Números Quânticos e Funções de Onda

Teoria Completa

Os orbitais e a equação de Schrödinger

Você se lembra que no modelo de Bohr, o elétron ficava girando na volta do núcleo, na eletrosfera, né? O lugar onde o elétron “habitava” era uma órbita.

Mas agora que descobrimos que o elétron tem um comportamento dual onda-partícula, a gente entende que ele não está “girando ao redor do núcleo”.

Agora, a gente não fala sobre “onde o elétron está”, mas sim onde a probabilidade de encontrar o elétron é máxima.

A máxima probabilidade de encontrar o elétron está no orbital.

Talvez ao falar de orbital, você já pense naqueles desenhos de orbitais s, p, d, etc. A gente vai chegar lá, mas é preciso de um pouco mais de teoria antes disso. Esses conceitos são bem importantes.

O orbital nada mais é do que uma função de onda que descreve o elétron.

Como assim?

Você sabe o que é uma função.

y = x é uma função, f x = x ³ é uma função, g x = 57 + x 3 é uma função, f x = s e n   x também.

Uma função de onda é uma função capaz de descrever um sistema físico!

Partindo do estudo da física e com ferramentas de cálculo do satanás Schrödinger deduziu a equação abaixo:

H Ψ = E Ψ

Onde esse H é chamado de hamiltoniano, Ψ (a letra grega psi) é a função de onda, e E a energia do sistema.

As funções que obedecem essa equação aqui em cima são as funções de onda que podem descrever o estado do elétron 😊

Trabalhando a equação aí de cima, Schrödinger deduziu ainda a fórmula para o cálculo dos níveis de energia de um elétron como:

E n = - Z 2 h R n 2 ,                       n = 1 ,   2 ,   3 …

Onde Z é o número atômico do átomo, h é a nossa velha conhecida constante de Planck ( 6,626 . 10 - 34 J.s), R é uma constante e n um número que assume valores inteiros positivos.

E como a gente interpreta a equação de Schrödinger?

Bohr já tinha falado que a energia era quantizada, e que o elétron só poderia assumir valores discretos de energia. Mas ele não tinha provado. E Schrödinger provou!

A parte de cima da equação da energia é formada por constantes e a parcela de baixo só pode assumir determinados valores, logo, a própria energia só pode assumir determinados valores.

A gente costumava chamar esse n que apareceu aí de camada da eletrosfera. Não é mentira. Só não pode pensar que camada é necessariamente uma divisão do espaço. Ela tá mais pra uma divisão de energia.

Elétrons com mesmo n possuem a mesma energia e, portanto, estão no mesmo nível energético.

Orbitais de mesma energia são chamados orbitais degenerados. Em átomos não hidrogenóides (com mais de um elétron), isso não é bem assim. Orbitais com o mesmo n podem ter energias diferentes. No hidrogênio e outros caras com um elétron só, quem tem o mesmo n tem a mesma energia.

O sinal de menos na equação faz toda a diferença. Isso significa que quando o elétron está no átomo, a energia dele é menor do que quando está distante do núcleo, “solto”.

Além disso, quanto maior for o Z (mais prótons o átomo tiver), mais negativa será a energia do elétron. Ou seja, mais preso o elétron está ao núcleo.

Quando n aumenta, a energia diminui em módulo, mas aumenta (porque é negativa). Ainda bem, porque a gente sabe que pra passar para um nível maior o elétron precisa absorver energia.

Schrödinger e os espectros de linhas

Aquela constante R é calculada através de:

R = m e e 4 8 h ³ ε 0 2

Onde m e é a massa do elétron e vale 9,11 . 10 - 31 kg, e é a carga do elétron e vale 1,6.10 - 19 C, o h é a constante de Planck mesmo e o ε 0 é a constante de permissividade elétrica do vácuo, que vale 8,85 . 10 - 12   m - 3 k g - 1 s 4 A 2 .

Se você substituir todo mundo aí, vai encontrar R = 3,29 . 10 15 s - 1 .

Agora lembra como a gente calculava as séries de linha do hidrogênio? Era assim:

1 λ = R   1 n 1 2 - 1 n 2 2 ,           R = 1,10 . 10 7 m - 1

E pra transformar isso em energia:

E = h . ν                 ν = c λ

E = h . c . 1 λ   ∴   1 λ   =   E h . c  

1 λ =   E h . c = R   1 n 1 2 - 1 n 2 2       ∴       E = h . c . R   1 n 1 2 - 1 n 2 2

Essa é a energia necessária pra pular de um nível para o outro. A energia de cada nível é dada por:

E = h . c . R   1 n ²

Hmm, ficou bem parecida com a equação de Schrödinger né? Na verdade, ficou igual! Porque R = R .

MAS ENTÃO O SCHRÖDINGER NÃO FEZ NADA DEMAIS NÉ????

Fez sim! As séries de linha e a fórmula de energia através delas eram frutos de observações experimentais, postulados... ninguém sabia porque que era assim. E Schrödinger PROVOU matematicamente.

