Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Enunciado

Seja R : R 3 → R 3 a transformação linear que é a reflexão com relação ao plano Π de equação x + z = 0 .

a)Mostre que a transformação R   é definida pela matriz

R = 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0

b)Determine a reflexão de 1,2 , 3 com relação ao plano Π .

c)Determine o posto e a nulidade de R do item(a).

d)A matriz [ R ] do item (a) é invertível? Se sua resposta foi afirmativa, determine R - 1 .   Se sua resposta foi negativa, justifique.

Passo 1

a)

Queremos conferir que a matriz da transformação R é 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 .

A transformação é uma reflexão, então, podemos deduzir a imagem de alguns vetores: aqueles pertencentes ao plano vão ser eles mesmos e o normal vai ser simplesmente invertido.

Como esses vetores formam uma base do domínio, podemos verificar que essa matriz é a matriz da tranformação R comparando os resultados:

Vamos achar, então, esses vetores!

Sendo Π :   x + z = 0 o vetor normal a ele vai ser aquele cujas coordenadas são os coeficientes das variáveis, n = ( 1,0 , 1 ) . Já a base desse plano pode ser:

  x + z = 0 ⟹ x = - z

x , y , z = - z , y , z = z - 1,0 , 1 + z ( 0,1 , 0 )

β Π = { - 1,0 , 1 , 0,1 , 0 }

A transformação desses vetores é:

R Π 1,0 , 1 = - 1,0 , 1 = - 1,0 , - 1 R Π - 1,0 , 1 = - 1,0 , 1 R Π 0,1 , 0 = 0,1 , 0

Vamos aplicá-los na matriz e conferir isso aí:

0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 1 0 1 = - 1 0 - 1

0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 - 1 0 1 = - 1 0 1

0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 0 1 0 = 0 1 0

Deu exatamente o que queríamos!

Passo 2

b)

É só aplicar 1,2 , 3 na matriz:

0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 1 2 3 = - 3 2 - 1

Passo 3

c)

Agora vamos achar a dimensão do núcleo e da imagem da matriz R .

Primeiro a da imagem! A dimensão da imagem é o número de colunas L I , como o número de colunas L I é igual ao número de linhas L I , e sendo essa nossa matriz:

R = 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0

Vemos que temos 3 linhas/colunas L I ! O que faz termos dim ⁡ ( I m ( R ) ser igual a 3.

Gente, temos a dimensão da imagem e queremos a dimensão do núcleo, o que isso nos lembra?

Teorema Núcleo Imagem!!!

dim ⁡ N u c R + dim ⁡ I m R = 3

dim ⁡ N u c R = 3 - 3 = 0

Podemos pensar também que nenhum vetor não nulo refletido por um plano vai gerar o vetor nulo, o que faz o núcleo ter dimensão zero.

Passo 4

d)

Como o núcleo é zero, a matriz é invertível!

Vamos invertê-la:

0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 1 ↔ L 3 - 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 → L 1 ⟶ - L 1 L 3 ⟶ - L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0

Opa, a matriz inversa é a próprio matriz R !

Passo 5

Resposta

b)   - 3 2 - 1

c)   dim ⁡ N u c R = 0    dim ⁡ I m R = 3

d) É invertível, 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0