Y = y será:

f x y = f x , y f y y

Viu? Depende da função de densidade conjunta e da marginal de Y .

O contrário, condicional de Y , dado X = x seria:

f y x = f x , y f x ( x )

Voltando ao exemplo: vamos calcular f y x .

f y x = 4 . x . y 2 . x = 2 . y

Beleza?

As distribuições marginais também são úteis para avaliar se as variáveis são independentes ou não:

Critério de Independência: as variáveis serão independentes se:

f x , y = f x x × f y ( y )

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2014.1-3

Sejam X e Y v.a.’s contínuas com densidade conjunta:

f x , y = 1 4 . c . x ² . y ² . e - x 3 - y 3   ,     p a r a   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

  1. Encontre a constante " c " que faz desta expressão uma densidade.
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pra que seja uma função de densidade, a integral da função tem que ser 1 .

∫ ∫ 1 4 . c . x ² . y ² . e - x 3 - y 3 d x d y

∫ 0 + ∞ 1 4 . c . y ² . e - y 3   d y ∫ 0 + ∞ x ² . e - x 3   d x

Passo 2

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso... começando pelo x :

u = - x 3

d u = - 3 x ²   d x

x ²   d x = - d u 3

Assim:

∫     x ² . e - x 3   d x = ∫     - 1 3 . e u d u

∫     x ² . e - x 3   d x = - 1 3 . e u

∫     x ² . e - x 3   d x = - 1 3 . e - x 3

E com os limites de integração:

∫ 0 + ∞   x 2 . e - x 3   d x = - 1 3 . e - x 3 0 + ∞

∫ 0 + ∞   x 2 . e - x 3   d x = 0 - - 1 3 = 1 3

Passo 3

Note que a integral em y fica assim:

∫ 0 + ∞ 1 4 . c . y ² . e - y 3   d y = 1 4 . c ∫ 0 + ∞ y ² . e - y 3   d y

Só que a parte de dentro é igualzinho a integral que calculamos para x (trocando x por y ). Então:

∫ 0 + ∞ 1 4 . c . y ² . e - y 3   d y = 1 4 . c . 1 3 = c 12

Assim, como a gente viu, o produto das duas tem que ser igual a 1 .

c 12 . 1 3 = 1

c = 36

f x , y = 9 . x ² . y ² . e - x 3 - y 3

Passo 4

(b)

Densidade marginal de X é só resolver a integral abaixo.

f x x = ∫ 0 + ∞ 9 x ² y ² . e - x 3 - y 3   d y

Veja que estou integrando em y , pra fazer a marginal de x .

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso...

            u = - x 3 - y 3

d u = - 3 y 2 d y

Vou substituir isso dentro da integral.

Quando y = 0 → u = - x 3 e quando y = + ∞ → u = - ∞ .

f x x = ∫ - x ³ - ∞ - 3 x ² . e u   d u

    = - 3 x ² . e u - x ³ - ∞

                = - 3 x ² e ∞ - - 3 x ² . e - x 3

Como 2 x e ∞ = 0 :

= 3 x ² . e - x 3    

Passo 5

Pra marginal de Y é a mesma ideia.

f y y = ∫ 0 + ∞ 9 x ² y ² . e - x 3 - y 3   d x

Vamos usar uma substituição simples aí de novo...

            u = - x 3 - y 3

d u = - 3 x ²   d x

Quando x = 0 → u = - y 3 e quando x = + ∞ → u = - ∞ .

f y y = ∫ - y ³ - ∞ - 3 y ² . e u   d u

    = - 3 y ² . e u - y ³ - ∞

                  = - 3 y ² e ∞ - - 3 y ² . e - y 3

Como 2 x e ∞ = 0 :

= 3 y ² . e - y 3    

Resposta

a   c = 36

b   f x = 3 x ² . e - x 3     e       f y = 3 y ² . e - y 3

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P2-2013.2-5(a)(b)

Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta:

f x , y = - 3 4 y + 2 x y       ,     o n d e   0 ≤ x ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ 1

Dados:

Marginal de X : f x = x - 1 2

Marginal de Y : f y = 4 y - 3 2 y

Pede-se:

  1. Densidade condicional de Y dado X = x .
  2. Média condicional de Y   dado X = x , e calcule o valor quando x = 1,5 .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Pra resolver cada um desses itens vai ser basicamente aplicar fórmula, então vamos lá.

Pra calcular a densidade condicional f Y X = x , vamos aplicar:

f Y X = x = f x , y f x

Os dois já são dados do problema, só fazer conta.

Passo 2

Vamos as contas...

= - 3 4 y + 2 x y x - 1 2

= - 3 4 y + 2 x y 2 x - 1 2

= 2 × - 3 4 y + 2 x y 2 x - 1

= - 6 4 y + 4 x y 2 x - 1