Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

Seja W um subespaço não trivial de R n . Sejam P W e R W respectivamente a projeção e a reflexão ortogonais com respeito a W .

I ) v → +   P W   ( v → ) é ortogonal a P W ( v → )

I I ) v → +   R W   ( v → ) é ortogonal a v →

(a) Ambas são falsas

(b) I é falsa e I I é verdadeira

(c)   Ambas são verdadeiras

(d)   I   é verdadeira e I I �� falsa

Passo 1

Vamos imaginar uma situação em que estamos no R 2 e W é uma reta:

Agora vou analisar as duas situações escolhendo quaisquer v → ' s .

Passo 2

Vamos testar a primeira afirmativa, considerando esse v →   e portanto, tendo a seguinte projeção:

Agora basta achar v → +   P W   ( v → ) e ver se ele é ortogonal à projeção:

Opa, eles não são ortogonais!! Logo a afirmativa é falsa. Reparem que o que a gente acabou de fazer foi achar um contraexemplo para provar o que queríamos.

Passo 3

Agora vamos ver a segunda afirmativa, vou escolher meu v →   assim:

Agora vamos analisar se v → +   R W   ( v → ) é ortogonal a v → :

Claramente não serão ortogonais então essa afirmativa também é falsa!

Resposta

a