Exercícios Resolvidos de Processo em Regime Transiente

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Enunciado

Um tanque rígido de aço, isolado, com 1   m 3 contém ar a 500   k P a . A temperatura do ar é igual a 20   ° C . O tanque está ligado, através de uma ramificação com válvula, a uma linha onde ar escoa a 2   M P a e 20   ° C . A válvula é aberta, permitindo o escoamento de ar para o tanque, e só é fechada quando a pressão interna atinge 1,5   M P a . Determine a temperatura no instante em que a válvula é fechada.

Passo 1

E aí, galera! Tudo fluindo? Partiu fazer um exercício de processo em regime transiente?

O exercício quer saber quanto vale a temperatura T 2 do ar no tanque após ele ser abastecido com ar a T e = 20   ° C e P e = 2   M P a , fazendo o ar ficar com uma pressão P 2 de 1,5   M P a .

A figura abaixo mostra os dados que temos pra calcular T 2 .

Através da figura, vemos que o ar do tanque estava no estado 1 e passa para o estado 2 depois de ser abastecido com ar. Para achar o valor da temperatura T 2 do ar após o abastecimento, temos que aplicar a lei de conservação de energia no tanque:

m 2 u 2 - m 1 u 1 = Q - W + m e h e

Q é o calor trocado entre o ar e o ambiente. Ele vale zero, porque o tanque está isolado. Além disso, como o tanque é rígido, o ar não muda seu volume. Logo, o ar não realiza trabalho W de movimento de fronteira. Em outras palavras, W vale zero. Subsituindo esses dados:

m 2 u 2 - m 1 u 1 = m e h e

Até agora temos uma equação em que a temperatura T 2 que queremos não aparece. Nós fazemos T 2 aparecer, calculando as energias internas u 2 e u 1 e a entalpia h e através dos calores específicos, conforme mostrado pelas fórmulas abaixo.

u 2 = c v 0 T 2

u 1 = c v 0 T 1

h e = c p 0 T e

onde c p 0 é o calor específico a pressão constante do ar que vale 1,0035   k J / k g K e c v 0 é o calor específico a volume constante do ar que vale 0,7165   k J / k g K .

Com todas essas informações em mãos, podemos começar a tentar a achar T 2 no próximo passo.

Passo 2

Para achar a temperatura T 2 através da lei de conservação de energia, temos que colocar todas as variáveis dessa equação em função de T 2 . Já conseguimos colocar u 1 , u 2 e h e em função de T 2 . Falta achar m 1 , m 2 m e usando as equações de gás perfeito nos estados 1 e 2 do ar.

P 1 V 1 = m 1 R T 1

m 1 = P 1 V 1 R T 1

onde R é a constante de gás do ar que vale 0,2870   k J / k g K .

Para usar essa fórmula, precisamos converter T 1 de ° C pra K somando 273,15   K a T 1 .

m 1 = 500 × 1 0,2870 × 20 + 273,15

m 1 = 5,943   k g

Aplicando a equação de gases perfeitos no estado 2 do ar:

P 2 V 2 = m 2 R T 2

m 2 = P 2 V 2 R T 2

A quantidade de massa m e que o tanque recebe de ar é igual à massa m 2 de ar que o tanque passou a ter depois do abastecimento menos a quantidade de ar que o tanque tinha antes. Logo:

m e = m 2 - m 1

m e = P 2 V 2 R T 2 - 5,943

Agora sim podemos achar T 2 através da lei de conservação de energia.

Passo 3

Substituindo os termos em função de T 2 na equação de conservação de energia:

m 2 u 2 - m 1 u 1 = m e h e

P 2 V 2 R T 2 c v 0 T 2 - 5,943 c v 0 T 1 = P 2 V 2 R T 2 - 5,943 c p 0 T e

Multiplicando os dois lados da equação por R :

P 2 V 2 c v 0 - 5,943 R c v 0 T 1 = P 2 V 2 c p 0 T e T 2 - 5,943 R c p 0 T e

P 2 V 2 c v 0 - 5,943 R c v 0 T 1 + 5,943 R c p 0 T e = P 2 V 2 c p 0 T e T 2

T 2 = P 2 V 2 c p 0 T e P 2 V 2 c v 0 - 5,943 R c v 0 T 1 + 5,943 R c p 0 T e

Para usar essa fórmula, precisamos primeiro converter a pressão P 2 de M P a pra k P a , multiplicando P 2 por 1000 . Depois, convertemos T 1 e T e de ° C pra K , somando T 1 e T e a 273,15 .

T 2 = 362,2   K

Aeeee! Conseguimos achar T 2 e acabar o exercício! :)

Resposta

T 2 = 362,2   K