Exercícios Resolvidos de Sensibilidade

Ver Teoria

Enunciado

Determine a sensibilidade do erro em regime permanente a variações de K para o sistema mostrado abaixo com uma entrada degrau.

Passo 1

Bora lá. Primeiro de tudo, devemos determinar a expressão do erro em regime permanente. A fórmula do erro que conhecemos é essa:

E s = R s 1 + G s

Sendo assim, o erro em regime permanente pode ser calulado utilizando-se o teorema do valor final nessa fórmula:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G s

R ( s ) é a entrada, que nesse caso é um degrau e G ( s ) a função de transferência do processo que foi dada na figura aí em cima.

R s = 1 s

G s = K ( s + 7 ) s 2 + 2 s + 10

Jogando tudo na expressão de e ∞ :

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 1 s 1 + K ( s + 7 ) s 2 + 2 s + 10 = lim s → 0 ⁡ s 2 + 2 s + 10 s 2 + 2 s + 10 + K ( s + 7 ) = 10 10 + 7 K

Passo 2

Para encontrar a sensibilidade do erro em regime permanente em relação a K , usaremos a seguinte fórmula:

S K e ∞ = ∂ e ∞ ∂ K K e ∞

A derivada, nós podemos calcular utilizando a regra do quociente:

∂ e ∞ ∂ K = - 70 10 + 7 K 2

Passo 3

Substituindo a derivada e a expressão de e ∞ na fórmula da sensibilidade:

S K e ∞ = - 70 10 + 7 K 2 K 10 10 + 7 K = = - 70 10 + 7 K 2 K 10 + 7 K 10

Fazendo as simplificações, teremos:

S K e ∞ = - 7 K 10 + 7 K

Resposta

S K e ∞ = - 7 K 10 + 7 K