Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

Seja A B C D um losango com diagonais A C e B D .

a) Mostre que os vetores A C → e B D → são ortogonais.

b) Mostre que A C → ∧ B D → = 2 ( A B → ∧ A D → ) .

c) Justifique por que a área de um losango é a metade do produto dos comprimentos de suas diagonais.

Passo 1

a) Vamos fazer um desenhinho do problema:

Temos que A C → = A B → + A D → e B D → = A D → - A B → . Pra A C → e B D → serem ortogonais, temos que provar que o produto interno entre eles é 0 certo?

Então vamos lá

A C → . B D → = A B → + A D → . ( A D → - A B → )

A C → . B D → = A B → . A D → - A B → . A B → + A D → . A D → - A D → . A B →

A C → . B D → = - | | A B → | | ² + | | A D → | | ²

Como | A B → | e | | A D → | | são os lados do losango e eles têm o mesmo valor, vamos chegar que

A C → . B D → = 0

Então, de fato eles são ortogonais :)

Passo 2

b) O produto A C → ∧ B D → pode ser escrito assim

A C → ∧ B D → = ( A B → + A D → ) ∧ ( - A B → + A D → )

Aplicando as propriedades de produto vetorial, temos que

A C → ∧ B D → = - A B → ∧ A B → + A B → ∧ A D → - A D → ∧ A B → + A D → ∧ A D →

Como o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é 0 → :

A C → ∧ B D → = A B → ∧ A D → - A D → ∧ A B →

O produto vetorial - A D → ∧ A B → é a mesma coisa que A B → ∧ A D →

A C → ∧ B D → = A B → ∧ A D → + A B → ∧ A D →

A C → ∧ B D → = 2 ( A B → ∧ A D → )

Passo 3

c) Lembra que a área de um paralelogramo é o módulo do produto vetorial? Então a área do paralelogramo A B C D (lembrando que o losango é um paralelogramo em pé) vai ser | A B → ∧ A D → | .

Pela relação que provamos no item b:

A B → ∧ A D → = 1 2 | A C → ∧ B D → |

Seja θ o ângulo entre A C → e B D → , podemos escrever que

A C → ∧ B D → = A C → . B D → . s e n ( θ )

Certo, mas lembra que no item a nós provamos que θ = 90 ° ? Então

A C → ∧ B D → = A C → . B D → . s e n ( 90 ° )

A C → ∧ B D → = A C → . B D →

Então, pela relação que a gente escreveu ali em cima

A B → ∧ A D → = 1 2 A C → . B D →

Está provado então que a área do losango é a metade do produto das suas diagonais :)

Resposta

Demonstração