Enunciado

Uma das mais famosas, e hoje obsoleta, teorias sobre o átomo de hidrogênio foi a proposta de Bohr. Foi substituída pela teoria da mecânica quântica, mas previa, com notável exatidão, as energias dos níveis atômicos. No átomo de Bohr, o elétron percorre uma órbita circular em torno do núcleo. A força de atração coulombiana Z e 2 4 π ϵ 0 r 2 é equilibrada pelo efeito centrífugo do movimento orbital. Bohr propôs que o momento angular fosse limitado a múltiplos inteiros de . Quando as duas forças mencionadas se equilibram, o átomo fica num estado estacionário até fazer uma transição espectral. Calcule as energias de um átomo hidrogenóide com esse modelo de Bohr.

Passo 1

Vamos lá galerinha para mais um exercício da área de quântica pra gente!

Bem, as forças de atração Coulombiana foi dada pra gente no enunciado, certo?

Então, como sabemos, há também forças centrífugas de repulsão que é dada por:

F r e p u l s ã o = m o m e n t o   a n g u l a r 2 m e r 3 = n ℏ 2 m e r 3

As duas forças devem ser balanceadas para que tenhamos o equilíbrio, certo?

F a t r a ç ã o = F r e p u l s ã o = Z e 2 4 π ϵ 0 1 r 2 = n ℏ 2 m e r 3 → r = 4 π n 2 ℏ 2 ϵ 0 Z e 2 m e

Passo 2

A energia total é dada pela soma das energias cinéticas e potenciais do nosso sistema, certo?

E = E K + V = m o m e n t o   a n g u l a r 2 2 I - Z e 2 4 π ϵ 0 1 r = n 2 ℏ 2 2 m e r 2 - Z e 2 4 π ϵ 0 r

E = n 2 ℏ 2 2 m e × Z e 2 m e 4 π n 2 ℏ 2 ϵ 0 2 - Z e 2 4 π ϵ 0 × Z e 2 m e 4 π n 2 ℏ 2 ϵ 0

E = Z 2 e 4 m e 32 π 2 ϵ 0 2 ℏ 2 × 1 n 2

Resposta

E = Z 2 e 4 m e 32 π 2 ϵ 0 2 ℏ 2 × 1 n 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

9. No tratamento do modelo de Bohr do átomo de H na Seç. 7.7, o núcleo (próton) foi tratado com se tivesse massa infinita em repouso. Na realidade, o elétron e o núcleo se movem em torno do centro de
(a) Mostre que para n grande, a diferença fracionária de energia entre o estado n e o estado n + 1 para uma partícula em uma caixa unidimensional é dado aproximadamente por En +1 - En () / En ≈ 2 / n
A condição quântica de Bohr nas órbitas de elétrons exige (a) que o momento angular orbital do elétron em torno do núcleo de hidrogênio seja igual a nh, onde n é um número inteiro, (b) que não mais qu