Exercícios Resolvidos de S.E.D.O.L's

Elaboração própria.

Determine a solução geral da equação:

Equation

Passo 1

Já sabemos que o primeiro passo pra achar a solução geral é encontrar os autovalores e autovetores da nossa matriz A, que no caso é:

Equation

Pra encontrar autovalores, fazemos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Então temos:

Equation

Ou então:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora pra cada autovalor vamos resolver o sisteminha:

Equation

pra poder achar os autovetores v.

Pra Equation

Equation

Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:

Equation

Pela segunda linha:

Equation

Pela primeira linha:

Equation

Então os autovetores associados ao autovalor 1 são:

Equation

Em particular, temos o autovetor:

Equation

Pra Equation

Equation

Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:

Equation

Pela segunda linha:

Equation

Pela primeira linha:

Equation

Equation

Equation

Então os autovetores associados ao autovalor 3 são:

Equation

Em particular, temos o autovetor:

Equation

Por último, pra Equation

Equation

Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:

Equation

Pela segunda linha:

Equation

Pela primeira linha:

Equation

Equation

Equation

Então os autovetores associados ao autovalor -2 são:

Equation

Em particular, temos o autovetor:

Equation

Passo 3

Ufa, pronto!

Agora é só montar as soluções.

Sabemos que elas são da forma:

Equation

Então para os autovalores e autovetores encontrados, temos:

Equation

Equation

Equation

Mas repara que a questão pediu a solução geral.

Então basta somar todo mundo!

Equation

Resposta

Equation

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