Exercícios Resolvidos de S.E.D.O.L's

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Enunciado

Determine a solução geral do sistema:

X ' = 1 0 0 3 1 - 2 2 2 1 X

Passo 1

Já sabemos que o primeiro passo pra achar a solução geral é encontrar os autovalores e autovetores da nossa matriz A, que no caso é:

1 0 0 3 1 - 2 2 2 1

Pra encontrar autovalores, fazemos:

det ⁡ A - λ I = 0

No caso, vamos ter:

1 - λ 0 0 3 1 - λ - 2 2 2 1 - λ = 0

1 - λ 3 + 4 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ 2 + 4 = 0

Então temos que:

1 - λ = 0

λ 1 = 1

Ou então:

1 - λ 2 + 4 = 0

λ 2 - 2 λ + 5 = 0

λ 2 = 1 + 2 i

λ 3 = 1 - 2 i

Passo 2

Agora pra cada autovalor vamos resolver o sisteminha:

A - λ I v = 0

pra poder achar os autovetores v.

Pra λ 1 = 1 :

0 0 0 3 0 - 2 2 2 0 x y z = 0 0 0

Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:

3 0 - 2 0 2 4 3 x y z = 0 0 0

Pela segunda linha:

2 y + 4 z 3 = 0

∴ y = - 2 3 z

Pela primeira linha:

3 x - 2 z = 0

∴ x = 2 z 3

Então os autovetores têm a seguinte cara:

x , y , z = 2 z 3 , - 2 z 3 , z = z 2 3 , - 2 3 , 1

Então fazendo z = 6   (só pra termos números inteiros mesmo :D) vamos ter o autovetor:

v 1 = ( 4 , - 4,6 )

Agora vamos pros autovalores complexos!

Mas não se assusta porque vamos continuar usando essa mesma ideia.

Pra λ 2 = 1 + 2 i :

- 2 i 0 0 3 - 2 i - 2 2 2 - 2 i x y z = 0 0 0

Pela primeira linha, conseguimos ver que:

x = 0

Agora pela segunda linha:

3 x - 2 i y - 2 z = 0

∴ z = - i y

Então nosso autovetor associado ao autovalor 1 + 2 i   tem essa cara aqui:

x , y , z = 0 , y , - i y = y 0,1 , - i

Em particular, temos o autovetor:

v 2 = ( 0,1 , - i )

Agora vamos pro último autovalor, que é λ 3 = 1 - 2 i :

2 i 0 0 3 2 i - 2 2 2 2 i x y z = 0 0 0

Pela primeira linha:

x = 0

Pela terceira linha:

2 x + 2 y + 2 i z = 0

∴ z = i y

Então nossos autovetores são:

x , y , z = 0 , y , i y = y 0,1 , i

Então em particular um autovetor associado a esse autovalor é:

v 3 = ( 0,1 , i )

Passo 3

Ufa, pronto!!

Agora é só montar as soluções.

Sabemos que elas são da forma:

X = C e λ t v

E isso independe de os autovalores e autovetores serem reais ou não, beleza??

Então para os autovalores e autovetores encontrados, temos:

X 1 = C 1 e t 4 , - 4,6

X 2 = C 2 e 1 + 2 i t 0,1 , - i

X 3 = C 3 e 1 - 2 i t ( 0,1 , i )

Ah, mas queremos a solução geral!

Beleza, então basta somar todo mundo!!

X = C 1 e t 4 , - 4,6 + C 2 e 1 + 2 i t 0,1 , - i + C 3 e 1 - 2 i t ( 0,1 , i )

Resposta

X 1 = C 1 e t 4 , - 4,6 + C 2 e 1 + 2 i t 0,1 , - i + C 3 e 1 - 2 i t ( 0,1 , i )

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