Exercícios Resolvidos de Pulso Não-Harmônico

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Enunciado

Em uma corda ideal é produzida a seguinte perturbação:

y x , t = e - x b 2 e 2 x t b e - t 2 a

Onde o eixo x é horizontal e aponta para a direita e a e b são constantes positivas. Podemos afirmar que essa perturbação:

  1. Não representa uma onda em propagação.
  2. É a superposição de duas ondas que se propagam em sentidos opostos.
  3. É uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a .
  4. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = a .
  5. É uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = b .
  6. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = b .
  7. É uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a b .
  8. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = a b .

Passo 1

Vamos lembrar da equação modelo de uma onda harmônica:

y x , t = A c o s k x ∓ ω t + φ

Ok, mas no caso desse problema, a “onda”, que ainda não sabemos se é uma onda, não é harmônica, já que não tem seno nem cosseno.

Beleza, mas o que que quero dizer é que, se você reparar no modelo da onda harmônica, ela segue o padrão:

y x , t = f ( x ∓ v t )

Não viu?hehe.

Bom, vamos dar uma mudada na equação pra você notar(vamos usar o caso em que φ = 0 ) :

y x , t = A c o s 2 π λ . x ∓ 2 π T . t

y x , t = A c o s 2 π λ x ∓ λ T . t

Como λ T = v :

y x , t = A c o s k x ∓ v . t

Legal né?

Bom, a ideia por trás disso tudo é que toda onda segue o padrão:

y = f x ∓ v t

Onde f é uma função qualquer. Então o que faremos nessa questão? Vamos tentar manipular aquelas exponenciais todas e vê se conseguimos chegar ao padrão acima, ou, na verdade, chegar no x ∓ v t . Simbora.

Observação: O sentido de propagação é determinado pelo sinal na frente de v da mesma forma que fazemos com o sinal na frente de ω nas ondas harmônicas.

Passo 2

A primeira coisa somar o expoentes já que as funções estão multiplicando:

y x , t = e - x b 2 + 2 x t b - t 2 a

O termo a - x b 2 + 2 x t b - t 2 tem um quadrado perfeito dentro dos parênteses.

Analisando só o termo dentro dos parênteses:

- x b 2 + 2 x t b - t 2 = - x b - t 2

Continuando:

- x b - t 2 = - 1 b 2 . x - b t 2

Pronto, chegamos no que queríamos. O termo importante ali é:

x - b t

Então, essa é uma onda progressiva, a velocidade é v = b e a onda está se propagando para a direita.

e)

Resposta

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