Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Enunciado

Sejam H ⊂ R n ,   β uma base de H e γ uma base de H ⊥ . Sejam também P H e R H as transformações de projeção e reflexão ortogonal em relação a H respectivamente. Calcule P H σ e R H σ onde σ = β ∪ γ .

Passo 1

Primeiro vamos definir as bases do enunciado. Vamos chamar β = { u 1 , … , u k } e como γ é base do complemento ortogonal de H , é a continuação direta da base de H , γ = { u k + 1 , … , u n } . E assim nossa base do R n é:

σ = { u 1 , … , u k , u k + 1 , . . , u n }

Passo 2

Pronto! Agora é só montar a matriz, que já estamos acostumados a montar! Vamos fazer primeiro a da projeção.

Vamos aplicar a P H nos vetores da base σ que são de H , e depois os que são de H ⊥ .

Já que β = { u 1 , … , u k } é base de H :

P H u 1 = u 1

P H u k = u k

Já que γ = { u k + 1 , … , u n } é base de H ⊥ :

P H u k + 1 = 0

P H u n = 0

Passo 3

Agora que já temos a imagem dos nossos vetores da base, só falta reescrevê-los na própria base σ . Mas como P H u 1 , … , P H u k pertencem à base σ , a primeira parte da nossa matriz ficará assim:

P H σ = 1 … 0       0 ⋱ ⋮       ⋮ … 1       ⋮ … ⋮       0 … 0      

Agora como o resto deu zero, a nossa matriz vai ficar assim:

P H σ = 1 … 0 0 … 0 0 ⋱ ⋮ 0 … 0 ⋮ … 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋮ 0 … 0 0 … 0 0 … 0

Passo 4

A mesma ideia vamos aplicar à transformação reflexão. Então, vamos calcular as imagens dos vetores da base do nosso domínio:

R H u 1 = u 1

R H u k = u k

Já que β = { u 1 , … , u k } é base de H .

R H u k + 1 = - u k + 1

R H u n = - u n

Passo 5

Agora observe que os vetores da imagem compõem também a base σ , e assim fica bem fácil de escrever a nossa matriz! Primeiro, vamos fazer a matriz até os vetores da base de H .

P H σ = 1 … 0       0 ⋱ ⋮       ⋮ … 1       ⋮ … ⋮       0 … 0      

Agora vamos fazer até H ⊥ :

R H σ = 1 … 0 0 … 0 0 ⋱ ⋮ 0 … 0 ⋮ … 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋮ - 1   0 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 0   - 1

Resposta

P H σ = 1 … 0 0 … 0 0 ⋱ ⋮ 0 … 0 ⋮ … 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋮ 0 … 0 0 … 0 0 … 0

R H σ = 1 … 0 0 … 0 0 ⋱ ⋮ 0 … 0 ⋮ … 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋮ - 1   0 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 0   - 1