Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Enunciado

Assinale a distância do vetor ( 3 ,   2 ,   1 ) à sua reflexão ortogonal pelo plano de equação x - y + z = 0

a) 5 3 2

b) 2 2 3

c) 4 3 3

d) 2

e) Não sei

Passo 1

Pra encontrarmos essa distância, vamos projetar o vetor ( 3 ,   2 ,   1 ) no complemento ortogonal do plano, ou seja, no vetor normal do plano sacou? Pela equação do plano, vemos que seu vetor normal é n → = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) , então:

P r o j n → 3 ,   2 ,   1 = 3 ,   2 ,   1 . 1 ,   - 1 ,   1 1 ,   - 1 ,   1 . 1 ,   - 1 ,   1 ( 1 ,   - 1 ,   1 )

P r o j n → 3 ,   2 ,   1 = 3 - 2 + 1 1 + 1 + 1 ( 1 ,   - 1 ,   1 )

P r o j n → 3 ,   2 ,   1 = 2 3 ( 1 ,   - 1 ,   1 )

P r o j n → 3 ,   2 ,   1 = 2 3 ,   - 2 3 , 2 3

Passo 2

Beleeza, a gente encontrou a projeção do vetor ( 3 ,   2 ,   1 ) no complemento ortogonal do plano. Agora pensa comigo: a distância de ( 3 ,   2 ,   1 ) até essa projeção, é a mesma distância que sua reflexão vai ser até a mesma projeção.

Então a distância que queremos, vai ser 2   v e z e s o módulo de P r o j n → 3 ,   2 ,   1 :

d = 2 . 2 3 ,   - 2 3 , 2 3

d = 2 . 4 9 + 4 9 + 4 9

d = 2 . 1 2 9

d = 2 . 1 2 3

12 é a mesma coisa que 2 3 , então:

d = 2 . 2 3 3

d = 4 3 3

Então a alternativa correta é a letra C :D

Resposta

c) 4 3 3