Enunciado

6a – Escreva a expressão da função de distribuição radial de um elétron 2s num átomo hidrogenóide, e determine o raio em que é mais provável encontrar o elétron.

Passo 1

A função de distribuição radial de um elétron pode ser estimada pela seguinte relação matemática:

P = 4 π r 2 ψ 2

Onde, P é a probabilidade de se encontrar o elétron em uma distribuição radial r; ψ é a função de onda do elétron no orbital 2s.

Passo 2

Para um elétron em um orbital 2s a função de onda é dada por:

ψ 2 s = Y 0,0 R 2,0

Onde, Y0,0 pode encontrada na tabela 9.3 e R2,0 pode ser encontrada na tabela 10.1.

Pelas tabelas 9.3 e 10.1:

Y 0,0 = 1 4 π 0,5

R 2,0 = 1 8 0,5 Z a 0 1,5 2 - ρ e - 0,5 ρ

Onde,

ρ = 2 Z r n a 0

Para este caso, n = 2, assim

ρ = Z r a 0

Assim, a função de onda é:

ψ 2 s = 1 4 π 0,5 1 8 0,5 Z a 0 1,5 2 - ρ e - 0,5 ρ

Passo 3

Pegando a relação anterior da função de onda e substituindo na função de distribuição radial, vamos ter que:

P 2 s = 4 π r 2 ψ 2 s 2

P 2 s = 4 π r 2 1 4 π 0,5 1 8 0,5 Z a 0 1,5 2 - ρ e - 0,5 ρ 2

P 2 s = 1 8 r 2 Z a 0 3 2 - ρ 2 e - ρ

Essa então, é a expressão da função de distribuição radial de um elétron 2s.

Passo 4

Para determinarmos o raio mais provável de se encontrar um elétron, precisamos derivar a função de P2s e igualar a zero. Para isso, vamos colocar a função de P2s em termo apenas do parâmetro ρ, para facilitar a derivação.

Sendo

ρ = Z r a 0

Assim,

ρ 2 = Z r a 0 2

P 2 s = 1 8 r 2 Z a 0 3 2 - ρ 2 e - ρ = 1 8 Z a 0 Z r a 0 2 2 - ρ 2 e - ρ

Assim,

P 2 s = 1 8 Z a 0 ρ 2 2 - ρ 2 e - ρ = K ρ 2 2 - ρ 2 e - ρ

Derivando a função acima em relação a ρ:

d P 2 s d ρ = d d ρ K ρ 2 2 - ρ 2 e - ρ

d P 2 s d ρ = 2 K ρ 2 - ρ 2 e - ρ - 2 K ρ 2 2 - ρ 2 e - ρ - K ρ 2 2 - ρ 2 e - ρ

d P 2 s d ρ = K ρ 2 - ρ 2 2 - 3 ρ e - ρ = 0

Passo 5

Vamos agora achar as soluções para a eq. anterior:

As possíveis soluções são para as seguintes relações:

2 - ρ 2 = 0

A solução desta eq. é:

ρ = 2

Para a outra

2 - 3 ρ = 0

A solução desta é:

ρ = 2 3

Portanto, os raios onde é mais provável de se encontrar um elétron são:

ρ = Z r a 0

r = a 0 ρ Z

r = 2 a 0 Z ; 2 a 0 3 Z

Resposta

P 2 s = 1 8 r 2 Z a 0 3 2 - ρ 2 e - ρ

r = 2 a 0 Z ; 2 a 0 3 Z

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

27 – Deduza (em coordenadas cartesianas) os operadores quânticos dos três componentes do momento angular, partindo da definição clássica I = r x p. Mostre que quaisquer duas componentes não são comuta
28 – A partir do operador Iz = xpy – ypx, prove que em coordenadas esféricas: I z = - i ħ ∂ ∂ ϕ
29 – Mostre que o comutador [I2, Iz] = 0, e, então, sem qualquer calculo adicional, justifique a generalização de que [I2, Iq] = 0 para q = x, y e z.
11a – Confirme se o operador Iz = (ħ/i) (d/dφ), onde φ é um ângulo, é hermitiano.
14a – Determine os comutadores dos operadores (a) d/dx e 1/x, (b) d/dx e x2.