Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

  1. Considere v → = 3,4 , 0 :
  1. Determine o conjunto de todos os vetores perpendiculares a v .

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!Nesse item o problema nos pede o conjunto de todos os vetores que são perpendiculares a v . Então a gente faz o seguinte, vamos supor que qualquer vetor

u → = x , y , z

Seja perpendicular à v → . Se os vetores são perpendiculares entre si, então o produto escalar entre eles é nulo. É essa informação que a gente vai usar para poder resolver essa, beleza?Vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores u → = x 1 , y 1 , z 1 e v → = x 2 , y 2 , z 2 é dado por:

u → ⋅ v → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 3

Então vamos juntar tudo isso e ver o que a gente consegue encontrar. Partiiiiu!!

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar entre v →   e u → : u → ⋅ v → = 3,4 , 0 ⋅ x , y , z

Usando a expressão para o produto escalar temos:

u → ⋅ v → = 3 x + 4 y + 0 . z = 3 x + 4 y  

Antes da gente ir adiante, vocês perceberam que o z sumiu?? Isso quer dizer que ele é uma componente livre... Ou seja, a gente pode ter qualquer valor de z em nosso u → para ser perpendicular a v → . Por enquanto só sabemos isso: u → = ? , ? , z

Passo 3

Como esses vetores são perpendiculares entre si, temos:

u → ⋅ v → = 0 3 x + 4 y = 0

Vamos isolar o y nessa equação e temos: y = - 3 4 x

E aí a gente obtém que o y deve ser um múltiplo da componente x . Como não temos mais nenhuma propriedade desse vetor que o problema nos pede, a variável x pode ser qualquer coisa então.Dessa maneira, o nosso vetor u → tem essa cara aqui: u → = x , y , z u → = x , - 3 4 x , z    

Qualquer vetor que tenha essa cara é perpendicular à v → . Então aqui temos o nosso conjunto de vetores e aí resolvemos essa 😊

Vamos para a próxima?

Resposta

u → = x , - 3 4 x , z     ∀   x   e   z