Função de onda, probabilidade e densidade de probabilidade

Quando a gente tem uma equação que define bem direitinho a energia do elétron, quer dizer que a gente consegue calcular a energia cinética do elétron (e consequentemente sua velocidade) com uma precisão bem grande.

E pelo princípio da incerteza de Heisenberg, isso significa que a gente tem uma incerteza relativamente grande na determinação da posição do elétron.

Então a gente não sabe exatamente onde o elétron está, mas é capaz de dizer qual a probabilidade de encontrar o elétron em determinada região do espaço.

Como? Através das funções de onda!

A função de onda por si só não nos diz muita coisa. Ela não tem um significado físico. Ela é só uma função matemática. Mas quando a gente eleva ao quadrado.. tchatchatcharãmmm: surge a função densidade de probabilidade. Assim:

D e n s i d a d e   d e   p r o b a b i l i d a d e =   Ψ ²

Como assim densidade de probabilidade?

Pensa que o orbital é uma nuvem. Uma nuvem mesmo, dessas do céu. A nuvem pode estar bem densa numa região e bem rarefeita em outra. E é assim também no orbital. Algumas regiões tem alta densidade de probabilidade de encontrar o elétron enquanto em outras essa probabilidade é baixa.

A densidade de probabilidade tem unidade m - 3 , o que significa que, pra encontrar a probabilidade de encontrar o elétron num determinado volume a gente vai multiplicar a função densidade de probabilidade por um volume ( m 3 ). E encontrar uma probabilidade que vai ficar entre 0 (0% do elétron estar naquele volume) a 1 (100% de encontrar o elétron).

Vamos ver uma função de onda aí:

Quando a gente eleva ao quadrado, toda a função fica positiva.

Vamos dizer que r é a distância em relação ao núcleo. Segundo essa função, quando r = 0 a densidade de probabilidade de encontrar o elétron é zero. Essa probabilidade aumenta conforme r aumenta e atinge um máximo. Então a densidade de probabilidade começa a cair, atinge o zero e volta a subir, porque não existe densidade negativa. E assim sucessivamente.

Cada ponto onde a densidade de probabilidade é zero é chamado nodo ou nós.

No nó: Ψ 2 = 0

A quantidade de nós presente em um orbital é igual a n - 1 , onde n é o nosso número quântico principal.

N ú m e r o   d e   n ó s = n - 1

Os números quânticos

Como a gente viu, o número quântico n surge naturalmente ao resolver a equação de energia do elétron.

Conforme as funções de onda foram sendo estudadas, outros números quânticos foram surgindo. Esses números são essenciais para descrever o orbital e o elétron.

Vamos dar uma olhada em cada um deles:

  • Número quântico principal n : É o mesmo n que já estamos acostumados a ver em outros capítulos. O n está intimamente ligado à energia do orbital, ao tamanho/volume do orbital e ao número de nós do orbital. n pode assumir qualquer valor natural diferente de zero.
  • n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 …

  • Número quântico azimutal l : Também é chamado de número quântico do momento angular ou número quântico secundário. O l nos informa o formato do orbital e o número de superfícies nodais angulares. l pode assumir qualquer número inteiro, mas o valor máximo permitido para l é igual a n - 1 . Como cada nível n se divide em valores de l , algumas vezes chamamos l de subnível. Cada valor de l tem uma letra correspondente.
  • l = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   … ,   n - 1

  • Número quântico magnético m l : O m l nos informa como o orbital está orientado no espaço. Se está sob o eixo x, entre o eixo x e o eixo y, etc. Ele pode assumir valores inteiros entre - l e + l . Logo, existem 2 l + 1 valores de m l em casa subnível.
  • m l =   - l ,   … ,   0 ,   … + l

    Por exemplo, se l = 2 ,   m l = - 2 , - 1 ,   0 ,   + 1 ,   + 2

  • Número quântico de spin m s : Assim como o m l , o m s está ligado ao momento angular do elétron. Mas enquanto o m l se refere ao movimento do elétron ao redor do núcleo, o m s   está ligado ao movimento do elétron em torno do seu próprio eixo (tipo a Terra que gira ao redor do Sol e em torno de si mesma).

O elétron pode girar no sentido anti-horário (representado por ↑ ,   α ou + 1 2 ) ou no sentido horário (representado por ↓ ,   β ou - 1 2 ).

m s = - 1 2 , + 1 2

Representando um orbital

Enquanto n ,   l   e   m l descrevem o orbital em si, m s fala estritamente do elétron dentro do orbital.

Portanto, para descrever completamente o orbital, precisamos de n ,   l   e   m l .

Por exemplo, no orbital 1s o n   é   i g u a l   a   1 e o s corresponde a l = 0 que só aceita m l = 0 .

No subnível 2p o n   é   i g u a l   a   2 e o p corresponde a l = 1 . Para esse valor de l , m l pode ser - 1 ,   0 , + 1 , que levam aos orbitais 2px, 2py e 2pz, cada um sobre o eixo x, eixo y e eixo z, respectivamente. Isso não quer dizer que o orbital 2px corresponde ao m l = - 1 e etc. São designações diferentes.

