Exercícios Resolvidos de Sensibilidade

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Enunciado

Determine a sensibilidade do erro em regime permanente a variações em K e em a para o sistema mostrado abaixo com uma entrada degrau.

Passo 1

Primeiramente, vamos determinar o erro em regime permanente para esse sistema e entrada degrau:

E s = R s 1 + G s

Sendo assim, o erro em regime permanente pode ser calulado utilizando-se o teorema do valor final nessa fórmula:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G s

Sendo que R ( s ) é a entrada, que nesse caso é um degrau e G ( s ) a função de transferência do processo que foi dada na figura aí em cima.

R s = 1 s

G s = K s + a ( s + b )

Portanto:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 1 s 1 + K s + a ( s + b ) = lim s → 0 ⁡ ( s + a ) ( s + b ) s + a ( s + b ) + K = a b a b + K

Passo 2

Sendo assim, a sensibilidade do erro em relação ao parâmetro a será:

S a e ∞ = ∂ e ∞ ∂ a a e ∞

Usando a regra do quociente, podemos calcular:

∂ e ∞ ∂ a = b a b + K - b ( a b ) a b + K 2

Portanto:

S a e ∞ = b a b + K - b ( a b ) a b + K 2 a a b a b + K = b 1 + K - b a b + K = K a b + K

Passo 3

Vamos fazer o mesmo agora para K :

S K e ∞ = ∂ e ∞ ∂ K K e ∞

Usando a regra do produto novamente para calcular a derivada:

∂ e ∞ ∂ K = - a b a b + K 2

S K e ∞ = ∂ e ∞ ∂ K K e ∞ = = - a b a b + K 2 K a b a b + K = - K a b + K

Resposta

S a e ∞ = K a b + K

S K e ∞ = - K a b + K