Exercícios Resolvidos de Redução de Grau – Briot-Ruffini

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Enunciado

4. Sejam a e b números reais e considere o polinômio p x = x 3 + a x 2 + b x . Ao dividir p x por x - 2 , o resto é 2 e ao, dividir p x por x - 1 , o resto é 4 . Então o valor de a é

  1. - 6
  2. - 7
  3. - 8
  4. - 9
  5. - 10

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a seguinte função,

p x = x 3 + a x 2 + b x

E queremos saber quanto vale a . Para isso, vamos usar as informações sobre as divisões e o resto de cada divisão e para fazer essa conta vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini.

Bora lá!

Passo 2

A primeira divisão que temos é por x - 2 , com resto 2 . Aplicando Briot-Ruffini, ficamos com

O nosso resto é 2 2 2 + a + b e o enunciado disse que resto é 2 . Fazendo essa igualdade

2 2 2 + a + b = 2

2 2 + a + b = 1

4 + 2 a + b = 1

2 a + b = - 3

Repara que temos duas icognitas e uma equação! Então precisamos encontrar mais uma relação com as informações dadas.

Passo 3

Agora vamos para a nossa próxima divisão! Temos que ao dividir p x por x - 1 , o resto é 4 . Aplicando Briot-Ruffini:

O nosso resto é 1 + a + b e o enunciado disse que resto é 4 . Fazendo essa igualdade

1 + a + b = 4

a + b = 3

Opaaa! Temos uma segunda equação, podemos montar o nosso sistema!

Passo 4

Ficamos assim,

2 a + b = - 3 a + b = 3

Isolando b ,

b = 3 - a

Substituindo na primeira equação do sitema,

2 a + 3 - a = - 3

a = - 6

Prontinho!

Resposta

a