Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Enunciado

Seja W o complemento ortogonal do subespaço gerado pelo vetor v = 1 , 1,1 em R 3 .

a Determine uma base de R 3 na qual as matrizes dos operadores projeção ortogonal sobre W e reflexão por W são diagonais. Quais são essas matrizes, respectivamente?

b Indique como obter as matrizes acima (correspondendo aos operadores projeção ortogonal sobre W e reflexão por W ) na base canônica de R 3 .

Note: Deixe os cálculos indicados.

Passo 1

a Uma base de R 3 na qual as matrizes dos operadores projeção ortogonal sobre W e reflexão por W são diagonais é uma base de autovetores. No caso, a base será formada pela união de uma base de W com uma base de W ⊥ .

Já temos uma base para W :

W = 1,1 , 1

W ⊥ será o plano ortogonal ao vetor 1,1 , 1 :

x , y , z 1,1 , 1 = 0

x + y + z = 0

z = - x - y

Ele terá como vetor genérico:

x , y , - x - y = x 1,0 , - 1 + y 0,1 , - 1

Logo,

W = 1,0 , - 1 , 0,1 , - 1

Passo 2

Juntando as bases teremos uma base para o R 3 na qual a matriz que representa os operadores é diagonal:

β = 1,1 , 1 , 1,0 , - 1 , 0,1 , - 1

Para o operador projeção P , v ∈ W ⇔ P v = v e v ∈ W ⊥ ⇔ P v = 0 , logo:

P β β = 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Já para o operador reflexão R , v ∈ W ⇔ P v = v e v ∈ W ⊥ ⇔ P v = - v , logo:

R β β = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

Passo 3

b As matrizes dos operadores de reflexão e projeção na base canônica podem ser diagonalizadas de modo que teremos:

A = P D P - 1

Onde A é a matriz que representa os operadores na base canônica, P é uma matriz de autovetores e D é a matriz diagonal de autovalores. E repare que na letra a nós obtemos essas matrizes! Se pegarmos os vetores de β e jogarmos nas colunas de uma matriz, teremos:

P = 1 1 0 1 0 1 1 - 1 - 1

E invertendo:

1 1 0 1 0 1 1 - 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← L 3 - L 1 1 1 0 0 - 1 1 0 - 2 - 1 1 0 0 - 1 1 0 - 1 0 1 → L 2 ← - L 2 1 1 0 0 1 - 1 0 - 2 - 1 1 0 0 1 - 1 0 - 1 0 1 → L 3 ← L 3 + 2 L 2 1 1 0 0 1 - 1 0 0 - 3 1 0 0 1 - 1 0 1 - 2 1 → L 3 ← - L 3 3 1 1 0 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 1 - 1 0 - 1 3 2 3 - 1 3 → L 2 ← L 2 + L 3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 3 - 1 3 - 1 3 - 1 3 2 3 - 1 3 → L 1 ← L 1 - L 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 1 3 1 3 2 3 - 1 3 - 1 3 - 1 3 2 3 - 1 3

P - 1 = 1 3 1 3 1 3 2 3 - 1 3 - 1 3 - 1 3 2 3 - 1 3

Ufa, agora para encontrarmos a projeção e a reflexão na base canônica ϵ é só fazermos o produto:

P ϵ ϵ = 1 1 0 1 0 1 1 - 1 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 3 1 3 2 3 - 1 3 - 1 3 - 1 3 2 3 - 1 3 = 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P ϵ ϵ = 1 1 0 1 0 1 1 - 1 - 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 1 3 1 3 1 3 2 3 - 1 3 - 1 3 - 1 3 2 3 - 1 3 = 1 3 - 1 2 2 2 - 1 2 2 2 - 1

Resposta

a β = 1,1 , 1 , 1,0 , - 1 , 0,1 , - 1

P β β = 1 0 0 0 0 0 0 0 0

R β β = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1