Exercícios Resolvidos de Sensibilidade

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Enunciado

Determine a sensibilidade do erro em regime permanente para uma entrada rampa do sistema abaixo em relação a K e a .

Passo 1

Antes de mais nada, precisamos definir a nossa fórmula do erro em regime permanente.

O erro pode ser calculado como:

E s = R s 1 + G s

Sendo assim, o erro em regime permanente pode ser calulado utilizando-se o teorema do valor final nessa fórmula:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G s

Sendo que R ( s ) é a entrada e G ( s ) a função de transferência do processo.

Para o nosso exercício, temos uma entrada rampa e a função de transferência é dada na figura:

R s = 1 s 2

G s = K s s + a

Portanto:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 1 s 2 1 + K s s + a = lim s → 0 ⁡ s s + a s s s + a + K = lim s → 0 ⁡ s + a s s + a + K = a K

Passo 2

Sendo assim, a sensibilidade do erro em relação ao parâmetro a será:

S a e ∞ = ∂ e ∞ ∂ a a e ∞

Como:

∂ e ∞ ∂ a = 1 K

Teremos:

S a e ∞ = ∂ e ∞ ∂ a a e ∞ = 1 K a a K = 1

Passo 3

E a sensibilidade em ralação ao ganho K será:

S K e ∞ = ∂ e ∞ ∂ K K e ∞

Como:

∂ e ∞ ∂ K = - a K 2

S K e ∞ = ∂ e ∞ ∂ K K e ∞ = = - a K 2 K a K = - 1

Esses resultados indicam que não é possível aumentar ou diminuir a sensibilidade do erro em regime permanente em relação a esses parâmetros. O sinal negativo na sensibilidade do ganho acontece porque um aumento em K causa uma diminuição de e ∞ , e vice-versa.

Resposta

S a e ∞ = 1

S K e ∞ = - 1