Vimos que um orbital é representado por uma função de onda Ψ . Logo, para descrever uma função de onda também precisamos dos números quânticos. A gente vai representar assim:

Ψ n l m l

Portanto:

Ψ 200 : n = 2 ,   l = 0 ,   m l = 0

Ψ 43 - 1 : n = 4 ,   l = 3 ,   m l = - 1

Agora, tá ligado que a gente falou que o número quântico l nos dava uma ideia do formato do orbital?

Vamos ver o formato dos orbitais para l = 0 ,   1 ,   2 ,   3 , ou seja, orbitais do tipo s, p, d, f.

Orbitais do tipo s

Os orbitais do tipo s são simétricos em relação ao núcleo.

A densidade de probabilidade num orbital 1s pode ser representada assim:

Quanto mais escura a imagem acima, mais “densa” a probabilidade é, maior a chance de encontrar o elétron.

Normalmente, para simplificar, a gente não representa a densidade de probabilidade, mas a superfície limite da função de probabilidade. Como se a gente pegasse essa nuvem aí de cima e colocasse um saco ao redor dela. Nesse caso, a representação do orbital 1s seria assim:

Para o 2s, fica a mesma coisa, porém maior.

Mas a gente falou que o número de nós (probabilidade zero de encontrar o elétron) é igual a n - 1 . Então, enquanto o orbital 1s tem 0 nós, o orbital 2s possui 1 nó. Na representação da superfície limite não conseguimos vê-lo, mas na representação da densidade de probabilidade ele aparece assim:

E aquela região clara entre duas partes escuras é o nó do orbital 2s. O mesmo vai acontecer pro 3s (2 nós), 4s (3 nós), etc.

Orbitais do tipo p

Os orbitais do tipo p tem o formato de duas esferas achatadas, assim:

O primeiro desenho tá representando a função densidade, os outros são orbitais do tipo pz, px e py, nessa ordem. Então essa letrinha pequena indica sobre qual eixo o orbital p tá “deitado”.

Todos os orbitais do tipo p tem um nó no núcleo (origem dos eixos no nosso esqueminha).

Orbitais do tipo d

Como para l = 2 existem 5 valores de m l (-2, -1, 0, +1, +2), existem 5 orbitais do tipo d. Vamos dar uma olhada nas superfícies limites desses orbitais.

Orbitais do tipo f

Existem 7 orbitais do tipo f, que estão representados abaixo:

Nós

Não, não vamos falar sobre nós tipo eu e você. Vamos voltar a falar dos nós onde a probabilidade de encontrar o elétron é zero.

Ficava difícil falar disso antes de ver o formato dos orbitais.

Existem diferentes tipos de nós, dependendo do “formato” desse nó. Olha só:

Vamos colocar o núcleo na origem do nosso eixo e escolher um ponto qualquer do espaço.

A gente pode definir esse ponto através do x, do y e do z que ele “ocupa”. Mas também pode definir através da distância em relação à origem ( r ), o ângulo que o tracejado vermelho faz com o eixo z (letra grega theta θ) e o ângulo que o tracejado preto (sombra do vermelho no “chão” xy) faz com o eixo y (representado pela letra grega phi φ).

Lembra que o nó que aparece no orbital 2s era tipo uma esfera? Nesse tipo de nó a gente mantém o r fixo e varia os dois ângulos formando a superfície de uma esfera. Como o raio é fixo, a gente chama esse tipo de nó de radial.

Agora, se a gente fixar um ângulo e variar o r e o outro ângulo, a superfície formada não vai ser uma esfera. Ela pode ser um plano ou algo tipo um cone.

Pra esse tipo de nó onde um ângulo é fixo, a gente dá o nome de superfície nodal angular.

Calma lá, amigão. Aí vem os exemplos:

Toda vez que a função densidade de probabilidade do orbital 3s iguala a zero, a gente tem um nó radial assim:

Nos orbitais p temos sempre uma superfície nodal angular planar assim:

E aquela superfície nodal angular em formato de cone aparece, por exemplo, no orbital 3 d z 2 .

Antes de acabar (e eu juro que já tá acabando) vamos falar um pouquinho de quantidade.

Já falamos que o número de nós de um orbital é igual a n - 1 .

Agora que temos dois tipos de nós você pode saber ainda que o número de superfícies nodais angulares é igual a l . Então o número de nós radiais vai ser a diferença entre o número total de nós e os nós angulares, n - l - 1 .

Beleza? Vamos fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP/IQSC – Lista de Exercícios de Química Geral. Estrutura Atômica. Questão 17.

Calcular a energia em joules, o comprimento de onda em metros e o número de onda em metros-1 de uma linha espectral produzida no espectro de hidrogênio quando um elétron decai da 4ª órbita de Bohr para a 1ª. Indique ainda a qual região do espectro eletromagnético pertence esta linha.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Por Bohr, a energia de cada camada é dada por:

E =   - h . c . R .   1 n 2

E =   - A .   1 n 2 ,   o n d e   A = h . c . R

Então, para calcular a diferença de energia entre duas camadas, vamos fazer assim:

∆ E = E f - E i =   - A .   1 n f 2 - - A . 1 n i 2