Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Enunciado

A segunda linha da matriz reflexão ortogonal pelo plano formado pelos vetores ( 1 ,   1,1 , 1 ) e ( 1,0 , 0,1 ) é:

(a) 0 0 1 0

(b)   0 1 1 0

(c) 0 1 0 1

(d) 0 1 0 0

Passo 1

Bom, toda matriz reflexão é simétrica, logo, sabendo a segunda linha, sabemos a segunda coluna!

Por exemplo, a matriz da letra a) vai ser:

* 0 * * 0 0 1 0 * 1 * * * 0 * *

Passo 2

Sabemos também que os vetores geradores do plano aplicados na matriz devem resultar neles mesmos, logo, vamos testar isso:

a)

  * 0 * * 0 0 1 0 * 1 * * * 0 * * 1 0 0 1 = * 0 * *

* 0 * * 0 0 1 0 * 1 * * * 0 * * 1 1 1 1 = * 1 * *

Bom, parece que essa é nossa resposta mas vamos testar as outras só pra ter certeza!

b)

* 0 * * 0 1 1 0 * 1 * * * 0 * * 1 0 0 1 = * 0 * *

* 0 * * 0 1 1 0 * 1 * * * 0 * * 1 1 1 1 = * 2 * *

Esse aqui já não tá dando como queríamos! A segunda coordenada do segundo vetor deveria ser 1, pois ele deve permanecer igual ao vetor que aplicamos na matriz!

c)

* 0 * * 0 1 1 0 * 0 * * * 1 * * 1 0 0 1 = * 1 * *

* 0 * * 0 1 0 1 * 0 * * * 1 * * 1 1 1 1 = * 2 * *

Esse daqui ta errado nos dois!

d)

* 0 * * 0 1 0 0 * 0 * * * 0 * * 1 0 0 1 = * 0 * *

* 0 * * 0 1 0 0 * 0 * * * 0 * * 1 1 1 1 = * 1 * *

Opa essa letra d) também deu certo

Passo 3

Vamos ter que testar outro vetor para descobrir qual a alternativa certa. Esse vetor pode ser um perpendicular ao plano, já que conhecemos sua imagem!

1,0 , 0,1 , x , y , z , w = 0 ⟹ x + w = 0

1,1 , 1,1 , x , y , z , w = 0 ⟹ x + y + z + w = 0

Tenho da primeira equação que x = - w , substituindo na segunda:

- w + y + z + w = 0

y = - z

Assim,

x , y , z , w = - w , - z , z , w = w - 1,0 , 0,1 + z ( 0 , - 1,1 , 0 )

Vamos testar esses dois vetores aí, lembrando que a resposta deve ser esses vetores com sentidos invertidos:

a)

* 0 * * 0 0 1 0 * 1 * * * 0 * * - 1 0 0 1 = * 0 * *

* 0 * * 0 0 1 0 * 1 * * * 0 * * 0 - 1 1 0 = * 1 * *

d)

* 0 * * 0 1 0 0 * 0 * * * 0 * * - 1 0 0 1 = * 0 * *

* 0 * * 0 1 0 0 * 0 * * * 0 * * 0 - 1 1 0 = * - 1 * *

Opa, eliminamos a letra d aqui!! Não pode ser essa a resposta pois a segunda coordenada do segundo vetor deveria ser 1 e não - 1 !

Resposta

a