Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 o operador linear T x , y , z = - z , y , - x . Considere o R 3 munido do produto interno canônico.

a Por que T é autoadjunto? Encontre uma base ortogonal γ de R 3 formada por autovetores de T .

b Use os cálculos de a para concluir que T é o operador de reflexão em torno de um certo plano π e determine π .

c Seja S : R 3 → R 3 o operador de reflexão em torno do plano x y , isto é, S x , y , z = x , y , - z . Mostre que a composição T ∘ S é uma rotação e determine o seu eixo.

Passo 1

a Como estamos usando o produto interno convencional, a base canônica é uma base ortonormal. Então, escrevendo a matriz que representa T nessa base temos:

T = 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0

Claramente todas as colunas de T são ortogonais entre si e possuem norma 1 . Logo, elas formam um conjunto ortonormal, provando que T é autoadjunto.

Passo 2

Para achar uma base de autovetores agora precisamos do polinômio característico de T :

p λ = 0 - λ 0 - 1 0 1 - λ 0 - 1 0 0 - λ = - λ 2 1 - λ - 1 - λ = 1 - λ λ 2 - 1 = 1 - λ λ + 1 λ - 1

Logo, os autovalores são 1 , com multiplicidade 2 , e - 1 . Agora para encontrar os autoespaços:

λ = 1 :

- 1 0 - 1 0 0 0 - 1 0 - 1 0 0 0

x + z = 0

z = - x

Logo, os vetores desse autoespaço são da forma:

x , y , - x = x 1,0 , - 1 + y 0,1 , 0

E temos:

V 1 = 1,0 , - 1 , 0,1 , 0

λ = - 1 :

1 0 - 1 0 2 0 - 1 0 1 0 0 0

x - z = 0 ⇒ x = z 2 y = 0 ⇒ y = 0

Logo, os vetores desse autoespaço são da forma:

x , 0 , x = x 1,0 , 1

E temos:

V - 1 = 1,0 , 1

Juntando a base dos dois autoespaços teremos uma base de autovetores:

γ = 1,0 , - 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , 1

Além disso, repare que a base já é ortogonal! Então essa aí que é a resposta mesmo.

Passo 3

b Se escrevermos a matriz da nossa transformação em função da base de autovetores que encontramos na letra a , temos:

γ = 1,0 , - 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , 1

T γ = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

Além disso, o autovetor associado ao autovalor - 1 é ortogonal aos autovetores associados ao autovalor 1 ! O que caracteriza exatamente uma reflexão por um plano! Nesse caso, pelo plano formado pelos vetores 1 , 0 , - 1 , 0,1 , 0 . Logo:

π = 1,0 , - 1 , 0,1 , 0

Passo 4

c Temos que:

T ∘ S x , y , z = T S x , y , z = T x , y , - z = z , y , - x

Então, a representação dessa composição de transformações na base canônica é dada por:

T ∘ S = 0 0 1 0 1 0 - 1 0 0

Que, de acordo com a fórmula da nossa matriz rotação, é a rotação de 90 ° ou de 270 ° dependendo do sentido escolhido:

R y = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ 0 1 0 - sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ

R y ' = cos ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ 0 1 0 sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ

Resposta

a γ = 1,0 , - 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , 1

b π = 1,0 , - 1 , 0,1 , 0