Enunciado

7 – Imagine uma pequena sonda, sensível a elétrons, de volume igual a 1,00 pm3, inserida num íon de hidrogênio molecular H2+, no estado fundamental. Calcule a probabilidade de a sonda registrar a presença de elétrons em cada posição seguinte:

A) no núcleo A;

B) no núcleo B;

C) a meia-distância de A e B;

Repita o cálculo no instante imediatamente posterior ao da excitação do elétron para o OM-CLOA antiligante.

Passo 1

A probabilidade de a sonda registrar a presença de elétrons em cada posição, pode ser estimada pela probabilidade de se encontrar um elétron em um dado volume infinitesimal dτ = δτ, pela seguinte expressão:

P = ψ 2 d τ = ψ 2 δ τ

Onde,

δ τ = 1,0   p m 3

Passo 2

A)

Pelo problema 11.5 tem-se que a função de onda é estimada em termos da densidade de probabilidade da seguinte maneira:

ψ + 2 = ρ + = 1 1216 2 p m 3 e - z a 0 + e - z - R a 0 2

No núcleo, a posição z é dada por z = 0, assim

ψ + 2 = ρ + = 8,6 x 10 - 7 p m - 3

Assim, a probabilidade de se encontrar o elétron no elemento de volume δτ é:

P = ψ 2 δ τ

P = 8,6 x 10 - 7 p m - 3 1,0   p m 3 = 8,6 x 10 - 7

Passo 3

B)

Analogamente, fazendo por simetria, no núcleo B, vamos ter que a probabilidade será a mesma da probabilidade do núcleo A, assim

P = 8,6 x 10 - 7 p m - 3 1,0   p m 3 = 8,6 x 10 - 7

Passo 4

C)

A meia-distância de A e B, vamos ter que z = 0,5R, logo:

ψ + 2 = ρ + = 1 1216 2 p m 3 e - z a 0 + e - z - R a 0 2

ψ + 2 = ρ + = 3,7 x 10 - 7 p m - 3

Calculando a probabilidade:

P = ψ 2 δ τ

P = 3,7 x 10 - 7 p m - 3 1,0   p m 3 = 3 , 7 x 10 - 7

Passo 5

Vamos agora determinar as probabilidades para cada posição para um orbital antiligante.

A)

De maneira análoga, também pegando as expressões da função de onda pelo Problema 11.5:

ψ - 2 = ρ - = 1 621 2 p m 3 e - z a 0 - e - z - R a 0 2

No núcleo, a posição z é dada por z = 0, assim

ψ - 2 = ρ - = 19 , 6 x 10 - 7 p m - 3

Assim, a probabilidade de se encontrar o elétron no elemento de volume δτ é:

P = ψ 2 δ τ

P = 19,6 x 10 - 7 p m - 3 1,0   p m 3 = 2 , 0 x 10 - 6

Passo 6

B)

Analogamente, fazendo por simetria, no núcleo B, vamos ter que a probabilidade será a mesma da probabilidade do núcleo A, assim

P = 19,6 x 10 - 7 p m - 3 1,0   p m 3 = 2,0 x 10 - 6

Passo 7

C)

A meia-distância de A e B, vamos ter que z = 0,5R, logo:

ψ - 2 = ρ - = 1 621 2 p m 3 e - z a 0 - e - z - R a 0 2

ψ - 2 = ρ - = 0

Calculando a probabilidade:

P = ψ 2 δ τ

P = 0 1,0   p m 3 = 0

Resposta

A)

P + = 8,6 x 10 - 7

P - = 2,0 x 10 - 6

B)

P + = 8,6 x 10 - 7

P - = 2,0 x 10 - 6

C)

P + = 3,7 x 10 - 7

P - = 0

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