Enunciado

1.14 Mostre que a equação de van der Waals leva a valores de Z maiores do que 1 e menores do que 1. Indique as condições para as quais esses valores são obtidos.

Passo 1

E aí... beleza??? Vamos fazer mais uma questãozinha juntos?

Aqui vamos usar a equação de van der Waals:

p = R T V m - b - a V m 2

E também a equação pro fator de compressibilidade:

Z = p V m R T

Passo 2

Vamos começar juntando as duas equações:

Z = R T V m - b - a V m 2 V m R T

Z = R T V m - b V m R T - a V m 2 V m R T

Z = 1 1 - b V m - a R T V m

E agora vamos dar uma apeladinha pra cálculo usando a expansão da série geométrica:

1 - x - 1 = 1 + x + x 2 + …

Que, no nosso caso, fica:

1 - b V m - 1 = 1 + b V m + b V m 2 + …

Substituindo na equação:

Z = 1 1 - b V m - a R T V m

Z = 1 - b V m - 1 - a R T V m

Z = - a R T V m + 1 + b V m + b V m 2 + …

Z = 1 + b - a R T 1 V m + b 2 1 V m 2 + …

Passo 3

Repara que vem depois do “1” vai poder ser: ou maior que zero (então Z > 1 ), ou menor que zero ( Z < 1 ), ou igual a zero ( Z = 1 , que é o caso dos gases ideais, né):

- para maior que zero:

b - a R T 1 V m + b 2 1 V m 2 + … > 0

Vamos dar uma forçacinha. Como b é um valor entre 0 e 1 (nas tabelas ele ta até multiplicado por 10 - 2 ), então conforme a gente for aumentando a potência do b , vai ficando beeeem pequenininho.. Então vamos descartar tudo que vem depois do b 2 :

b - a R T 1 V m > 0

e daí, a condição, então:

b - a R T > 0

b > a R T

- para menor que zero: (fazendo a mesma coisa, quase)

b - a R T 1 V m + b 2 1 V m 2 + … > 0

...

b < a R T

Ufaaa... acabamos. Vamos pra próxima?

Resposta

Pra Z > 1 :

b > a R T

Pra Z < 1 :

b < a R T

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