Lista de Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Sejam u = 1,1 , 0 ,   v = ( - 1,0 , 2 ) e H = s p a n { 1,1 , 0 , - 1,0 , 2 } . Calcule uma base para o complemento ortogonal de H , usando o produto vetorial. Em seguida determine uma base ortogonal { u - ,   v - ,   w - } de R 3 tal que s p a n u - ,   v - = H .

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Considere T : R 3 ⟶ R 3 dada por T x , y , z = x , y , z × 0 , a , 0 + ( 2 x + 2 a z , a y , 2 z ) , onde a ∈ R . Denotamos por ε a base canônica de R 3 .

b   Calcule a matriz T ε ← ε e determine se T é diagonalizável para qualquer valor a ∈ R . (Dica: não tente calcular os autovetores)

c   No caso em que a = 2 , ache uma base de R 3 constituída de autovetores de T .

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Seja A B C D um losango com diagonais A C e B D .

a) Mostre que os vetores A C → e B D → são ortogonais.

b) Mostre que A C → ∧ B D → = 2 ( A B → ∧ A D → ) .

c) Justifique por que a área de um losango é a metade do produto dos comprimentos de suas diagonais.

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